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广东省深圳市宝安区2013届高三9月摸底考试试题(数学文)


广东省深圳市宝安区 2013 届高三摸底考试试题 数学试题(文)
命题 韩元彬 (考试时间:120 分钟 2012.9

审核 满分:150 分)

注意事项: 1.答卷前,考生首先检查答题卡是否整洁无缺损,监考教师分发的考生信息条形码是 否正确; 之后务必用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、 姓名和考生号,同时,将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区,请保持条形码整洁、不污损. 2.选择题每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改 动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案,答案不能答在试卷上.不按要求填涂的,答 案无效. 3.非选择题必须用 0.5 毫米黑色字迹的签字笔作答,答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上,请注意每题答题空间,预先合理安排;如需改动,先划掉原来 的答案, 然后再写上新的答案; 不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无 效. 4.作答选做题时,请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点,再做答.漏涂、错 涂、多涂的答案无效. 5.考生必须保持答题卡的整洁,考试结束后,将答题卡交回. 参考公式:棱柱的体积公式为 V ? sh ,其中 S 为棱柱的底面积,h 为棱柱的高。 一组数据 x1,x2,?,xn 的方差 s ?
2

1 n

[( x1 ? x ) ? ( x 2 ? x ) ? ... ? ( x n ? x ) ] ,其中 x 表示
2 2 2

这组数据的平均数。 一 、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分,在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的 1、设 i 为虚数单位,则复数 A.-4 B.-4i
4 ? 3i i

的虚部为 ( D.4i
2



C.4

2、设集合 A ? { x y ? x ? 1, x ? R }, B ? { y y ? x ? 1, x ? R } ,则 A ? B =( A. { (0,1), (1, 2)} B.
{ x x ? 1}



C. { (1, 2 )}

D.R )

3、设向量 a ? ? 1, 0 ? , b ? ? 1,1 ? ,则下列结论中正确的是(
2 2

A、 a ? b

B、 a ? b ?

C、 a ? b 与 a 垂直 )

D、 a ∥ b

4、下列函数中,既是偶函数又在 (0, ? ? ) 单调递增的函数是( A. y ? ?
1 x

B. y ? lg ( x ? 4 )
2

C. y ? e

|x|

D. y ? cos x )

5、对于函数 f ( x ) ?

3 sin x ? cos x ,下列命题中正确的是 (

A. ? x ? R , f ( x ) ? 2 C. ? x ? R , f ( x ) ? 2

B. ? x ? R , f ( x ) ? 2 D. ? x ? R , f ( x ) ? 2

6 、某班 4 个小组的人数为 10,10, x , 8,已知这组数据的中位数与平均数相等,方差等于 2,则 x 的值为 ( ) A.9 B. 8 C. 12 D. 8 或 12 7、执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 1 B. ? 1 C. ? 2 D. 0



8、已知双曲线

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1 的一个焦点与抛物线 y ? 4 x 的焦点重合,且双曲线的离心率等
2

于 5 ,则该双曲线的方程为(
2 2 2

)
2 2 2

A. 5 x ?
2

4y 5

?1

B.

x

?

y

?1

C.

y

?

x

?1

D. 5 x ?
2

5y 4

?1

5

4

5

4

?x ? y ? 1 ? 9、已知点 ( x , y ) 满足 ? x ? y ? ? 1 ,目标函数 z ? ax ? 2 y 仅在点(1,0)处取得最小值,则 ?2 x ? y ? 2 ?

a 的范围为( A. ( ? 1, 2 )

) B. (? 4 , 2 ) C. ( ? 2 ,1) D. (? 2 , 4 )
2

10 、 已 知 集 合 A ? {( x , y ) | x ? n , y ? na ? b , n ? Z } , B ? {( x , y ) | x ? m , y ? 3 m ? 1 2,
m ? Z } .若存在实数 a , b 使得 A ? B ? ? 成立,称点 ( a , b ) 为“£”点,则“£”点在平面

区域 C ? { ( x , y ) | x ? y ? 108} 内的个数是
2 2

(

)

A. 0 B. 1 C. 2 D. 无数个 二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分。 (一)必做题(11~13 题) 11、函数 y ?
x ?1 ln x

的定义域为__________. 3
3

12、已知圆 C :( x ? 1) ? y ? 8 ,过点 A ( ? 1, 0) 的直线 l 将
2 2

圆 C 分成弧长之比为 1 : 2 的两段圆弧,则直线 l 的方

2 主视图 2 侧视图

2

2 俯视图

程为 . 13、某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积是 (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14,(坐标系与参数方程选做题)
? x ? 1 ? co s ? ? y ? sin ?

.

曲线 C 1 : ?

1 ? x ? ?2 2 ? t ? ? 2 ( ? 为参数)上的点到曲线 C 2 : ? ( t 为参数)上的 1 ? y ?1? t ? ? 2

点的最短距离为________. 15.(几何证明选讲选做题)。 如图, P A 是圆 O 的切线, A 为切点, P B C 是圆 O 的割 线.若
PA BC ? 3 2

,则

PB BC

? ______.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分。解答须写出文 字说明、证明过程和演算步骤。 16、(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? 2 co s
2

x 2

?

3 sin x .

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和值域; (Ⅱ)若 ? 为第二象限角,且 f (? ?
?
3 )? 1 3

,求

co s 2 ? 1 ? tan ?

的值.

17、(本小题满分 13 分) 公安部发布酒后驾驶处罚的新规定 (一次性扣罚 12 分) 已于今年 4 月 1 日起正式施行.酒后 违法驾驶机动车的行为分成两个档次: “酒后驾车”和“醉酒驾车”, 其检测标准是驾驶人 员血液中的酒精含量 Q (简称血酒含量,单位是毫克/100 毫升),当 20 ? Q ? 80 时,为酒 后驾车;当 Q ? 8 0 时,为醉酒驾车.某市公安局交通管理部门在某路段的一次拦查行动中, 依法检查了 200 辆机动车驾驶员的血酒含量(如下表). 血酒含量 人数 (0,20) 194 [20,40) 1 [40,60) [60,80) [80,100) [100, 120] 2 1 1 1

依据上述材料回答下列问题: (Ⅰ)分别写出酒后违法驾车发生的频率和酒后违法驾车中醉酒驾车的频率; (Ⅱ)从酒后违法驾车的司机中,抽取 2 人,请一一列举出所有的抽取结果,并求取到的 2 人中含有醉酒驾车的概率. (酒后驾车的人用大写字母如 A,B,C,D 表示,醉酒驾车的 人用小写字母如 a,b,c,d 表示)

18、(本小题满分 13 分) 已知数列 { a n } 是等差数列, a 3 ? 10 , a 6 ? 22 , 数列 { b n } 的前 n 项和是 S n , S n ? 且 (I)求数列 { a n } 的通项公式; (II)求证:数列 { b n } 是等比数列;
1 3 bn ? 1 .

19、(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 S ? A B C D 中,平面 SA D 为 AD 的中点, Q 为 S B 的中点. (Ⅰ)求证: C D ? 平面 S A D ; (Ⅱ)求证: P Q // 平面 S C D ;

?

平面 A B C D .四边形 A B C D 为正方形,且 P

S Q C P A D B
·M

(Ⅲ)若 S A ? S D , M 为 B C 中点,在棱 S C 上是否存在点 N , 使得平面 D M N ⊥平面 A B C D ,并证明你的结论.

20、(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点,左焦点为 ( ? 3 , 0) ,离心率为
3 2

.设直线 l 与椭圆 C 有且

只有一个公共点 P ,记点 P 在第一象限时直线 l 与 x 轴、 y 轴的交点分别为 A 、 B ,且向量
???? ? ??? ??? ? ? O M ? O A ? O B .求:

(I)椭圆 C 的方程; (II)求 O M 的最小值及此时直线 l 的方程.
???? ?

21、(本小题满分 14 分) 已知函数 f

?x? ?

a 3

x ?
3

1 2

? a ? 1? x 2

? x?

1 3

( a ? R).

(1) 若 a ? 0 ,求函数 f ? x ? 的极值; (2)是否存在实数 a 使得函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 上有两个零点,若存在,求出 a 的取值 范围;若不存在,说明理由。

广东省深圳市宝安区 2013 届高三摸底考试试题
文科数学参考答案
一、选择题 题 号 答 案 二、填空题 11、 { x x ? 0 且 x ? 1} 14、1 三、解答题 16、解:(Ⅰ)因为 f ( x ) ? 1 ? cos x ?
? 1 ? 2 co s( x ?
3 sin x

1 A

2 B

3 C

4 C

5 B

6 C

7 D

8 D

9 0 B

1 A

12、 y = x + 1 或 y = - x - 1

13、 3 3

15、

1 2

????????1 分 ????????3 分 ????????5 分

?
3

),

所以函数 f ( x ) 的周期为 2 ? ,值域为 [ ? 1, 3] . (Ⅱ)因为 f (? ?
?
3 )? 1 3 1 3

, ,即 cos ? ? ?
2 2

所以 1 ? 2 co s ? =
co s 2 ? 1 ? tan ?

1 3



????????6 分

因为

?

co s ? ? sin ? co s ? ? sin ? co s ?

????????8 分

? cos ? (cos ? ? sin ? ) ? co s ? ? co s ? sin ? ,
2

????????10 分
2 2 3

因为 ? 为第二象限角, 所以 sin ? ?



????????11 分

所以

co s 2 ? 1 ? tan ?

?

1 9

?

2 2 9

?

1? 2 2 9



????????12 分 ?????????1 分 ?????????3 分

17、解:(Ⅰ)由表可知,酒后违法驾车的人数为 6 人, 则违法驾车发生的频率为:
6 200 ? 3 100

或 0 . 03 ;

酒后违法驾车中有 2 人是醉酒驾车,则酒后违法驾车中醉酒驾车的频率为

2 6

?

1 3

.??6 分

(Ⅱ)设酒后驾车的 4 人分别为 A、B、C、D;醉酒驾车的 2 人分别为 a、b?????7 分 则从违法驾车的 6 人中,任意抽取 2 人的结果有:(A,B),(A,C),(A ,D),(A,a), (A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b), (a,b)共有 15 个. ???????9 分 设取到的 2 人中含有醉酒驾车为事件 E, ???????10 分 则事件 E 含有 9 个结果:(A,a),(A,b),(B,a),(B,b) ,(C,a),(C,b),(D,a), (D,b),(a,b). ???????12 分 ∴ P(E ) ?
9 15 ? 3 5
? a 1 ? 2 d ? 10 , ? a 1 ? 5 d ? 22 .

??13 分

18、解:(1)由已知 ?

解得 a 1 ? 2 , d ? 4 .

??????4 分

? a n ? 2 ? ( n ? 1) ? 4 ? 4 n ? 2 .

??????6 分 解得 b1 ?
3 4

(2)令 n ? 1 ,得 b 1 ? 1 ? 由于 S n ? 1 ?
1 3 bn , 1

1 3

b1 .



???7 分


b n ?1 ② 3 1 1 ? b n , ? b n ? b n ?1 3 4

当 n ? 2 时, S n ? 1 ? 1 ? ① -②得 b n ? 又? b1 ?
3 4
1 3 b n ?1

?????10 分
b2 b1 1 4

? 0 , s2 ? 1 ?

1 3

b 2 ,? b 2 ?

3 16

,满足

?

???12 分

?

bn b n ?1

?

1 4

. n ? 2) (
3 4 1 4
? AD

∴数列 { b n } 是以

为首项,

为公比的等比数列. .

????????13 分 ???????1 分

19、证明:(Ⅰ)因为四边形 A B C D 为正方形,则 C D 又平面 SA D ? 平面 A B C D , 且面 SA D ? 面 A B C D ? A D , 所以 C D ? 平面 S A D .

???????5 分

(Ⅱ)取 SC 的中点 R,连 QR, DR. 由题意知:PD∥BC 且 PD= BC.???????4 分
2 1

S R(N) Q C P A D O B · M

在 ? S B C 中, Q 为 S B 的中点,R 为 SC 的中点, 所以 QR∥BC 且 QR= BC.
2 1

所以 QR∥PD 且 QR=PD,

则四边形 P D R Q 为平行四边形. ??????????????????9 分 所以 PQ∥DR.又 PQ ? 平面 SCD,DR ? 平面 SCD, 所以 PQ∥平面 SCD. ??????????????????????12 分 (另解:连 QM,设 M 为 B C 中点,因为四边形 A B C D 为正方形,且 P 为 AD 的中点, M 为 C B 的中点, 所以 P M / / C D ,又因为 M 为 B C 中点, 为 S B 的中点, 所以 Q M / / S C , Q 所以平面 P M Q / / 平面 S C D ,因为 P Q ? 平面 P M Q ,所以 PQ∥平面 SCD.)
c a 3 2

20、解:(Ⅰ)由题意可知 c ?

3 ,e ?

?

,所以 a ? 2 ,于是 b ? 1 ,由于焦点在 x 轴
2

上,故 C 椭圆的方程为

x

2

? y ?1
2

????????????5 分
m k

4

(Ⅱ)设直线 l 的方程为: y ? kx ? m ( k ? 0, m ? 0) , A ( ?
? y ? kx ? m , 1 ? 2 2 2 2 消去 y 得: ( ? k ) x ? 2 kmx ? m ? 1 ? 0 ?x 2 4 ? y ? 1, ? ? 4
? 直线 l 与曲线 C 有且只有一个公共点, ? ? 4 k m
2 2

, 0 ), B ( 0 , m )

???????7 分

? (1 ? 4 k )( m
2

2

? 1) ? 0

即m

2

? 4k

2

? 1①

???????? 9 分

∵OM ? OA ? OB
m k
2 2

???? ?

??? ?

??? ?

?| OM | ?

?m

2



????????11 分

将①式代入②得:
???? ? | O M |? 1 k
2

? 4k ? 5 ?
2

2

1 k
2

? 4k

2

?5 ?3

当且仅当 k ? ?

2 2

时,等号成立,故 | O M | m in ? 3 ,此时直线方程为: ???????14 分
2

???? ?

2x ? 2y ? 2 3 ? 0 .

21、 解: (1) f ? ? x ? ? a x ? ? a ? 1 ? x ? 1 ? a ? x ? 1 ? ? x ?

? ?

1? ? a?

??????

2分

? a ? 0 ,?

1 a

? 1,
?1 ? ? ,1 ? ?a ?

1? ? ? ?? , ? a? ?

1 a
0 极小值

1

? 1, ? ? ?
递减

f ?? x ? f

递减

+
递增

0 极大值

?x?

??????4 分

f


? x ?极小值

? 1 ? ?2a ? 3a ? 1 =f ? ? = , f 2 6a ?a?
2

? x ? 极 大 值 = f ?1 ? = ? ? a ? 1 ? ? ? 6
6

1

2 1 ? 1 ? ? 2 a ? 3 a ? 1 ? ? a -1 ? ? 2 a -1 ? = (2) f ? ? = , f ?1 ? = ? ? a ? 1 ? 2 2 6a 6a 6 ?a?

f ?2?=

1 3

? 2 a ? 1? ,
1 2
时, f

f ?0?= ?

1 3

<0

?????8 分

① 当a ?

在 ? x ? 在 ? 0 ,1 ? 上为增函数, ?1,2 ? 上为减函数,f ? 0 ? = ?

1 3

<0 ,

f ?1 ? = ?

1 6

? a ? 1 ? > 0 , f ? 2 ? = ? 2 a ? 1 ? ? 0 ,所以 f ? x ? 在区间 ? 0 ,1? , ? 1,2 ? 上
3
?????????10 分

1

各有一个零点,即在 ? 0, 2 ? 上有两个零点; ② 当

1 2

< a ? 1 时, f

? x ? 在 ? 0 ,1 ? 上为增函数,在 ? 1,
?

?

1? ?1 ? ? 上为减函数,? ,2 ? 上为 a? ?a ?









f ?0?= ?

1 3

<0



f ?1 ? = ?

1 6

? a ? 1? > 0



1 ? 1 ? ? ? a -1 ? ? 2 a -1 ? f ? ?= > 0 , f ? 2 ? = ? 2 a ? 1 ? > 0 ,所以 f 2 6a 3 ?a?

? x ? 只在区间

? 0 ,1?
点;

上 有 一 个 零 点 , 故 在

? 0 ,?

2上 只 有 一 个 零

??????????12 分

③ 当 a >1 时, f

? x ? 在 ?0,
?

?

1? ?1 ? 上为增函数,在 ? ,1 ? 上为减函数, ? 1,2 ? 上为增 a? ? ?a ?

函数, f ?0? =?

1

1 ? 1 ? ? ? a -1 ? ? 2 a -1 ? < 0 , f ?1 ? = ? ? a ? 1 ? < 0 , < 0, f ? ? = 2 6a 3 6 ?a?
所以 f

f ?2?=

1 3

? 2 a ? 1? > 0 ,

? x ? 只在区间 ? 1,2 ? 上有一个零点,故在 ? 0, 2 ? 上只有
??????????13 分

一个零点; 故存在实数 a ,当 a ?

1 2

时,函数 f ? x ? 在区间 ? 0, 2 ? 上有两个零点???????14 分


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