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2016


平摆线与圆的渐开线

1.了解平摆线、圆的渐开线的生成过程,能导出它们的参数方程. 2.在欣赏曲线美的同时,体会参数方程在曲线研究中的地位. 3.体会“参数”思想在处理较为复杂问题时的优越性.

[基础·初探] 1.平摆线 (1)如图 4?4?7 所示,假设 A 为圆心, 圆周上的定点为 P, 开始时位于 O 处,圆(半 径为 r)在直线上滚动时,点 P 绕圆心做圆周运动,转过 θ (弧度)角后,圆与直线相切于 B, 线段 OB 的长等于 的长,即 OB=rθ .这就是圆周上的定点 P 在圆 A 沿直线滚动过程中满

足的几何条件.我们把点 P 的轨迹叫做平摆线,简称摆线,又叫旋轮线.

图 4?4?7 (2)以定直线为 x 轴,点 O 为原点建立直角坐标系,则定点 P(x, y)的参数方程为
? ?x=r?θ -sin θ ?, ? ?y=r?1-cos θ ? ?

(θ 为参数).

2.圆的渐开线 有一条钢丝紧箍在一个半径为 r 的圆盘上, 在钢丝的外端系上一支铅笔, 逐渐撒开钢丝, 并使撒开的部分成为圆盘的切线, 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线, 相应的定圆叫做 渐开线的基圆. [思考·探究] 1.用参数法求曲线的轨迹方程的步骤是什么? 【提示】 用参数法求曲线的轨迹方程,其步骤主要有三步:选参、用参、消参.其中 关键是选参, 若题目没有明确要求化为普通方程(或需判断曲线的形状和位置), 则可以用曲 线的参数方程作为答案. 2.圆的渐开线的参数方程中的参数的几何意义是什么? 【提示】 根据渐开线的定义和求解参数方程的过程, 可知其中的字母 r 是指基圆的半

1

径,而参数 φ 是指绳子外端运动时,半径 OB 相对于 Ox 转过的角度,如图,其中的∠AOB 即是角 φ .显然点 P 由参数 φ 惟一确定.在我们解决有关问题时可以适当利用其几何意义, 把点的坐标转化为与三角函数有关的问题,使求解过程更加简单.

[质疑·手记] 预习完成后,请将你的疑问记录,并与“小伙伴们”探讨交流: 疑问 1:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问 2:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________ 疑问 3:_____________________________________________________ 解惑:_____________________________________________________

摆线 已知一个圆的摆线过一定点(1,0),请写出该摆线的参数方程. 【自主解答】 根据圆的摆线的参数方程的表达式?
?x=r?φ -sin φ ?, ? ?y=r?1-cos φ ? ?

(φ 为参

数)可知,只需求出其中的 r,也就是说,摆线的参数方程由圆的半径惟一来确定,因此只 需把点(1,0)代入参数方程求出 r 值再代入参数方程的表达式. 令 r(1-cos φ )=0 可得 cos φ =1, 所以 φ =2kπ (k∈Z)代入可得 x=r(2kπ -sin 2kπ )=1. 1 所以 r= . 2kπ 又根据实际情况可知 r 是圆的半径,故 r>0. 所以,应有 k>0 且 k∈Z, 即 k∈N+. 所以,所求摆线的参数方程是

2

1 x= ? ? 2kπ ?φ -sin φ ?, ? 1 ? ?y=2kπ ?1-cos φ ? [再练一题]

(其中 φ 为参数,k∈N+).

1. 已知一个圆的平摆线过一定点(2,0), 请写出该圆的半径最大时该平摆线的参数方程. 【解】 令 y=0,可得 r(1-cos φ )=0,由于 r>0, 即得 cos φ =1,所以 φ =2kπ (k∈Z). 代入 x=r(φ -sin φ ),得 x=r(2kπ -sin 2kπ ). 又因为 x=2,所以 r(2kπ -sin 2kπ )=2, 即得 r= 1



(k∈N+).

1 易知,当 k=1 时,r 取最大值为 . π 代入即可得圆的平摆线的参数方程为 1 ? ?x=π ?φ -sin φ ?, ? 1 ? ?y=π ?1-cos φ ?

(φ 为参数).

圆的渐开线 已知圆的渐开线的参数方程
?x=3cos φ +3φ sin φ , ? ? ?y=3sin φ -3φ cos φ ?

(φ 为参数)

π 求出该渐开线的基圆的方程,当参数 φ 取 时,求对应曲线上点的坐标. 2 π 【思路探究】 由圆的渐开线的参数方程形式可得 r=3,把 φ = 代入即得对应的坐 2 标. 【自主解答】 ∵?
?x=3cos φ +3φ sin φ ? ? ?y=3sin φ -3φ cos φ
2 2

,∴半径为 3.

此渐开线的基圆方程为 x +y =9. π 把 φ = 代入参数方程得 2 π π π ? ?x=3?cos 2 + 2 sin 2 ?, ? π π π ?y=3?sin 2 - 2 cos 2 ?, ?

3

3π ? ?x= , 2 即? ? ?y=3. 3π ∴曲线上点的坐标为( ,3). 2

圆的渐开线参数方程
? ?x=r?cos φ +φ sin φ ?, ? ?y=r?sin φ -φ cos φ ?, ?

其中 φ 为参数.

[再练一题] 2.已知圆的直径为 2,其渐开线的标准参数方程对应的曲线上两点 A、B 对应的参数分 π π 别是 和 ,求 A、B 两点的距离. 3 2 【导学号:98990038】 【解】 根据条件可知圆的半径是 1, 所以对应的渐开线参数方程是? π 和 φ = 代入, 2 3+ 3π 3 3-π π 可得 A、B 两点的坐标分别为 A( , ),B( ,1). 6 6 2 那么,根据两点之间的距离公式可得 A、B 两点的距离为
? ?x=cos φ +φ sin φ , ?y=sin φ -φ cos φ ?

π (φ 为参数), 分别把 φ = 3

AB=


3+ 3π π 2 3 3-π 2 ? - ? +? -1? 6 2 6

1 2 ?13-6 3?π -6π -36 3+72. 6

即 A、B 两点之间的距离为 1 2 ?13-6 3?π -6π -36 3+72. 6

1.若某圆的渐开线方程是?

? ?x=cos φ +φ sin φ , ?y=sin φ -φ cos φ ?

(φ 为参数),则此圆的方程是

4

π _______,对应 φ =0 的点的坐标是________,对应 φ = 的点是________. 2 π 2 2 【解析】 圆的方程为 x +y =1,φ =0 的点的坐标是(1,0),对应 φ = 的点的坐标 2 π 是( ,1). 2 π 2 2 【答案】 x +y =1 (1,0) ( ,1) 2 2.摆线? ________. 【导学号:98990039】 【解析】 当 y=1 时,有 2(1-cos θ )=1, 1 π 5π ∴cos θ = ,又∵0≤θ ≤2π ,∴θ = 或 , 2 3 3 π 2π 5π 10π 当 θ = 时,x= - 3;当 θ = 时,x= + 3. 3 3 3 3 2π 10π 【答案】 ( - 3,1),( 3+ ,1) 3 3 3.如图 4?4?8,ABCD 是边长为 1 的正方形,曲线 AEFGH?叫做“正方形的渐开线”, 其中弧 AE、EF、FG、GH 的圆心依次按 B、C、D、A 循环,它们依次相连接,则曲线 AEFGH 长是________.
?x=2?θ -sin θ ?, ? ?y=2?1-cos θ ? ?

(0≤θ ≤2π ) 与 直 线 y = 1 交 点 的 直 角 坐 标 为

图 4?4?8 【解析】 相加得 5π . 【答案】 5π 4.已知一个圆的参数方程为?
?x=3cos θ , ? ?y=3sin θ ?

=2π ,

(θ 为参数).那么圆的平摆线方程中与

π ?3 ? 参数 φ = 对应的点 A 与点 B? π ,2?之间的距离为________. 2 2 ? ?

5

【解析】 根据圆的参数方程可知,圆的半径为 3,那么它的平摆线的参数方程为
?x=3?φ -sin φ ?, ? ? ?y=3?1-cos φ ? ?

(φ 为参数),

π ? ?x=3? -1?, π 2 把 φ = 代入参数方程中可得? 2 ? ?y=3 π 即 A(3( -1),3), 2 ∴AB= 【答案】 π 3 2 2 [3? -1?- π ] +?3-2? = 10. 2 2 10

我还有这些不足: (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________ 我的课下提升方案: (1)_____________________________________________________ (2)_____________________________________________________

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