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2018届高三数学一轮复习阶段检测卷五文


阶段检测五 平面解析几何
A.3 (时间:120 分钟 总分:150 分) 10.已知抛物线 C:y =8x,过点 P(2,0)的直线与抛 物线交于 A,B 两点,O 为坐标原点,则 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知直线 l 的斜率为 k(k≠0),它在 x 轴,y 轴上的截距分别为 k,2k,则直线 l 的方程为( ) 11.点 F 为椭圆 + =1(a>b>0)的一个焦点,若椭圆上存在点 A 使△AOF 为正三角形,那么椭圆的离心率为( 为半径的圆的方程为( D.x +y -2x-4y=0
2 2 2

B.3 或 C.

D.6 或 3 ? 的值为( )

A.-16 B.-12 C.4

D.2

A.2x-y-4=0

B.2x-y+4=0

C.2x+y-4=0

D.2x+y+4=0 )

)

2.当 a 为任意实数时,直线(a-1)x-y+a+1=0 恒过定点 C ,则以 C 为圆心, A.x +y -2x+4y=0
2 2

B.x +y +2x+4y=0

2

2

C.x +y +2x-4y=0

2

2

A.

B.

C.

D.

-1

3.已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的离心率 e= ,且其右焦点为 F(5,0),则双曲线 C 的方程为(

)

12.已知双曲线 C: - =1(a>0,b>0)的右焦点为 F,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的垂线,垂足为 H,若 FH 的中点 M 在 双曲线 C 上,则双曲线 C 的离心率为( )

A. - =1

B. - =1
2 2

C. - =1

D. - =1 A. B.2 1 C. 2 D. 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 得分 )

4.若直线 y=kx 与圆 (x-2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分别为(

A.k= ,b=-4

B.k=- ,b=4

C.k= ,b =4

D.k=- ,b=-4 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.请把正确答案填在题中的横线上)

5.已知直线 x+y-2=0 经过椭圆 C: + =1(a>b>0)的右焦点 F 和上顶点 B,则椭圆 C 的离心率为(

)

13.若圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,则该圆的标准方程为 .

14.已知双曲线 - =1(a>0,b>0)与椭圆 + =1 有共同的焦点,且一条渐近线方程为 A. B. -1 C. D. 为 .

x+y=0,则双曲线的顶点坐标

6.若双曲线 - =1(a>0,b>0)的离心率为 ,则其渐近线方程为(

)

15.设 F1、F2 分别是椭圆 + =1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是线段 F1P 的中点,|OM|=3(O 为坐标原点),则 |PF1|= .
2

A.y=±2x
2

B.y=±4x

C.y=± x

D.y=± x )

16.已知抛物线 C:y =2px( p>0)的焦点为 F,M 为抛物线 C 上一点,若△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切(O 为坐标 原点),且外接圆的面积为 9π ,则 p= . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答时写出必要 的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)已知圆 C 经过 P(4,-2),Q(-1,3)两点,且在 y 轴上截得的线段长为 4 ,半径小于 5.

7.过抛物线 y =4x 的焦点 F 且倾斜角为 60°的直线 l 与抛物线在第一象限 交于点 A,则|AF|=( A.5 B.4 C.3 D.2

8.设 F 是双曲线 - =1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上的一动点,则|PF|+|PA|的最小值为( A.5 B.5+4 C.7 D.9

)

(1)求直线 PQ 与圆 C 的方程; (2)若直线 l∥PQ,l 与圆 C 交于点 A, B,且以线段 AB 为直径的圆经过坐标原点,求直线 l 的方程.

9.设椭圆 + =1 的左、右焦点分别为 F1、F2,P 是椭圆上的一点,若△PF1F2 是直角三角形,则△PF1F2 的面积为(

)

1

(1)求 C 的标准方程; (2)设平行于 l1 的直线 l 交 C 于 A,B 两点,若以 AB 为直径的圆恰过坐标原点,求直线 l 的方程.

18.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C:x +2y =4. (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y=2 上,点 B 在椭圆 C 上,且 OA⊥OB,求线段 AB 长度的最小值. 21.(本小题满分 12 分)已知抛物线 C 的方程为 y =2px(p>0),点 R(1,2)在抛物线 C 上. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 Q(1,1)作直线交抛物线 C 于不同于 R 的两点 A,B,若直线 AR,BR 分别交直线 l:y=2x+2 于 M,N 两点,求|MN|最 小时直线 AB 的方程.
2

2

2

19.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0),e= ,其中 F 是椭圆的右焦点,焦距为 2,直线 l 与椭圆 C 交于点

A,B,点 A,B 的中点横坐标为 ,且 (1)求椭圆 C 的标准方程; (2)求实数 λ 的值.



(其中 λ >1).

22.(本小题满分 12 分)椭圆 + =1(a>b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,且离心率为 ,点 P 为椭圆上一动点,△F1PF2 面积 的最大值为 .

(1)求椭圆的方程; (2)设椭圆的左顶点为 A1,过右焦点 F2 的直线 l 与椭圆相交于 A,B 两点,连接 A1A,A1B 并延长分别交直线 x=4 于 R,Q 两 点,问 ? 是否为定值?若是,求出此定值;若不是,请说明理由.

20.(本小题满分 12 分)已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的顶点到直线 l1:y=x 的距离分别为

, .
2

9.C 由题意可得该椭圆短轴端点与两焦点的连线的夹角是 60°,所以点 P 不可能是直角顶点,只能是焦点为直角顶 阶段检测五 一、选择题 1 0.B 当直线 AB 的斜率不存在时,直线方程为 x=2,不妨设 A(2,4),B(2,-4),则 1.D 依题意得直线 l 过点(k,0)和(0,2k),所以其斜率 k= 式是 2x+y+4=0. 2.C 由(a-1)x-y+a+1=0 得(x+1)a-(x+y-1)=0,由 x+1=0 且 x+y-1=0,解得 x=-1,y=2,即该直线恒过点 (-1,2), ∴所求圆的方程为(x+1) +(y-2) =5,即 x +y +2x-4y=0. 2k ? 3.C ∵e= = ,F(5,0), ∴c=5,a=4,则 b =c -a =9,
2 2 2 2 2 2 2 2

平面解析几何

点,则 P

,故△PF1F2 的面积为 ?2c? = . ?
2

=4-16=-12;当直线 AB 的斜率

=-2,由点斜式得直线 l 的方程为 y=-2(x+2),化为一般

存在时,设直线方程为 y=k(x-2),代入抛物线方程得 k (x-2) =8x,即 k x -(4k +8)x+4k =0,设 A(x1,y1),B(x2,y2),则

2

2

2 2

2

x1+x2=

,x1x2=4,故

?

=x1x2+y1y2=x1x2+k [x1x2-2(x1+x2)+4]=(1+k )x1x2-2k (x1+x2)+4k =(1+k )?4-

2

2

2

2

2

+4k =-12,综上,

2

?

=-12,故选 B.

11.D 不妨设 F 为椭圆的右焦点,A 在第一象限,则点 A 的坐标为

,代入椭圆方程得

+

=1,即

∴双曲线 C 的方程为 - =1. 4.A 因为直线 y=kx 与圆(x-2) +y =1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,所以直线 y=kx 与直线 2x+y+b=0 垂直,且
2 2

b c +3a c =4a b ,再将 b =a -c 代入上式得 c -8a c +4a =0,又 e= ,得 e -8e +4=0,解得 e =4±2 圆的离心率范围为(0,1),故 e= -1.故选 D.

2 2

2 2

2 2

2

2

2

4

2 2

4

4

2

2

=(1±

) ,注意到椭

2

直线 2x+y+b=0 过圆心,所以

即 k= ,b=-4. 12.D 由题意可知,双曲线 C 的一条渐近线的方程为 y= x,则 FH 的方程为 y-0=- (x-c),即 y=- (x-c),联立
2 2 2

5.C 由已知可得 F(c,0),B(0,b),因为直线 x+y-2=0 经过点 F 和点 B,所以 b=c=2.又 a =b +c ,故 a=2

,所以椭圆 C

的离心率为 e= = ,选 C.

6.C 因为 e= =

= ,所以 = ,所以双曲线的渐近线方程为 y=± x.故选 C. (x-1),与抛物线方程联立,

可得点 H 的坐标为

,故 FH 的中点 M 的坐标为

,又点 M 在双曲线 C 上,所以

-

=1,整理得 =2,

7.B 由题意知,F(1,0),因为直线 l 过 焦点 F 且倾斜角为 60°,所以直线 l 的方程为 y=

故 e= =

.故选 D.

二、填空题 可得直线 l 与抛物线交点的坐标为 ,(3,2 ),又点 A 在第一象限,故 A(3,2 ),所以 13. 答案 (x-2) +(y-1) =1
2 2

解析 ∵圆 C 的半径为 1,圆心在第一象限,且与直线 4x-3y=0 和 x 轴都相切,∴圆心的纵坐标是 1,设圆心坐标为 |AF|= =4. (a,1)(a>0),则 1= 8.D 因为 F 是双曲线 - =1 的左焦点,所以 F(-4,0),设其右焦点为 H(4,0),则由双曲线的定义可得 14. 答案 |PF|+|PA|=2a+|PH|+|PA|≥2a+|AH|=4+ =4+5=9.故选 D. ,∴a=2(舍负),故该圆的标准方程为(x-2) +(y-1) =1.
2 2

3

∴直线 l 的方程为 y=-x+4 或 y=-x-3. 解析 因为椭 圆 + =1 的焦点为(±3,0),所以双曲线 - =1 中,c=3,a +b =9,又双曲线的一条渐近线方程为 18. 解析 x+y=0,所以 = 15. 答案 4 ,所以 a= ,所以双曲线的顶点坐标为 . 故椭圆 C 的离心率为 . (2)设点 A,B 的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中 x0≠0. 解析 因为椭圆方程为 + =1,所以 a =25,故 2a=10.又 P 为椭圆上一点,M 是线段 F1P 的中点,|OM|=3,所以|PF2|=6, 故|PF1|=4. 16. 答案 4 解析 因为△OFM 的外接圆与抛物线 C 的准线相切,所以△OFM 的外接圆的圆心到准线的距离等于圆的半径,由外接 因为 OA⊥OB,所以 ?
2 2 2 2

(1)由题意可得,椭圆 C 的标准方程为 + =1,所以 a =4,b =2,从而 c =a -b =4-2=2,故 a=2,c=

2

2

2

2

2

,

=0,即 tx0+2y0=0,则 t=2 2

.

又 +2 =4,所以|AB| =(x0-t) +(y0-2)

圆的面积为 9π ,得外接圆半径为 3,又圆心在线段 OF 的垂直平分线上,|OF|= ,所以 + =3,解得 p=4. 三、解答题 17. 解析 (1)设圆心 C(a,b),半径为 r.易知直线 PQ 的方程为 x+y-2=0,

=

+(y0-2)

2

= + +

+4

则线段 PQ 的垂直平分线的方程是 y- =x- ,即 y=x-1, 易知圆心在线段 PQ 的垂直平分线上, 所以 b=a-1.①

= +

+

+4

= + +4(0< ≤4). 由圆 C 在 y 轴上截得的线段长为 4 知(a+1) +(b-3) =12+a .② 由①②得 a=1,b=0 或 a=5,b=4. 当 a=1,b=0 时,r =13,满足题意, 当 a=5,b=4 时,r =37,不满足题意, 故圆 C 的方程为(x-1) +y =13. (2)设直线 l 的方程为 y=-x+m(m≠2), A(x1,m-x1),B(x2,m-x2), 将 y=-x+m 代入(x-1) +y =13, 可得 2x -2(m+1)x+m -12=0, (2)由 ∴x1+x2=1+m,x1x2= ,Δ =-4( m -2m-25)>0, ? =0, 由
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

, 因为 + ≥4(0< ≤4),当且仅当 =4 时等号成立, 所以|AB| ≥8. 故线段 AB 长度的最小值为 2 19. 解析 .
2 2 2 2

(1)由条件可知 c=1,a=2,故 b =a -c =3,

则椭圆 C 的标准方程是 + =1. =λ ,可知 A,B,F 三点共线,设点 A(x1,y1),B(x2,y2).

若直线 AB⊥x 轴,则 λ =1,不合题意. 当直线 l 的斜率 k 存在时,设其方程为 y=k(x-1).

由题意可知 OA⊥OB,即

所以 x1x2+(m-x1)(m-x2)=0, 整理得 m -m(x1+x2)+2x1x2=0, 即 m -m?(1+m)+m -12=0, ∴m=4 或 m=-3,满足 Δ >0,
4
2 2 2

消去 y 得(3+4k )x -8k x+4k -12=0.①
2 2 2

2

2

2

2

Δ =(-8k ) -4(4k +3)(4k -12)=144(k +1)>0,

x1+x2=

,x1x2=

,

解得 t=±

,满足-

<t<

且 t≠0,

因为点 A、B 的中点横坐标为 ,所以 x1+x2=

= ,所以 k = .

2

故所求直线 l 的方程为 y=x+ 21. 解析

或 y=x2

.

(1)∵点 R(1,2)在抛物线 C:y =2px(p>0)上,
2

将 k = 代入方程①,得 4x -2x-11=0,

2

2

∴4=2p,解得 p=2, ∴抛物线 C 的方程为 y =4x.

解得 x=

.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 AB 的方程为 x=m(y-1)+1,m≠0,且易知 m≠1,由 4my+4(m-1)=0,

消去 x 并整理得 y -

2

又因为

=(1-x1,-y1),

=(x2-1,y2),



(其中 λ >1),所以 λ =

=

.

∴y1+y2=4m,y1?y2=4(m-1), 设直线 AR 的方程为 y=k1(x-1)+2,

综上,λ = 20. 解析

. (1)由直线 l1 的方程知,直线 l1 与两坐标轴的夹角均为 45°, 由 解得点 M 的横坐标 xM= ,

故长轴端点到直线 l1 的距离为 可求得 a=2,b=1.

,短轴端点到直线 l1 的距离为

,

又 k1=

=

=

,∴xM=

=- ,同理,点 N 的横坐标 xN=- ,|y2-y1|=

=4

,

∴|MN|= 所以 C 的标准方程为 +y =1. (2)依题意设直线 l:y=x+t(t ≠0). ∴|MN|=2
2

?|xM-xN|=

?

=2

?

=8

?

=2

?

,令 m-1=t,t≠0,则 m=t+1,

?



,当 t=-2,即 m=-1 时,|MN|取得最小值

,此时直线 AB 的方程为 x+y-2=0.


2

得 5x +8tx+4t -4=0,
2

2

2

22. 解析

(1)已知椭圆的离心率为 ,不妨设 c=t,a=2t,则 b= 时,点 P 为短轴端点,

t,其中 t>0,

由 Δ =64t -80(t -1)>0,解得设 A(x1,y1),B(x2,y2),

<t<

.

当△F1PF2 面积取最大值

因此 ?2t?

t=

,解得 t=1(舍负) ,则椭圆的方程为 + =1.

(2)是.设直线 AB 的方程为 x=my+1,A(x1,y1),B(x2,y2), 则

故 y1y2=(x1+t)(x2+t)=x1x2+(x1+x2)t+t =

2

.

联立

可得(3m +4)y +6my-9=0,

2

2

因为以 AB 为直径的圆恰过坐标原点,故 OA⊥OB, 则 y1+y2= 所以 ? =0,即 x1x2+y1y2= + =0, 直线 AA1 的方程为 y= (x+2),
5

,y1y2=

,

直线 BA1 的方程为 y=

(x+2),

则R

,Q

,

所以 则

= ?

,

=

,

=9+

?

= 即 ?

+9=0, 为定值 0.

6


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