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第1部分 第3章 3.3 几个三角恒等式


第 3 章 三 角 恒 等 变 换

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几 个 三 角 恒 等 式

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问题1:我们已学过两角和与差的正弦、余弦公式, 那么S(α+β)+S(α-β),S(α+β)-S(α-β),C(α+β)+C(α-β),C(α+β) -C(α-β)会得到怎样的结论?

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提示:(1) sin(α+β)+sin(α-β) =(sin αcos β+cos αsin β)+(sin αcos β-cos αsin β) =2sin αcos β; (2)sin(α+β)-sin(α-β)=(sin αcos β+cos αsin β)-(sin αcos β-cos αsin β)=2cos αsin β;

(3)cos(α+β)+cos(α-β)=(cos αcos β-sin αsin β)+(cos
αcos β+sin αsin β)=2cos αcos β; (4)cos(α+β)-cos(α-β)=(cos αcos β-sin αsin β)-(cos αcos β+sin αsin β)=-2sin αsin β.

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问题2:将问题1得到的结论中α+β,α-β看作一个整体, 又会得到什么样的结论?
α+β α-β 提示:sin α+sin β=2sin cos ; 2 2 α+β α-β sin α-sin β=2cos sin ; 2 2 α+β α-β cos α+cos β=2cos cos ; 2 2 α+β α-β cos α-cos β=-2sin sin . 2 2

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积化和差公式与和差化积公式(公式不要求记忆) (1)积化和差公式: 1 sin αcos β= [sin(α+β)+sin(α-β)]; 2 1 cos αsin β= [sin(α+β)-sin(α-β)]; 2 1 cos αcos β= [cos(α+β)+cos(α-β)]; 2 1 sin αsin β=- [cos(α+β)-cos(α-β)]. 2

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(2)和差化积公式: α+β α-β sin α+sin β=2sin cos ; 2 2 α+β α-β sin α-sin β=2cos sin ; 2 2 α+β α-β cos α+cos β=2cos cos ; 2 2 α+β α-β cos α-cos β=-2sin sin . 2 2

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α 问题:如何用 tan 表示 sin α、cos α、tan α? 2 α α 提示:sin α=2sin cos 2 2

α α α 2sin cos 2tan 2 2 2 = α α= α; cos2 +sin2 1+tan2 2 2 2

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cos α=cos -sin 2 2
2α 2α





cos -sin 1-tan 2 2 2 = α α= α; cos2 +sin2 1+tan2 2 2 2 α 2tan 2



tan α=

α. 1-tan2 2

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万能公式 (1)sin α=

α 2tan 2 1+tan


2 . 2α 1-tan 2 2α 1+tan 2. (2)cos α= α 2tan 2 2α 1-tan (3)tan α= 2.

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1.公式的推导 积化和差公式的推导运用方程的思想把 Sα+β 与 Sα-β(或 Cα+β 与 Cα-β)看作二元一次方程组解方程推得.和差化积公式 的推导主要是角的变换.要认真体会这种思想方法. 2.公式的记忆 课标虽然对此二组公式不要求记忆,但记住运用起来总 是方便些.可这样记忆公式: 1 积化和差由一项变两项应加系数 ; 和差化积由两项变一 2 项加系数 2;系数 2 则角半.

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“正加得正余弦,正减得余正弦,余加得余弦积,余减 得正弦积”. “正余得正弦和,余正得正弦差,余积得余弦和,正积 得正弦差”,角的规律是先和后差. 1 两角 α、β 的正弦、余弦的积都可化为 [f(α-β)± f(α+β)] 2 的形式.如果两角的函数同为正弦或余弦,则“f”表示余弦; 如果一个为正弦一个为余弦,则“f”表示正弦.

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[例1]

求下列各式的值.

(1)sin 37.5°cos 7.5°; (2)sin 20°cos 70°+sin 10°sin 50°. [思路点拨] 利用积化和差公式对所给式子进行变形,

然后利用特殊角进行求解.

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[精解详析] (1)sin 37.5° 7.5° cos 1 = [sin(37.5° +7.5° )+sin(37.5° -7.5° )] 2 1 = (sin 45° +sin 30° ) 2 1? 2 1? = ? + ? 2? 2 2? ? ? 2+1 = . 4

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(2)sin 20° cos70 ° +sin 10° 50° sin 1 1 = (sin 90° -sin 50° (cos 60° )- -cos 40° ) 2 2 1 1 1 = - sin 50° cos 40° + 4 2 2 1 1 1 1 = - sin 50° sin 50° . + = 4 2 2 4

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[一点通]

套用和差化积公式的关键是记准、记牢公式,

为了能够把三角函数式化为积的形式,有时需要把常数首先化 为某个角的三角函数,然后再化积,有时函数不同名,要先化 为同名再化积,化积的结果能求值则尽量求出值来.

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1.函数 y=cos

π 解析:cos x· cos(x- ) 3

? π? x· ?x-3 ?的最小正周期为________. cos ? ?

1 π π = {cos(x+x- )+cos[x-(x- )]} 2 3 3 1 π 1 π = cos(2x- )+ cos 2 3 2 3 1 π 1 = cos(2x- )+ , 2 3 4 ∴最小正周期为 π.

答案:π
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2.化简:4sin(60°-θ)· θ· sin sin(60°+θ).
解:原式=-2sin θ· 120° [cos -cos (-2θ)] 1 =-2sin θ(- -cos 2θ)=sin θ+2sin θcos 2θ 2 =sin θ+(sin 3θ-sin θ) =sin 3θ.

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[例 2]

5 sin x 2 1 求函数 f(x)= - 的值域. x 2 2sin 2

5x x [思路点拨] (1)先通分,将 sin -sin 和差化积. 2 2 (2)再积化和差得函数. (3)在定义域内求值域.

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5x x sin -sin 2 2 [精解详析] f(x)= x 2sin 2
?3x ? ?3x ? sin? 2 +x?-sin? 2 -x? ? ? ? ?



x 2sin 2

3x 2cos sin x 2 3x x = x =2cos 2 cos2 2sin 2
?3x x? ?3x x? =cos? 2 +2?+cos? 2 -2? ? ? ? ?

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=cos2 x+cos x=2cos2x+cos x-1
? =2?cos ?

1?2 9 x+ ? - . 4? 8

x x ∵sin ≠0,∴ ≠kπ,即 x≠2kπ(k∈Z). 2 2 ∴-1≤cos x<1. 1 9 当 cos x=- 时,f(x)min=- , 4 8 当 cos x 趋于 1 时,f(x)趋于 2. 故函数
? 9 ? f(x)的值域是?-8,2?. ? ?

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[一点通]

通过和差化积、积化和差等三角变换,改

变函数式结构,并最终使函数解析式中只含一个三角函数

符号,是上述变换过程的基本内容,一般对同名异角三角
函数的和或差可考虑和差化积;对异角正、余弦函数的积, 可考虑积化和差.

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3.求sin2 20°+cos2 50°+sin 20°cos 50°的值.
1 1 解:法一:原式= (1-cos 40° )+ (1+cos 100° )+sin 2 2 20°cos 50° · 1 1 =1+ (cos 100° -cos 40° (sin 70° )+ -sin 30° ) 2 2 3 1 = -sin 70°sin 30° sin 70° · + 4 2 3 = . 4

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法二:原式=(sin 20° +cos 50°2-sin 20°cos 50° ) · 1 =(2sin 30°cos 10° - (sin 70° · ) -sin 30° ) 2
2

1 1 =cos 10° cos 20° - + 2 4
2

1+cos 20° 1 1 3 = - cos 20° = . + 2 2 4 4

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1 1 4.已知 cos α-cos β= ,sin α-sin β=- ,求 sin(α+β) 2 3 的值.

1 解:∵cos α-cos β= , 2 α+β α-β 1 ∴-2sin sin = . 2 2 2 1 又∵sin α-sin β=- , 3 α+β α-β 1 ∴2cos sin =- . 2 2 3 α-β ∵sin ≠0, 2 ② ①

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α+β 3 ∴由①②,得-tan =- , 2 2 α+β 3 即 tan = . 2 2 α+β α+β 2sin cos 2 2 ∴sin(α+β)= 2α+β 2α+β sin +cos 2 2 α+β 3 2tan 2× 2 2 12 = = = . 9 13 α+β 1+ 1+tan2 4 2

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[例 3]

1+sin θ θ 1 设 tan =t,求证: = (t+1). 2 1+sin θ+cos θ 2

[思路点拨] 利用万能公式,分别用 t 表示 sin θ,cos θ 即可.

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[精解详析]

2 由 sin θ= θ及 cos θ= θ,得 1 1+tan2 1+tan2 2 2

θ 2tan 2

1-tan



?1+t?2 +sin θ= θ = 1+t2 , 1+tan2 2 2?1+t? 1+sin θ+cos θ= θ = 1+t2 , 1+tan2 2 1+sin θ 1 故 = (t+1). 1+sin θ+cos θ 2
? θ? 2?1+tan2 ? ? ?

? θ ?2 ?1+tan ? 2? ?

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[一点通]

在万能代换公式中不论 α 的哪种三角函数

α (包括 sin α 与 cos α)都可以表示成 tan =t 的“有理式”, 2 将其代入式子中,就可将代数式表示成 t 的函数,从而就可 以进行相关代数恒等式的证明或三角式的求值.

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5.已知

?π ? tan?4+θ?=3,求 ? ?

sin 2θ-2cos2θ 的值.

π 解:令 tan( +θ)=3, 4 1+tan θ ∴ =3, 1-tan θ 1 ∴tan θ= . 2 sin 2θ-2cos2θ=sin 2θ-cos 2θ-1 1-tan2 θ 2tan θ = - -1 1+tan2 θ 1+tan2 θ 4 3 4 = - -1=- . 5 5 5

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3 7 θ 6.已知 sin θ=- ,3π<θ< π,求 tan . 5 2 2 θ 解:令 tan =t, 2
2t 3 ∴sin θ= =- ,即 3t2+10t+3=0 5 1+t2 1 解之得 t=-3 或- . 3 7 3 θ 7 又∵3π<θ< π,∴ π< < π. 2 2 2 4 θ ∴tan <-1. 2 θ ∴t=-3,即 tan =-3. 2

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1.应用积化和差、和差化积公式应从以下几个方面
考虑; (1)运用公式之后,能否出现特殊角; (2)运用公式之后,能否提取公因式,能否约分,能 否合并或消项;

(3)运用公式之后,能否使三角函数式结构更加简单,
各种关系更加明显,从而为下一步选用公式进行变换创造 条件.

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2.积化和差、和差化积公式的应用
(1)在应用和差化积公式时,必须是一次同名三角函数 方可施行,若是异名,必须用诱导公式化为同名,若是高 次函数,必须用降幂公式降为一次. (2)对于三角函数的和差化积,有时因使用公式不同或

选择解题的思路不同,化简结果可能在形式上不一致.不
论使用哪套公式,只要正确使用公式,结果一般会殊途同 归.有时为回避使用积与和差互化,可凑角后使用诱导公 式、倍角、半角、和差角公式等. 返回

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