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人教版高中数学《二项式定理》优质教学课件

二项式定理 ——人教A版普通高中课程标准实验教科书《数学》选修2-3 [问题 1]有人说 (1 ? x)70 的展开式中有 x 47 项,你认为对吗? 若有,它的系数是多少? [问题 2]我们学习了 (a ? b)2 的展开式,那么 (a ? b)n 的展 开式会怎样呢? [问题 2]我们学习了 (a ? b)2 的展开式,那么 (a ? b)n 的展 开式会怎样呢? (1)观察 (a ? b)1 、 (a ? b)2 、 (a ? b)3 、 (a ? b)4 、 (a ? b)5 的展开式,你能得到哪些规律? 展开式 (a ? b)1 ? a ? b (a ? b) 2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 (a ? b)3 ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b3 (a ? b) 4 ? a 4 ? 4a 3b ? 6a 2b 2 ? 4ab3 ? b 4 (a ? b)5 ? a 5 ? 5a 4b ? 10a 3b 2 ? 10a 2b3 ? 5ab 4 ? b5 ( a ? b) n ? [问题 3] (a ? b)n ? ?0an ? ?1an?1b ? ??? ? ?k an?k bk ? ??? ? ?nbn 中的 ?k ? ? 3 3 2 2 3 ( a ? b ) ? ? a ? ? a b ? ? ab ? ? b (1) 在 中,为什 0 1 2 3 么“ ? 0 ? 1, ? 1? 3 , ? 2 ? 3 , ? 3 ? 1 ”? (2) (a ? b)3 与 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) 是什么关系. (2) (a ? b)3 与 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) 是什么关系? 当 a1 ? a2 ? a3 ? a , b1 ? b2 ? b3 ? b 时, (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) ? (a ? b)3 . (3) 探究 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) 展开式的特点. (3) 探究 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) 展开式的特点. (a1 ? b1 )(a2 ? b2 ) ? a1a2 ? a1b2 ? b1a2 ? bb 1 2 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) ? (a1a2 ? a1b2 ? b1a2 ? b1b2 )(a3 ? b3 ) a1a2a3 ? a1a2b3 ? a1a3b2 ? a1b2b3 ? a2a3b1 ? a2bb 1 3 ? a3bb 1 2 ? bb 1 2b3 (3) 探究 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) 展开式的特点. (a1 ? b1 )(a2 ? b2 ) ? a1a2 ? a1b2 ? b1a2 ? bb 1 2 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) ? (a1a2 ? a1b2 ? b1a2 ? b1b2 )(a3 ? b3 ) a1a2a3 ? a1a2b3 ? a1a3b2 ? a1b2b3 ? a2a3b1 ? a2bb 1 3 ? a3bb 1 2 ? bb 1 2b3 [结论 ]多项式乘法展开式中的项是由每一个括号中取且只取 一项相乘而成. 多项式乘法的展开式中的项 是由每一个括号中取且只取 一项相乘. 3 3 2 2 3 ( a ? b ) ? ? a ? ? a b ? ? ab ? ? b (4)在 中,为什么 0 1 2 3 ? 1? 3 ? 多项式乘法的展开式中的项 是由每一个括号中取且只取 一项相乘. (4)在 (a ? b)3 ? ? 0a3 ? ? 1a2b ? ? 2ab2 ? ? 3b3 中,为什么 ? 1? 3 ? (a ? b)3 ? (a ? b)(a ? b)(a ? b) ? a 3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b3 (a1 ? b1 )(a2 ? b2 )(a3 ? b3 ) ? a1a2 a3 ? a1a2b3 ? a1a3b2 ? a1b2b3 ? a2 a3b1 ? a2b1b3 ? a3b1b2 ? b1b2b3 二项展开式中的项是由每一 个括号中取且只取一项相乘 得到的. 0 3 1 2 3 3 (a ? b)3 ? C3 a ? C3 a b ? C32 ab 2 ? C3 b (a ? b) n ? ? 0 a n ? ? 1a n?1b ? ??? ? ? k a n?k b k ? ??? ? ? nb n [问题 3]你能证明: 0 n 1 n?1 k n?k k n n (a ? b)n ? Cn a ? Cn a b ????? Cn a b ????? Cn b (n ? N? ) 吗? n 证明: (a ? b) 是 n 个 (a ? b) 相乘,根据多项式的乘法,展开式每一项都 满足 a n ?k bk ( k ?{0,1, ???, n} ).对项 a n ?k bk ( k ?{0,1, ???, n} )看成问题: 从 n 个括号中选择 k 个括号选“ b ” ,剩余括号选择“ a ” ,相乘而成. 可这样设计计数模型: 要做这件事,可分成两步来完成: k 第一、从 n 个括号中选择 k 个括号选“ b ” ,有 Cn 种选择; n?k 第二、剩余括号选择“ a ”就 Cn ? k ? 1 种选法, k k ? 1 ? Cn 根据分步计数原理有 Cn 种选法. k k 所以,项 a n ?k bk 的同类项有 Cn ,故 a n ?k bk 的系数为 Cn ( k ?{0,1, ???, n} ). 所以, (a ? b) 展开式每一项满足 Cn a n k n ?k k b ( k ?{0,1, ???,

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