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2012高考理科数列(教师)

高一化学?

教师:邓老师

温馨提醒:成功不是凭梦想和希望,而是凭努力和实践
过关检测
1. (2012 年高考(天津理) 已知{ an }是等差数列,其前 n 项和为 Sn ,{ bn }是等比数列,且 a1 = )

b1 =2 , a4 +b4 =27 , S4 ? b4 =10 .
(Ⅰ)求数列{ an }与{ bn }的通项公式; (Ⅱ)记 Tn =anb1 +an?1b2 +?+anb1 , n ? N + ,证明 Tn +12= ? 2an +10bn (n ? N+ ) .

2. (2012 年高考(新课标理) 已知 a, b, c 分别为 ?ABC 三个内角 A, B, C 的对边, a cos C ? )

3a sin C ? b ? c ? 0

(1)求 A

(2)若 a ? 2 , ?ABC 的面积为 3 ;求 b, c .

3. (2012 年高考(重庆理) (本小题满分 12 分,(I)小问 5 分,(II)小问 7 分.) )

设数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn 满足 Sn?1 ? a2 Sn ? a1 ,其中 a2 ? 0 . (I)求证: ?an ? 是首项为 1 的等比数列; (II)若 a2 ? ?1,求证: S n ?

n (a1 ? an ) ,并给出等号成立的充要条件. 2

细节决定成败,态度决定命运,勤奋改变未来,智慧缔造神话。
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? ? x2 ? an 与 x 轴正半轴相交于点 A ,设 f ( n) 为 2

4. (2012 年高考 (四川理) 已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y )

该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距. (Ⅰ)用 a 和 n 表示 f ( n) ; (Ⅱ)求对所有 n 都有

f (n) ? 1 n3 成立的 a 的最小值; ? f (n) ? 1 n3 ? 1

(Ⅲ)当 0 ? a ? 1 时,比较

? f (k ) ? f (2k ) 与
k ?1

n

1

27 f (1) ? f (n) 的大小,并说明理由. ? 4 f (0) ? f (1)

5. (2012 年高考(四川理) 已知数列{an } 的前 n 项和为 Sn ,且 a2 an )

? S2 ? Sn 对一切正整数 n 都成立.

(Ⅰ)求 a1 , a2 的值; (Ⅱ)设 a1 ? 0 ,数列 {lg

10a1 } 的前 n 项和为 Tn ,当 n 为何值时, Tn 最大?并求出 Tn 的最大值. an

6. (2012 年高考(上海理) 对于数集 X )

? {?1, x1, x2 , ?, xn} ,其中 0 ? x1 ? x2 ? ? ? xn , n ? 2 ,定义向量集

Y ? {a | a ? (s, t ), s ? X , t ? X } . 若对于任意 a1 ?Y ,存在 a2 ? Y ,使得 a1 ? a2 ? 0 ,则称 X
具有性质 P. 例如 X ? {?1, 1, 2} 具有性质 P. (1)若 x>2,且 {?1, 1, 2, x} ,求 x 的值; (2)若 X 具有性质 P,求证:1?X,且当 xn >1 时,x1 =1; (3)若 X 具有性质 P,且 x1 =1,x2 =q(q 为常数),求有穷数列 x1, x2 , ?, xn 的通 项公式.

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7. (2012 年高考(上海春) 本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. )

已知数列 {an }、  }、  } 满足 (an?1 ? an )(bn?1 ? bn ) ? cn (n ? N * ). {bn {cn (1)设 cn ? 3n ? 6,{an } 是公差为 3 的等差数列.当 b1 ? 1 时,求 b2、b3 的值; (2)设 cn ? n3 , an ? n2 ? 8n. 求正整数 k , 使得一切 n ? N * , 均有 bn ? bk ;

1 ? ( ?1)n (3)设 cn ? 2 ? n, an ? . 当 b1 ? 1 时,求数列 {bn } 的通项公式. 2
n

8. (2012 年高考(陕西理) 设 )

?an ? 的公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 Sn ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列.

(1)求数列 ?an ? 的公比; (2)证明:对任意 k ? N? , Sk ?2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

9. (2012 年高考(山东理) 在等差数列 )

?an ? 中, a3 ? a4 ? a5 ? 84, a9 ? 73 .

(Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)对任意 m ? N * ,将数列 ?an ? 中落入区间 (9m ,92 m ) 内的项的个数记为 bm ,求数列 ?bm ? 的前 m 项和 Sm .

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1. 【命题意图】本试题主要考查了等差数列与等比数列的概率、通项公式、前 n 项和公式、数列求和等基础知识,

考查化归与转化的思想方法,考查运算能力、推理论证的能力. (1) 设 等 差 数 列

?an ?

的 公 差 为 d , 等 比 数 列

?bn ?

的 公 比 为 q , 由 a1 ? b1 ? 2 , 得

?2 ? 3d ? 2q3 ? 27 ?d ? 3 ? ? , 故 a4 ? 2 ? 3d , b4 ? 2q , S4 ? 8 ? 6d , 由 条 件 得 方 程 组 ? ?? 3 ?q ? 2 ?8 ? 6d ? 2q ? 10 ? ?
3

an ? 3n ?1, bn ? 2n (n ? N * )
(2) Tn ? anb1 ? an ?1b2 ? an ? 2b3 ? ? ? a1bn ? 2n a1 ? 2n ?1 a2 ? ? ? 2an ? 2n (a1 ?

an 3n ? 1 3n ? 2 3n ? 5 ? n ?1 ? n ? 2 ? n ?1 ? cn ? cn ?1 n ?1 2 2 2 2

a a2 ? ? ? nn 1 ) 2 2?

Tn ? 2n [(c1 ? c2 ) ? (c2 ? c3 ) ? ?? (cn ? cn?1 )] ? 2n (c1 ? cn?1 ) ? 10 ? 2n ? 2(3n ? 5) ? 10bn ? 2an ?12 ? Tn ? 12 ? 10bn ? 2an
方法二:数学归纳法 (1)当 n ? 1 时, T1 ? 12 ? a1b1 ? 12 ? 16, ?2a1 ? 10b1 ? 16 ,故等式成立。

【点评】 该试题命制比较直接,没有什么隐含的条件,就是等比与等差数列的综合应用,但方法多样,第二问可以 用错位相减法求解证明,也可用数学归纳法证明,给学生思维空间留有余地,符合高考命题选拔性的原则. 2. 【解析】(1)由正弦定理得:

a cos C ? 3a sin C ? b ? c ? 0 ? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin B ? sin C
? sin A cos C ? 3 sin A sin C ? sin(a ? C ) ? sin C ? 3 sin A ? cos A ? 1 ? sin( A ? 30? ) ? ? A ? 30? ? 30? ? A ? 60?
(2) S ?

1 2

1 bc sin A ? 3 ? bc ? 4 2 细节决定成败,态度决定命运,勤奋改变未来,智慧缔造神话。
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a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ? b ? c ? 4
解得: b ? c ? 2
3. (1)证明:由 S2

? a2 S1 ? a1 ,得 a1 ? a2 ? a1a2 ? a1 ,即 a2 ? a2 a1 .
a2 ? a2 , a1

因 a2 ? 0 ,故 a1 ? 1 ,得

又由题设条件知 Sn?2 ? a2 Sn?1 ? a1 , Sn?1 ? a2 Sn ? a1 两式相减得 Sn?2 ? Sn?1 ? a2 ? Sn?1 ? Sn ? ,即 an?2 ? a2 an?1 , 由 a2 ? 0 ,知 an?1 ? 0 ,因此

an ? 2 ? a2 an ?1

综上,

an ? 2 ? a2 对所有 n ? N * 成立,从而 ?an ? 是首项为 1,公比为 a2 的等比数列. an ?1
n (a1 ? an ) ,等号成立. 2

(2)当 n ? 1 或 2 时,显然 S n ?

设 n ? 3 , a2 ? ?1且 a2 ? 0 ,由(1)知, a1 ? 1 , an ? a2n?1 ,所以要证的不等式化为:

n ?1 ? a2n?1 ? ? n ? 3? 2 n ?1 2 n 即证: 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ? ?1 ? a2n ? ? n ? 2 ? 2 1 ? a2 ? a2 2 ? ? ? a2 n ?1 ?
当 a2 ? 1 时,上面不等式的等号成立. 当 ?1 ? a2 ? 1 时, a2r ?1与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 )同为负; 当 a2 ? 1 时,

a2r ?1与 a2n?r ?1 ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1 )同为正;

r n ?r 因此当 a2 ? ?1且 a2 ? 1 时,总有 ( a2 ?1)( a2 ?1 )>0,即

a2r ? a2n?r ? 1 ? a2n ,( r ? 1, 2,3,?, n ? 1).
2 n?r n 上面不等式对 r 从 1 到 n ? 1 求和得, 2( a2 ? a2 ? ? ? a2 ) ? (n ? 1) 1 ? a2

?

?

n ?1 ?1 ? a2n ? 2 n 综上,当 a2 ? ?1且 a2 ? 0 时,有 S n ? (a1 ? an ) ,当且仅当 n ? 1, 2 或 a2 ? 1 时等号成立. 2
由此得 1 ? a2 ? a2 ? ? ? a2 ?
2 n

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? ? 4. [解析](1)由已知得,交点 A 的坐标为 ? ? ?
方程为 y ? ? 2

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 ? 2 2 ? ?
n
n n n

y ? ?2 x 则抛物线在点 A 处的切线

'

a (x ?
n

a

n

2

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a

(2)由(1)知 f(n)= 即知,

a

n

,则

f (n) ? 1 n3 n ? 3 成立的充要条件是 ? 2n 3 ? 1 a f (n) ? 1 n ? 1

a

n

? 2n 3 ? 1

对于所有的 n 成立,特别地,取 n=2 时,得到 a≥ 17

当 a ? 17, n ? 3时 ,

a ? 4 ? (1? 3)
n n
1 2

n

? 1 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? ?
1 2 2 3 3
2 3 3

? 1? Cn ? 3 ? Cn ? 3 ? Cn ? 3

? 1? 2n ?
3

2 1 ? n 5 (n ? 2) ? (2n ? 5)? ? ? ? 2 ?

>2n +1
n

3

当 n=0,1,2 时,显然

( 17 )

? 2n ?1
3

f ( n) ? 1 ? 故当 a= 17 时, f ( n) ? 1
所以满足条件的 a 的最小值是 (3)由(1)知 f ( k ) ?

n 对所有自然数都成立 n ?1
3

3

17 .
n 1 1 f (1) ? f (n) a ? a , ?? k ? 2k f (k ) ? f (2k ) k ?1 a ? a f (0) ? f (1) 1 ? a n

a
1

n

,则

?
k ?1

n

下面证明:

? f ( k ) ? f ( 2k ) ?
k ?1

n

27 f (1) ? f (n) ? . 4 f (0) ? f (1)

首先证明:当 0<x<1 时,

1 x?x
3

?

27 x 4

27 2 x( x ? x) ? 1,0 ? x ? 1 4 81 2 则g ' ( x) ? x( x ? ) 4 3 2 2 ( ? 当 0 ? x ? 时, g ' x) 0;当 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 3 3 2 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g(x)min =g ( ) ? 0 3 细节决定成败,态度决定命运,勤奋改变未来,智慧缔造神话。
设函数 g ( x) ?
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所以,当 0<x<1 时,g(x)≥0,即得

1 x?x
k
2

? 1

27 x 4 ? 27 k ,从而 4 a

由 0<a<1 知 0<a <1( k ?
k

N
k

*

),因此

a ?a

2k

? f ( k ) ? f ( 2k ) ? ?
k ?1 k ?1

n

1

n

1

a ?a

2k

?

27 n k ? 4 k ?1 a
n ?1

27 a ? a ? ? 4 1? a

27 a ? a ? ? 4 1? a 27 f (1) ? f (n) ? ? 4 f (0) ? f (1)
n

[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考查了导数的 应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的能力和创新意识能力; 且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法.

5. [解析]取 n=1,得 a2 a 1
2

? s2 ? s1 ? 2a1 ? a2 ,
② ③



取 n=2,得 a2 ? 2a1 ? 2a2 , 又②-①,得 a2 (a2 ? a1 ) ? a2 (1)若 a2 =0, 由①知 a1 =0, (2)若 a2 ? 0,易知a2 ? a1 ? 1, 由①④得: a1 ?



2 ? 1, a2 ? 2 ? 2; a1 ? 1 ? 2, a2 ? 2 ? 2; 2 ? 1, a2 ? 2 ? 2;

(2)当 a1 >0 时,由(I)知, a1 ?

当 n ? 2时,有( ? 2)an ? s2 ? sn , (2+ 2 )an-1 =S2 +Sn-1 2 所以,an = 2an?1 (n ? 2) 所以 an ? a1 ( 2 ) 令 bn ? lg
n?1

? ( 2 ? 1) ? ( 2 ) n?1

10a1 1 100 , 则bn ? 1 ? lg( 2 ) n?1 ? lg n?1 an 2 2
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高一化学? 教师:邓老师 1 所以,数列{bn }是以 ? lg 2 为公差,且单调递减的等差数列. 2 10 则 b1 >b2 >b3 >>b7 = lg ? lg1 ? 0 8 1 100 1 当 n≥8 时,bn ≤b8 = lg ? lg1 ? 0 2 128 2
所以,n=7 时,Tn 取得最大值,且 Tn 的最大值为 T7 =

(b1 ? b7) 7 21 ? 7 ? lg 2 2 2

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、 等比数列、 对数等基础知识; 第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想:考查方程、分类与整合、化归 与转化等数学思想.
6. [解](1)选取 a1

? ( x, 2) ,Y 中与 a1 垂直的元素必有形式 (?1, b)

所以 x=2b,从而 x=4 (2)证明:取 a1 ? ( x1, x1 ) ? Y .设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 . 由 ( s ? t ) x1 ? 0 得 s ? t ? 0 ,所以 s 、 t 异号. 因为-1 是 X 中唯一的负数,所以 s 、 t 中之一为-1,另一为 1, 故 1?X 假设 xk ? 1 ,其中 1 ? k ? n ,则 0 ? x1 ? 1 ? xn . 选取 a1 ? ( x1, xn ) ?Y ,并设 a2 ? (s, t ) ? Y 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 sx1 ? txn ? 0 , 则 s 、 t 异号,从而 s 、 t 之中恰有一个为-1. 若 s =-1,则 x1 ? txn ? t ? x1 ,矛盾; 若 t =-1,则 xn ? sx1 ? s ? xn ,矛盾. 所以 x1 =1 (3)[解法一]猜测 xi ? q
i ?1

,i=1, 2, , n

记 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } ,k=2, 3, , n. 先证明:若 Ak ?1 具有性质 P,则 Ak 也具有性质 P. 任取 a1 ? (s, t ) , s 、 t ? Ak .当 s 、 t 中出现-1 时,显然有 a2 满足 a1 ? a2 ? 0 ; 当 s ? ?1 且 t ? ?1 时, s 、 t ≥1. 因为 Ak ?1 具有性质 P,所以有 a2 ? (s1, t1 ) , s1 、 t1 ? Ak ?1 ,使得 a1 ? a2 ? 0 , 从而 s1 和 t1 中有一个是-1,不妨设 s1 =-1.

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教师:邓老师

假设 t1 ? Ak ?1 且 t1 ? Ak ,则 t1 ? xk ?1 .由 (s, t ) ? (?1, xk ?1 ) ? 0 ,得 s ? txk ?1 ? xk ?1 ,与

s ? Ak 矛盾.所以 t1 ? Ak .从而 Ak 也具有性质 P
现用数学归纳法证明: xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n. 当 n=2 时,结论显然成立; 假设 n=k 时, Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 有性质 P,则 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , k; 当 n=k+1 时,若 Ak ?1 ? {?1, 1, x2 , ?, xk , xk ?1} 有性质 P,则 Ak ? {?1, 1, x2 , ?, xk } 也有性质 P,所以 Ak ?1 ? {?1, 1, q, ?, qk ?1, xk ?1} . 取 a1 ? ( xk ?1, q) ,并设 a2 ? (s, t ) 满足 a1 ? a2 ? 0 ,即 xk ?1s ? qt ? 0 .由此可得 s 与 t 中有且只有一个为-1. 若 t ? ?1 ,则 s ? 1 ,所以 xk ?1 ?
q s

? q ,这不可能;

所以 s ? ?1 , xk ?1 ? qt ? q ? qk ?1 ? qk ,又 xk ?1 ? q k ?1 ,所以 xk ?1 ? q k . 综上所述, xi ? qi ?1 xi ? qi ?1 ,i=1, 2, , n [解法二]设 a1 ? (s1, t1 ) , a2 ? (s2 , t2 ) ,则 a1 ? a2 ? 0 等价于
s1 t1 t ? ? s22

.

记 B ? { s | s ? X , t ? X ,| s |?| t |},则数集 X 具有性质 P 当且仅当数集 B 关于 t 原点对称 注意到-1 是 X 中的唯一负数, B ? (??, 0) ? {? x2 , ? x3 , ?, ? xn }共有 n-1 个数, 所以 B ? (0, ? ?) 也只有 n-1 个数. 由于
xn x n ?1
x n ?1 x n?2
xn xn?1

?

xn xn?2

???
xn x2

xn x2

?
xn x1

xn x1

,已有 n-1 个数,对以下三角数阵

?
?

xn x n?2
x n ?1 x n ?3

???
???

?

x n ?1 x1

x2 x1

注意到

xn x1

?

x n ?1 x1

???

x2 x1

,所以

xn x n ?1

?

x n ?1 x n?2

???

x2 x1

,从而数列的通项公式为

2 xk ? x1 ( x1 ) k ?1 ? q k ?1 ,k=1, 2, , n x

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7. 解:(1)? an?1 ? an

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? 3,?bn?1 ? bn ? n ? 2 ,?b1 ? 1,?b2 ? 4, b3 ? 8
n3 , 2n ? 7

(2)由 an ?1 ? an ? 2n ? 7 ? bn ?1 ? bn ?

由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b4 ? b5 ? b6 ??;由 bn?1 ? bn ? 0 ? n ? 4 ,即 b1 ? b2 ? b3 ? b4

?k ? 4 .
(3)由 an?1 ? an ? (?1)n?1 ? bn?1 ? bn ? (?1)n?1 (2n ? n) ,故 bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)(n ? 2, n ? N * ) ,

?b2 ? b1 ? 21 ?1, b3 ? b2 ? (?1)(22 ? 2),?, bn?1 ? bn?2 ? (?1)n?1(2n?2 ? n ? 2), bn ? bn?1 ? (?1)n (2n?1 ? n ?1)
当 n ? 2k (k ? N * ) 时,以上各式相加得

bn ? b1 ? (2 ? 2 ? ? ? 2
2

n ?2

2 ? 2n?1 (?2) n 2 ? 2n n ? ? 2 ) ? [1 ? 2 ? ? ? (n ? 2) ? (n ? 1)] ? ? ? 3 2 1 ? (?2) 2
n ?1

? bn ?

2 ? 2n n 2n n 5 ? ? 1 ?? ? ? 3 2 3 2 3

当 n ? 2k ?1(k ? N * ) 时,

bn ? bn ?1 ? (?1)n?1 (2n ? n) ?

2 ? 2n?1 n ? 1 2n n 13 ? ? 1 ? (2n ? n) ? ? ? ? 3 2 3 2 6

? 2n n 13 ?? 3 ? 2 ? 6 , (n ? 2k ? 1) ? ? bn ? ? , (k ? N * ) n ( n ? 2k ) ?2 n 5 ? 3 ? 2 ? 3, ?
8. 解析:(1)设数列

?an ? 的公比为 q ( q ? 0, q ? 1 )

2 4 3 由 a5 , a3 , a4 成等差数列,得 2a3 ? a5 ? a4 ,即 2a1q ? a1q ? a1q

由 a1 ? 0, q ? 0 得 q2 ? q ? 2 ? 0 ,解得 q1 ? ?2, ∴ q ? ?2 (2)证法一:对任意 k ? N?

q2 ? 1(舍去)

Sk ?2 ? Sk ?1 ? 2Sk ? (Sk ?2 ? Sk ) ? (Sk ?1 ? Sk ) ? ak ?1 ? ak ?2 ? ak ?1
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? 2ak ?1 ? ak ?1 ? (?2) ? 0
所以,对任意 k ? N? , Sk ?2 , 证法二

Sk , Sk ?1 成等差数列

对任意 k ? N? , 2Sk ?

2a1 (1 ? q k ) 1? q

Sk ?2 ? Sk ?1 ?

a1 (1 ? q k ? 2 ) a1 (1 ? q k ?1 ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? ? 1? q 1? q 1? q 2a1 (1 ? q k ) a1 (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) ? 1? q 1? q

2Sk ? ( Sk ? 2 ? Sk ?1 ) ?
?

a1 [2(1 ? q k ) ? (2 ? q k ? 2 ? q k ?1 ) 1? q

?

a1q k 2 (q ? q ? 2) ? 0 1? q
Sk , Sk ?1 成等差数列.
a3 +a4 +a5 =84,a5 =73 可 得

因此,对任意 k ? N? , Sk ?2 ,
9.





:(Ⅰ)



3a4 ? 84, a4 ? 28,



a9 =73,



5d ? a9 ? a4 ? 45, d ? 9 , a1 ? a4 ? 3d ? 28 ? 27 ? 1 ,于是 an ? 1 ? (n ? 1) ? 9 ? 9n ? 8 ,即 an ? 9n ? 8 .
(Ⅱ)对任意 m∈N﹡, 9 ? 9n ? 8 ? 9
m 2m

,则 9 ? 8 ? 9n ? 9
m

2m

? 8,

即9

m ?1

?

8 8 ? n ? 9 2 m ?1 ? ,而 n ? N * ,由题意可知 bm ? 9 2m?1 ? 9 m?1 , 9 9

于是 S m ? b1 ? b2 ? ? ? bm ? 91 ? 93 ? ? ? 92m?1 ? (90 ? 91 ? ? ? 9m?1 )

?

9 ? 9 2 m?1 1 ? 9 m 9 2 m?1 ? 9 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 10 ? 9 m ? 1 9 2 m?1 ? 1 9 m ? ? ? ? ? ? , 1? 9 80 8 80 80 8 1 ? 92 9 2 m?1 ? 1 9 m ? . 80 8

即 Sm ?

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