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线面平行典型例题和练习

线面平行典型例题和练习

直线与平面、平面与平面平行的判定与性质中,都隐含着直线与直线的平行,它成为联系直线与 平面、平面与平面平行的纽带,成为证明平行问题的关键. 1.运用中点作平行线 例 1.已知四棱锥 P ? ABCD 的底面是距形,M、N分别是AD、PB的中点,求证MN∥平面 PCD.

P

G

D

N

C

2.运用比例作平行线

M

A

B

例 2.四边形ABCD与ABEF是两个全等正方形,且AM=F图N,其中 M ? AC , N ? BF ,求

证:MN∥平面 BCE

C1

D

B

M

H

A

E
N F

3. 运用传递性作平行线 例 3.求证:一条直线与两个相交平面都平行,则这条直线和它们的交线平行

k? ?

ln m

?

?

4.运用特殊位置作平行线

图4

例 4.正三棱柱ABC-A1B1C1 的底面边长为 2,点E、F分别是C1C、B1B上的点,点M是

线段AC上的动点,EC=2FB=2.问当点M在何位置时MB∥平面AEF?

C1

E

A1

B1

N C F
M

课堂强化:

A

B

1. 1.棱长都相等的四面体称为正四面体.在正四面体 A-BCD 中,点 M图,N5 分别是 CD 和 AD 的中点,

给出下列命题:

①直线 MN∥平面 ABC;

第1 页共8页

②直线 CD⊥平面 BMN; ③三棱锥 B-AMN 的体积是三棱锥 B-ACM 的体积的一半. 则其中正确命题的序号为
2. (2012?山东)如图,几何体 E-ABCD 是四棱锥,△ABD 为正三角形,CB=CD,EC⊥BD. (Ⅰ)求证:BE=DE; (Ⅱ)若∠BCD=120°,M 为线段 AE 的中点,求证:DM∥平面 BEC
. 3. .(2012?辽宁)如图,直三棱柱 ABC-A′B′C′,∠BAC=90°,AB=AC= 2,AA′=1,点 M,N 分别为 A′B 和 B′C′的中点. (Ⅰ)证明:MN∥平面 A′ACC′; (Ⅱ)求三棱锥 A′-MNC 的体积.
4.(2011?上城区)如图所示的几何体中,△ABC 为正三角形,AE 和 CD 都垂直于平面 ABC,且 AE=AB=2, CD=1,F 为 BE 的中点. (1)若点 G 在 AB 上,试确定 G 点位置,使 FG∥平面 ADE,并加以证明; (2)求 DB 与平面 ABE 所成角的正弦值.
5. .(2009?宁夏)如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍, P 为侧棱 SD 上的点. (1)求证:AC⊥SD; (2)若 SD⊥平面 PAC,求二面角 P-AC-D 的大小; (3)在(2)的条件下,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由.
第2 页共8页

6. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,AB=1,PA=2. (I)证明:直线 CE∥平面 PAB; (Ⅱ)求三棱锥 E-PAC 的体积. 7. 如图,已知四边形 ABCD 是平行四边形,点 P 是平面 ABCD 外的一点,则在四棱锥 P-ABCD 中,M 是 PC 的中点,在 DM 上取一点 G,过 G 和 AP 作平面交平面 BDM 于 GH.求证:AP∥GH.
8. 已知平面 α ∥面 β ,AB、CD 为异面线段,AB?α ,CD?β ,且 AB=a,CD=b,AB 与 CD 所成的角 为 θ ,平面 γ ∥面 α ,且平面 γ 与 AC、BC、BD、AD 分别相交于点 M、N、P、Q.且 M、N、P、Q 为中点, (1)若 a=b,求截面四边形 MNPQ 的周长; (2)求截面四边形 MNPQ 面积的最大值.
9. 如图,在正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,棱长 AA1=2,AB=1,E 是 AA1 的中点. (Ⅰ)求证:A1C∥平面 BDE; (Ⅱ)求点 A 到平面 BDE 的距离.
第3 页共8页

10. 如图,在三棱锥 P-ABC 中,已知 AB=AC=2,PA=1,∠PAB=∠PAC=∠BAC=60°,点 D、E 分别为 AB、PC 的中点. (1)在 AC 上找一点 M,使得 PA∥面 DEM; (2)求证:PA⊥面 PBC; (3)求三棱锥 P-ABC 的体积.
11. 空间四边形 ABCD 的对棱 AD,BC 成 60°的角,且 AD=BC=a,平行于 AD 与 BC 的截面分别交 AB, AC,CD,BD 于 E、F、G、H. (1)求证:四边形 EFGH 为平行四边形; (2)E 在 AB 的何处时截面 EFGH 的面积最大?最大面积是多少?
12. 如图,四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 为正方形,BC=PD=2,E 为 PC 的中点, BG=2CG (I)求证:PC⊥BC; (II)求三棱锥 C-DEG 的体积; (III)AD 边上是否存在一点 M,使得 PA∥平面 MEG.若存在,求 AM 的长;否则,说明理由.
13. 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,∠ABC=∠ACD=90°,∠BAC=∠CAD=60°,PA⊥平面 ABCD,E 为 PD 的中点,AB=1,PA=2. (I)证明:直线 CE∥平面 PAB; (Ⅱ)求三棱锥 E-PAC 的体积
第4 页共8页

14. 如图,四棱锥 S-ABCD 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 2 倍,P 为侧棱 SD 上的 点. (Ⅰ)求证:AC⊥SD; (Ⅱ)若 PD:SP=1:3,侧棱 SC 上是否存在一点 E,使得 BE∥平面 PAC.若存在,求 SE:EC 的值; 若不存在,试说明理由.

15.如图,在五面体中,平面 ABCD⊥平面 BFEC,Rt△ACD、RtACB、Rt△FCB、Rt△FCE 为全等直角 三角形,AB=AD=FB=FE=1,斜边 AC=FC=2. (Ⅰ)证明:AF∥DE; (Ⅱ)求棱锥 D-BCEF 的体积.

课后作业

一、选择题

1.下列条件中,能判断两个平面平行的是( )

A.一个平面内的一条直线平行于另一个平面;

B.一个平面内的两条直线平行于另一个平面

C.一个平面内有无数条直线平行于另一个平面

D.一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面

2、已知直线 a 与直线 b 垂直,a 平行于平面α ,则 b 与α 的位置关系是(

)

A.b∥α

B.b α

C.b 与α 相交

D.以上都有可能

3. 直线 a,b, c 及平面?,? ,使 a // b 成立的条件是( )

A. a //?,b ? ?

B. a //?,b //?

C. a // c,b // c

D. a //?,? ? ? b

4.若直线 m 不平行于平面? ,且 m ? ? ,则下列结论成立的是( )

A.? 内的所有直线与 m 异面

B.? 内不存在与 m 平行的直线

C.? 内存在唯一的直线与 m 平行

D.? 内的直线与 m 都相交

5.下列命题中,错误的个数是( )

① 一条直线平行于一个平面,这条直线就和这个平面内的任何直线不相交;② 过平面外一

点有且只有一条直线和这个平面平行;③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行;④ 平

行于同一条直线的两条直线和同一平面平行;⑤ a 和 b 异面,则经过 b 存在唯一一个平面与? 平



A.4

B.3

C.2

D.1

第5 页共8页

6.已知空间四边形 ABCD中, M , N 分别是 AB,CD 的中点,则下列判断正确的是( )

A. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

B. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

C. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

D. MN ? 1 ? AC ? BC ?
2

7 .? ,β 是两个不重合的平面,a,b 是两条不同直线,在下列条件下,可判定? ∥β 的是( )

A.? ,β 都平行于直线 a,b

B.? 内有三个不共线点到 β 的距离相等

C.a,b 是? 内两条直线,且 a∥β ,b∥β

D.a,b 是两条异面直线且 a∥? ,b∥? ,a∥β ,b∥β

8.两条直线 a,b 满足 a∥b,b ? ,则 a 与平面? 的关系是( )

A.a∥ ?

B.a 与? 相交

C.a 与? 不相交

D.a ?

9.设 a, b 表示直线,?, ? 表示平面,P 是空间一点,下面命题中正确的是( )

A. a ?? ,则 a //? C.? // ?, a ? ?,b ? ? ,则 a // b

B. a //? , b ? ? ,则 a // b D. P ? a, P ? ? , a //?,? // ? ,则 a ? ?

10.一条直线若同时平行于两个相交平面,那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是( )

A.异面

B.相交

C.平行

D.不能确定

11.下列四个命题中,正确的是( )

①夹在两条平行线间的平行线段相等;②夹在两条平行线间的相等线段平行;③如果一条直线

和一个平面平行,那么夹在这条直线和平面间的平行线段相等;④如果一条直线和一个平面平行,

那么夹在这条直线和平面间的相等线段平行

A.①③

B.①② C.②③

D.③④

12.在下列命题中,错误的是

A. 若平面α 内的任一直线平行于平面β ,则α ∥β

B. 若两个平面没有公共点,则两个平面平行

C. 若平面α ∥平面β ,任取直线 a ? α ,则必有 a∥β

D. 若两条直线夹在两个平行平面间的线段长相等,则两条直线平行
二、填空题 13.如下图所示,四个正方体中,A,B 为正方体的两个顶点,M,N,P 分别为其所在棱的中点, 能得到 AB//面 MNP 的图形的序号的是









14.正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,E 为 DD 1 中点,则 BD1 和平面 ACE 位置关系是



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15.a,b,c为三条不重合的直线,α ,β ,γ 为三个不重合的平面,直线均不在平面内,给出 六个命题:

①ba∥∥cc???

?

a

∥b;

②a ∥? b∥?

? ? ?

?

a

∥b;

③? ?

∥c? ∥c??

?

?



?

;

④?a ∥∥cc???

?

a

∥?;

⑤? ?

∥? ∥?

? ? ?

?

?



?

?

⑥? ∥? a ∥?

? ? ?

?

a

∥??

其中正确的命题是________________.

16.如图,正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,E,F,G,H 分别是棱 CC1,C1D1,DD1,DC 中点,N 是 BC 中

点,点 M 在四边形 EFGH 及其内部运动,则 M 满足

时,有 MN∥平面 B1BD D1.

三、解答题

17.如图,正三棱柱 ABC ? A1B1C1 的底面边长是 2,侧棱长是 3,D 是 AC 的中点.求证: B1C // 平面

A1BD .

C1

A1

B1

18、已知 E、F、G、H 为空间四边形 ABCD 的边 AB、BC、

H∥FG.

A

求证:EH∥BD.

C

D

CD、DA 上的点,且E

B

A

EH

19、如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中, D 为 AC 的中点,求 B1

B

D

F

G 证: AB1 // 平面BC1D;

C1

C

A

1

B

C

D

20.如图,在正四棱锥

P

?

ABCD

中,PA

?

A AB ?

a

,点

E

在棱

PC

上.

问点

E

在何处时,PA

//

平面EBD



并加以证明.

P

E

D

C

21、已知正方体 ABCD ? A1B1C1D1 ,O 是底 ABCD 对角 A

求证:(1) C1O∥面 AB1D1 ;(2)面 OC1D // 面AB1D1 .

D1

A1

B

线的交点.

C1 B1

第7 页共8页
A

D O

C B

探究习题:

1.平面内两正方形 ABCD 与 ABEF,点 M,N 分别在对角线 AC,FB 上,且 AM:MC=FN:NB,沿 AB 折起,

使得∠DAF=900

(1)证明:折叠后 MN//平面 CBE;

(2)若 AM:MC=2:3,在线段 AB 上是否存在一点 G,使

平面 MGN//平面 CBE?

若存在,试确定点 G 的位置.

2.设平面? ∥平面 β ,AB、CD 是两条异面直线,M,N 分别是 AB,CD 的中点,且 A,C∈? ,B,D ∈β ,求证:MN∥平面? .

A C
?

M

N

E

D ?B

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