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空间向量与立体几何教案


第三章

空间向量与立体几何

3.1 空间向量及其运算(一)
教学目标: ㈠知识目标:⒈空间向量;⒉相等的向量;⒊空间向量的加减与数乘运算及运算律; ㈡能力目标:⒈理解空间向量的概念,掌握其表示方法; ⒉会用图形说明空间向量加法、减法、数乘向量及它们的运算律; ⒊能用空间向量的运算意义及运算律解决简单的立体几何中的问题. ㈢德育目标:学会用发展的眼光看问题,认识到事物都是在不断的发展、进化的,会 用联系的观点看待事物. 教学重点:空间向量的加减与数乘运算及运算律. 教学难点:应用向量解决立体几何问题. 教学方法:讨论式. 教学过程: Ⅰ.复习引入 [师]在必修四第二章《平面向量》中,我们学习了有关平面向量的一些知识,什么叫 做向量?向量是怎样表示的呢? [生]既有大小又有方向的量叫向量.向量的表示方法有:

①用有向线段表示; ②用字母 a、b 等表示; ③用有向线段的起点与终点字母: AB .
[师]数学上所说的向量是自由向量,也就是说在保持向量的方向、大小的前提下可以 将向量进行平移,由此我们可以得出向量相等的概念,请同学们回忆一下. [生]长度相等且方向相同的向量叫相等向量. [师]学习了向量的有关概念以后,我们学习了向量的加减以及数乘向量运算:

⒈向量的加法:

⒉向量的减法: ⒊实数与向量的积:

实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,记作 λa,其长度和方向规定如下: (1)|λa|=|λ||a| (2)当 λ>0 时,λa 与 a 同向; 当 λ<0 时,λa 与 a 反向; 当 λ=0 时,λa=0.
[师]关于向量的以上几种运算,请同学们回忆一下,有哪些运算律呢? [生]向量加法和数乘向量满足以下运算律

加法交换律:a+b=b+a 加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)

数乘分配律:λ(a+b)=λa+λb
[师]今天我们将在必修四第二章平面向量的基础上,类比地引入空间向量的概念、表 示方法、相同或向等关系、空间向量的加法、减法、数乘以及这三种运算的运算率,并进行 一些简单的应用.请同学们阅读课本 P26~P27. Ⅱ.新课讲授 [师]如同平面向量的概念,我们把空间中具有大小和方向的量叫做向量.例如 空间的一个平移就是一个向量. 那么我们怎样表示空间向量呢?相等的向量又是怎样表示的 呢? [生]与平面向量一样,空间向量也用有向线段表示,并且同向且等长的有向线段 表示同一向量或相等的向量. [师]由以上知识可知,向量在空间中是可以平移的.空间任意两个向量都可以用同一 平面内的两条有向线段表示.因此我们说空间任意两个向量是共面的. [师]空间向量的加法、减法、数乘向量各是怎样定义的呢? [生]空间向量的加法、减法、数 乘向量的定义与平面向量的运算一样:

OB ? OA ? AB =a+b,
(指向被减向量) , AB ? OB ? OA

OP ? λa (? ? R)
[师]空间向量的加法与数乘向量有哪些运算律呢?请大家验证这些运算律. [生]空间向量加法与数乘向量有如下运算律:

⑴加法交换律:a + b = b + a; ⑵加法结合律:(a + b) + c =a + (b + c);(课件验证) ⑶数乘分配律:λ(a + b) =λa +λb.
[师]空间向量加法的运算律要注意以下几点: ⑴首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的 向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? A1 An
因此,求空间若干向量之和时,可通过平移使它们转化为首尾相接的向量. ⑵首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量.即:

A1 A2 ? A2 A3 ? A3 A4 ? ? ? An?1 An ? An A1 ? 0 .
⑶两个向量相加的平行四边形法则在空间仍然成立. 因此,求始点相同的两个向量之和时,可以考虑用平行四边形法则.

例1已知平行六面体 ABCD ? A' B' C ' D' (如图),化简下列向量 表达式,并标出化简结果的向量:

⑴AB ? BC;

⑶ ⑵AB ? AD ? AA'; AB ? AD ?

1 CC ' 2

1 ⑷ ( AB ? AD ? AA' ). 3
说明:平行四边形 ABCD 平移向量 a 到 A’B’C’D’的轨迹所形成的几何体, 叫做平行六面体.记作 ABCD—A’B’C’D’. 平行六面体的六个面都是平行四边形,每个面的边叫做平行六面体的棱. 解:(见课本 P27) 说明:由第 2 小题可知,始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和,等 于以这三个向量为棱的平行六面体的以公共始点为始点的对角线所表示的向量, 这是平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广.
Ⅲ.巩固练习 课本 P92 练习 Ⅳ. 教学反思 平面向量仅限于研究平面图形在它所在的平面内的平移, 而空间向量研究的是空间的平 移,它们的共同点都是指“将图形上所有点沿相同的方向移动相同的长度”,空间的平移包 含平面的平移. 关于向量算式的化简,要注意解题格式、步骤和方法. Ⅴ.课后作业 ⒈课本 P106 1、2、 ⒉预习课本 P92~P96,预习提纲: ⑴怎样的向量叫做共线向量? ⑵两个向量共线的充要条件是什么? ⑶空间中点在直线上的充要条件是什么? ⑷什么叫做空间直线的向量参数表示式? ⑸怎样的向量叫做共面向量? ⑹向量 p 与不共线向量 a、b 共面的充要条件是什么? ⑺空间一点 P 在平面 MAB 内的充要条件是什么? 板书设计: §9.5 空间向量及其运算(一) 一、平面向量复习 二、空间向量 ⒈定义及表示方法 ⒉加减与数乘运算 ⒊运算律 教学后记: ⒈定义及表示 ⒉加减与数乘向量 ⒊运算律 三、例 1 小结

空间向量及其运算(2)
一、课题:空间向量及其运算(2) 二、教学目标:1.理解共线向量定理和共面向量定理及它们的推论; 2.掌握空间直线、空间平面的向量参数方程和线段中点的向量公式. 三、教学重、难点:共线、共面定理及其应用. 四、教学过程: (一)复习:空间向量的概念及表示;

(二)新课讲解:

1.共线(平行)向量: 如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合, 则这些向量叫做共线向量或 平行向量。读作: a 平行于 b ,记作: a // b . 2.共线向量定理: 对空间任意两个向量 a, b (b ? 0), a // b 的充要条件是存在实数 ? , a ? ?b ? 唯一) 使 ( . 推论:如果 l 为经过已知点 A ,且平行于已知向量 a 的直线,那么对任一点 O ,点 P 在直线

?

?

?

?

? ? ?

? ? ?

?

?

?

??? ??? ??? ? ? ? ? l 上的充要条件是存在实数 t ,满足等式 OP ? OA ? t AB ①,其中向量 a 叫做直线 l 的方向
向量。在 l 上取 AB ? a ,则① 式可化为 OP ? OA ? t AB 或 OP ? (1 ? t )OA ? tOB ②

??? ?

?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?
l

??? ?

??? 1 ??? ??? ? ? ? 1 当 t ? 时,点 P 是线段 AB 的中点,此时 OP ? (OA ? OB) ③ 2 2 ① 和② 都叫空间直线的向量参数方程,③ 是线段 AB 的中点公式.
3.向量与平面平行:

a P B A

O

??? ? ? ? 已知平面 ? 和向量 a ,作 OA ? a ,如果直线 OA 平行于 ? 或在 ? 内,那么我们说向 ? ? ? a 量 a 平行于平面 ? ,记作: a // ? .
通常我们把平行于同一平面的向量,叫做共面向量. 说明:空间任意的两向量都是共面的. 4.共面向量定理:

? a

?

如 果 两 个 向 量 a, b 不 共 线 , p 与 向 量 a, b 共 面 的 充 要 条 件 是 存 在 实 数 x , y 使

? ?

?

? ?

? ? ? p ? xa ? yb .
推论:空间一点 P 位于平面 MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对 x, y ,使

???? ???? ???? ??? ???? ? ? ???? ???? 或对空间任一点 O ,有 OP ? OM ? xMA ? yMB ① MP ? xMA? yMB
上面① 式叫做平面 MAB 的向量表达式. (三)例题分析: 例 1.已知 A, B, C 三点不共线,对平面外任一点,满足条件 OP ? 试判断:点 P 与 A, B, C 是否一定共面? 解:由题意: 5OP ? OA ? 2OB ? 2OC , ∴ (OP ? OA) ? 2(OB ? OP) ? 2(OC ? OP) , ∴ AP ? 2PB ? 2PC ,即 PA ? ?2PB ? 2PC , 所以,点 P 与 A, B, C 共面.

??? ?

? ? 1 ??? 2 ??? 2 ???? OA ? OB ? OC , 5 5 5

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?
??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

说明: 在用共面向量定理及其推论的充要条件进行向量共面判断的时候, 首先要选择恰当的 充要条件形式,然后对照形式将已知条件进行转化运算. 【 练 习 】 : 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A, B, C , 问 满 足 向 量 式

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OP ? xOA ? yOB ? zOC (其中 x ? y ? z ? 1 )的四点 P, A, B, C 是否共面?
解:∵ OP ? (1 ? z ? y)OA ? yOB ? zOC , ∴ OP ? OA ? y(OB ? OA) ? z(OC ? OA) , ∴ AP ? y AB ? z AC ,∴点 P 与点 A, B, C 共面. 例 2.已知

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? ??? ?

??? ??? ? ? ??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

O
D A B

??? ? ??? ??? ? ? ??? ???? ???? ???? ???? ? ? OE ? kOA, OF ? KOB, OG ? kOC, OH ? kOD ,
(1)求证:四点 E , F , G, H 共面; (2)平面 AC // 平面 EG .

? ABCD ,从平面 AC 外一点 O 引向量

C
G
F

H
E

解:(1)∵四边形 ABCD 是平行四边形,∴ AC ? AB ? AD , ∵ EG ? OG ? OE ,

??? ?

??? ???? ?

??? ?

???? ??? ?

???? ??? ? ???? ??? ? ???? ??? ???? ? ? k ? OC ? k ? OA ? k (OC ? OA) ? k AC ? k ( AB ? AD) ??? ??? ???? ??? ? ? ? ??? ??? ???? ??? ? ? ? ? ? k (OB ? OA ? OD ? OA) ? OF ? OE ? OH ? OE ??? ???? ? ? EF ? EH
∴ E , F , G, H 共面; (2)∵ EF ? OF ? OE ? k (OB ? OA) ? k ? AB ,又∵ EG ? k ? AC , ∴ EF // AB, EG // AC 所以,平面 AC // 平面 EG . 五、课堂练习:课本第 96 页练习第 1、2、3 题. 六、课堂小结:1.共线向量定理和共面向量定理及其推论; 2.空间直线、平面的向量参数方程和线段中点向量公式. 七、作业:

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

??? ?

1.已知两个非零向量 e1 , e2 不共线,如果 AB ? e1 ? e2 , AC ? 2e1 ? 8e2 ,
??? ? ? ? ?? ? AD ? 3e1 ? 3e2 ,

?? ?? ?

??? ?

? ?? ? ?

??? ?

? ?

?? ?

求证: A, B, C, D 共面. 2.已知 a ? 3m ? 2n ? 4 p, b ? ( x ?1)m ? 8n ? 2 yp ,a ? 0 ,若 a // b ,求实数 x, y
? ? ? ? ? ? ? ?

?

?

?

?

的值。 3 . 如 图 , E, F , G, H 别 为 正 方 体 AC1 的 棱 分
A1 B,1 A1 D1 B1 ,C1 的中点, , D1 C1

求证: (1) E, F , D, B 四点共面; (2)平面 AEF // 平面 BDHG .
4.已知 E , F , G, H 分别是空间四边形 ABCD 边 AB, BC, CD, DA 的中点,
D1 H G E B1 C1

A E B

(1)用向量法证明: E , F , G, H 四点共面;

F

A1

H
D G

(2)用向量法证明: BD // 平面 EFGH .
D A B C

F

C

3.1.3.空间向量的数量积(1)
教学目标:1.掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法; 2.掌握两个向量的数量积的计算方法,并能利用两个向量的数量积解决立体几何中的 一些简单问题。 教学重、难点:空间数量积的计算方法、几何意义、立体几何问题的转化。 教具准备:与教材内容相关的资料。 教学设想:激发学生的学习热情,激发学生的求知欲,培养严谨的学习态度,培养积极进取 的精神. 教学过程 学生探究过程:(一)复习:空间向量基本定理及其推论;

(二)新课讲解:
1.空间向量的夹角及其表示:

??? ? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 与 b 的夹角,记作 ? a, b ? ;且规定 0 ?? a, b ?? ? ,显然有 ? a, b ??? b , a ? ; ? ? ? ? ? ? ? 若 ? a , b ?? ,则称 a 与 b 互相垂直,记作: a ? b ; 2
2.向量的模: 设 OA ? a ,则有向线段 OA 的长度叫做向量 a 的长度或模,记作: | a | ; 3.向量的数量积:

已知两非零向量 a, b ,在空间任取一点 O ,作 OA ?a OB ? ,则 ?AOB 叫做向量 a , b

?

??? ?

?

??? ?

?

?

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 作 a ? b ,即 a ? b ? | a | ? | b | ? cos ? a, b ? . ??? ? ? ? 已知向量 AB ? a 和轴 l , e 是 l 上与 l 同方向的单位向量, ???? ? 作点 A 在 l 上的射影 A? ,作点 B 在 l 上的射影 B? ,则 A?B? 叫做 ??? ? ???? ? ? 向量 AB 在轴 l 上或在 e 上的正射影;可以证明 A?B? 的长度
已知向量 a, b ,则 | a | ? | b | ? cos ? a, b ? 叫做 a, b 的数量积,记

? ?

?

?

? e

B

A

A? B? C

???? ??? ? ? ? ? ? ? | A?B? |?| AB | cos ? a, e ??| a ? e | .
4.空间向量数量积的性质: ? ? ? ? ? (1) a ? e ?| a | cos ? a, e ? .

? ? ? ? ? ? ? (3) | a |2 ? a ? a .

(2) a ? b ? a ? b ? 0 .

5.空间向量数量积运算律:

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? (2) a ? b ? b ? a (交换律). ? ? ? ? ? ? ? (3) a ? (b ? c ) ? a ? b ? a ? c (分配律).
(1) (?a) ? b ? ?(a ? b ) ? a ? (?b ) . (三)例题分析: 例 1.用向量方法证明:直线和平面垂直的判定定理。 已知: m, n 是平面 ? 内的两条相交直线,直线 l 与平面 ? 的交点为 B ,且 l ? m, l ? n 求证: l ? ? . 证明:在 ? 内作不与 m, n 重合的任一直线 g , 在 l , m, n, g 上取非零向量 l , m, n, g ,∵ m, n 相交,

? ? ? ?

l

? ? ∴向量 m, n 不平行,由共面定理可知,存在 ? ? ? 唯一有序实数对 ( x, y ) ,使 g ? xm ? yn , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ∴ l ? g ? xl ? m ? yl ? n ,又∵ l ? m ? 0, l ? n ? 0 , ? ? ? ? ∴ l ? g ? 0 ,∴ l ? g ,∴ l ? g , 所以,直线 l 垂直于平面内的任意一条直线,即得 l ? ? .
证明:(法一) AD ? BC ? ( AB ? BD) ? ( AC ? AB)

g n

m l m g n

例 2.已知空间四边形 ABCD 中, AB ? CD , AC ? BD ,求证: AD ? BC .

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ??? ??? ??? 2 ??? ??? ? ? ? ? ? ? ? ? AB ? AC ? BD ? AC ? AB ? AB ? BD ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ??? ???? ? ? AB ? ( AC ? AB ? BD) ? AB ? DC ? 0 . ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ? (法二)选取一组基底,设 AB ? a, AC ? b, AD ? c , ? ? ? ? ? ? ? ∵ AB ? CD ,∴ a ? (c ? b) ? 0 ,即 a ? c ? b ? a , ? ? ? ? 同理: a ? b ? b ? c ,, ? ? ? ? ∴ a?c ? b?c , ???? ??? ? ? ? ? ∴ c ? (b ? a) ? 0 ,∴ AD ? BC ? 0 ,即 AD ? BC .
说明:用向量解几何题的一般方法:把线段或角度转化为向量表示,并用已知向量表示未知 向量,然后通过向量运算取计算或证明。
? 例 3. 如图, 在空间四边形 OABC 中,OA ? 8 ,AB ? 6 ,AC ? 4 ,BC ? 5 ,?OAC ? 45 , ?OAB ? 60? ,求 OA 与 BC 的夹角的余弦值。

解:∵ BC ? AC ? AB ,

??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ??? ??? ??? ? ? ? ? ? ? ∴ OA ? BC ? OA ? AC ? OA ? AB ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ?| OA | ? | AC | ? cos ? OA, AC ? ? | OA | ? | AB | ? cos ? OA, AB ?
? 8 ? 4 ? cos135? ? 8 ? 6 ? cos120? ? 24 ?16 2

O

A B

C

??? ??? ? ? ??? ??? ? ? OA ? BC 24 ? 16 2 3 ? 2 2 ? ??? ? ? ∴ cos ? OA, BC ?? ??? , ? 8? 5 5 | OA | ? | BC |
3? 2 2 . 5 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 说明:由图形知向量的夹角时易出错,如 ? OA, AC ?? 135? 易错写成 ? OA, AC ?? 45? ,
所以, OA 与 BC 的夹角的余弦值为 切记! 五.巩固练习:课本第 99 页练习第 1、2、3 题。 六.教学反思:空间向量数量积的概念和性质。

七.作业:课本第 106 页第 3、4 题 补充:
? ?

1.已知向量 a ? b ,向量 c 与 a, b 的夹角都是 60 ,且 | a |? 1,| b |? 2,| c |? 3 ,
?

?

? ?

?

?

?

试求:(1) (a ? b)2 ;(2) (a ? 2b ? c)2 ;(3) (3a ? 2b) ? (b ? 3c) .

? ?

?

? ?

?

?

?

?

向量的数量积(2)
一、教学目标:①向量的数量积运算 ②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角 二、教学重点:①向量的数量积运算 ②利用向量的数量积运算判定垂直、求模、求角 三、教学方法:练习法,纠错法,归纳法 四、教学过程: 考点一:向量的数量积运算 (一)、知识要点: ? ? ? ? b 1)定义:① 设< a, b >= ? ,则 a ? ? ( ? 的范围为

) 。

? ? ? ? ②设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? ? b ? ? ?? ? ? 注:① a ?b 不能写成 ab ,或 a ? b

? ? ② a ?b 的结果为一个数值。


? ? 2)投影: b 在 a 方向上的投影为
3)向量数量积运算律: ?? ?? ? ? ?? ? ? b a ① a? ? b? ② (? a)? ? ?(a? ) ? a? ?b) b b (

? ? ? ?? ?? ③ (a ? b)? ? a? ? b? c c c

?? ? ? ?? 注:①没有结合律 (a? )? ? a? b? ) b c ( c
二)例题讲练 ?? ? ? ? ? ? ?? ?? ? ? b b c 则 b 1、 下列命题: ①若 a? ? 0 , a , 中至少一个为 0 ②若 a ? 0 且 a? ? a? , b ? c 则

? ? ? ? ?2 ?2 ?? ? ? ?? ③ (a? )? ? a? b? ) ④ (3a ? 2b)? a ? 2b) ? 9 a ? 4 b (3 b c ( c
中正确有个数为 A. 0 个 B. 1 个 ( C. 2 个 ) D. 3 个

2 、 已 知 ?ABC 中 , A , B , C 所 对 的 边 为 a,b,c , 且 a=3,b=1,C=30 ° , 则 ??? ??? ? ? 。 BC? = CA

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? , 3 、 若 a , b , c 满 足 a ? b ? c ? 0 , 且 a ? 3 , b ? 1 c ? , 4则
?? ?? ?? a? b ? b c = a c ? ? ?


? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? b ?2 ,且 a 与 b 的夹角为 , 则 a?b 在 a 上 的 投 影 3 为 。 考点二:向量数量积性质应用 一)、知识要点: ? ? ?? ① a ? b ? a? ? 0 (用于判定垂直问题) b

? ?2 ② a ? a (用于求模运算问题) ? ? a ?b ③ cos ? ? ? ? (用于求角运算问题) a b
二)例题讲练 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1、已知 a ? 2 , b ? 3 ,且 a 与 b 的夹角为 , c ? 3a ? 2b , d ? ma ? b ,求 2 ? ? ? 当 m 为何值时 c ? d
? ? ? ? ? ? 2、已知 a ? 1 , b ? 1 , 3a ? 2b ? 3 ,则 3a ? b ?



? ? ? ? ? ? ? ? ? 3、已知 a 和 b 是非零向量,且 a = b = a ? b ,求 a 与 a ? b 的夹角
? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a ? 4 , b ? 2 ,且 a 和 b 不共线,求使 a ? ? b 与 a ? ? b 的夹角是锐角
时 ? 的取值范围 巩固练习 ?? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? 1、已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则( e1 ? e2 ) ? ?3e1 ? 2e2 ) 等于( ) ( 3 9 5 A.-8 B. C. ? D.8 2 2 ?? ?? ? ?? ? ? ? ? 2、已知 e1 和 e2 是两个单位向量,夹角为 ,则下面向量中与 2e2 ? e1 垂直的是 3 ( ) ? ?? ? ? ? ?? ? ? ?? ?? ? A. e1 ? e2 B. e1 ? e2 C. e1 D. e2 3、在 ?ABC 中,设 AB ? a , BC ? b , CA ? c ,若 a (a ? b) ? 0 ,则 ?ABC (
( A) 直角三角形 (B ) 锐角三角形 (C ) 钝角三角形 (D) 无法判定



? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4、已知 a 和 b 是非零向量,且 a ? 3b 与 7a ? 5b 垂直, a ? 4b 与 7a ? 2b 垂直,求 a ? 与 b 的夹角。
??? ??? ??? ? ? ? ??? ??? ??? ? ? ? ? 5、已知 OA 、 OB 、 OC 是非零的单位向量,且 OA + OB + OC = 0 ,求证:
?ABC

为正三角形。

3.1.5 空间向量运算的坐标表示
课题 向量的坐标

教学目的要求

1.理解空间向量与有序数组之间的 1-1 对应关系 2.掌握投影定理、分向量及方向余弦的坐标表示

主要内容与时间分配

1.投影与投影定理 2.分向量与向量的坐标 3.模与方向余弦的坐标表示

25 分钟 30 分钟 35 分钟

重点难点

1.投影定理 2.分向量 3.方向余弦的坐标表示 启发式教学法,使用电子教案

教学方法和手段 一、向量在轴上的投影 1.几个概念

(1) 轴 上有 向线 段的值 :设 有一 轴 u , AB 是 轴 u 上 的 有向 线段 ,如 果数 ? 满 足

? ? AB ,且当 AB 与轴 u 同向时 ? 是正的,当 AB 与轴 u 反向时 ? 是负的,那么数 ? 叫
做轴 u 上有向线段 AB 的值,记做 AB,即 ? ? AB 。设 e 是与 u 轴同方向的单位向量,则

AB ? ?e
(2) 设 A、B、C 是 u 轴上任意三点,不论三点的相互位置如何,总有 AC ? AB ? BC (3) 两向量夹角的概念:设有两个非零向量 a 和 b,任取空间一点 O,作 OA ? a ,

OB ? b ,规定不超过 ? 的 ?AOB 称为向量 a 和 b 的夹角,记为 (a,b)
(4) 空间一点 A 在轴 u 上的投影: 通过点 A 作轴 u 的垂直平面, 该平面与轴 u 的交点 A
'

?

叫做点 A 在轴 u 上的投影。 (5) 向量 AB 在轴 u 上的投影:设已知向量 AB 的起点 A 和终点 B 在轴 u 上的投影分别 为点 A 和 B ,那么轴 u 上的有向线段的值 A B 叫做向量 AB 在轴 u 上的投影,记做
' ' ' '

Pr ju AB 。
2.投影定理 性质 1:向量在轴 u 上的投影等于向量的模乘以轴与向量的夹角 ? 的余弦:

Pr ju AB ? AB cos?
性质 2:两个向量的和在轴上的投影等于两个向量在该轴上的投影的和,即

Pr ju (a1 ? a 2 ) ? Pr ja1 ? Pr ja 2
性质 3:向量与数的乘法在轴上的投影等于向量在轴上的投影与数的乘法。即

Pr ju (?a) ? ? Pr ja
二、向量在坐标系上的分向量与向量的坐标 1.向量在坐标系上的分向量与向量的坐标

通过坐标法,使平面上或空 间的点与有序数组之间建立了一一 对应关系,同样地,为了沟通数与向 量的研究,需要建立向量与有序数之 间的对应关系。
设 a = M 1 M 2 是以 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 为起点、 M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 为终点的向量,i、j、k 分 别表示 图 7-5 沿 x,y,z 轴正向的单位向量,并称它们为这一坐标系的基本单位向量,由图 7-5,并应用 向量的加法规则知:

M1M 2 ? ( x2 ? x1 ) i + ( y2 ? y1 ) j+ ( z 2 ? z1 ) k
或 a = ax i + ayj + azk

上式称为向量 a 按基本单位向量的分解式。 有序数组 ax、ay、az 与向量 a 一一对应,向量 a 在三条坐标轴上的投影 ax、ay、az 就

叫做向量 a 的坐标,并记为 a = {ax,ay,az}。 上式叫做向量 a 的坐标表示式。 于是,起点为 M 1 ( x1 , y1 , z1 ) 终点为 M 2 ( x2 , y 2 , z 2 ) 的向量可以表示为

M1M 2 ? {x2 ? x1 , y2 ? y1 , z2 ? z1}
特别地,点 M ( x, y, z ) 对于原点 O 的向径

OM ? {x, y, z}
注意:向量在坐标轴上的分向量与向量在坐标轴上的投影有本质区别。 向量 a 在坐标轴上的投影是三个数 ax、ay、az, 向量 a 在坐标轴上的分向量是三个向量 ax i 、 ayj 、 azk. 2.向量运算的坐标表示 设 a ? {a x , a y , a z } , b ? {bx , by , bz } 即 a ? a x i ? a y j ? a z k , b ? bx i ? by j ? bz k 则 (1) 加法: ◆ 减法: ◆ 乘数: ◆ 或

a ? b ? (ax ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k

a ? b ? (ax ? bx )i ? (a y ? by ) j ? (az ? bz )k

?a ? (?ax )i ? (?a y ) j ? (?az )k
a ? b ? {ax ? bx , a y ? by , az ? bz } a ? b ? {ax ? bx , a y ? by , az ? bz }

?a ? {?ax , ?a y , ?az }
◆ 平行:若 a≠0 时,向量 b // a 相当于 b ? ?a ,即

{bx , by , bz } ? ?{ax , a y , az }
也相当于向量的对应坐标成比例即

bx b y bz ? ? ax a y az
三、向量的模与方向余弦的坐标表示式

设 a ? {a x , a y , a z } ,可以用它与三个坐标轴的夹角 ?、?、? (均大于等于 0,小于等 于 ? )来表示它的方向,称 ?、?、? 为非零向量 a 的方向角,见图 7-6,其余弦表示形式

cos?、 ?、 ? 称为方向余弦。 cos cos
1. 模
2 2 a ? a x ? a y ? a z2

图 7-6

2. 方向余弦

? a ? M M cos? ? a cos? 1 2 ? x ? 2 2 2 由性质 1 知 ?a y ? M 1 M 2 cos ? ? a cos ? ,当 a ? a x ? a y ? a z ? 0 时,有 ? ? a z ? M 1 M 2 cos? ? a cos? ?

? a ax ? cos? ? x ? 2 2 a ? a x ? a y ? a z2 ? ay ay ? ? ?cos ? ? 2 2 a a x ? a y ? a z2 ? ? a az ? cos? ? z ? 2 2 a ? a x ? a y ? a z2 ?
◆ 任意向量的方向余弦有性质: cos
2

? ? cos2 ? ? cos2 ? ? 1

◆ 与非零向量 a 同方向的单位向量为:

a0 ?

a a

?

1 a

{a x , a y , a z } ? {cos? , cos ? , cos? }

3. 例子:已知两点 M1(2,2, 2 )、M2(1,3,0),计算向量 M 1 M 2 的模、方向余弦、方向角以 及与 M 1 M 2 同向的单位向量。 解: M 1 M 2 ={1-2,3-2,0- 2 }={-1,1,- 2 }

M 1 M 2 ? (?1) 2 ? 12 ? (? 2 ) 2 ? 2
1 1 2 cos ? ? ? , cos ? ? , cos? ? ? 2 2 2

??
0

2? ? 3? , ? ? ,? ? 3 3 4
0

设 a 为与 M 1 M 2 同向的单位向量,由于 a ? {cos? , cos ? , cos? }

即得

1 1 2 a 0 ? {? , ,? } 2 2 2

3.2 立体几何中的向量方法 空间距离
利用向量方法求解空间距离问题,可以回避此类问题中大量的作图、证明 等步骤,而转化为向量间的计算问题. 例1如图,已知正方形 ABCD 的边长为 4,E、F 分别是 AB、AD 的中点, GC⊥平面 ABCD,且 GC=2,求点 B 到平面 EFG 的距离. 分析:由题设可知 CG、CB、CD 两两互相垂直,可以由此建立空间直角坐 标系.用向量法求解,就是求出过 B 且垂直于平面 EFG 的向量,它的长即为点 B 到平面 EFG 的距离. 解:如图,设 CD ? 4i,CB ? 4j,CG ? 2k, 以 i、 k 为坐标向量建立空间直角坐标系 C-xyz. j、 由题设 C(0,0,0), A(4,4,0), B(0,4,0), D(4,0,0), E(2,4,0),F(4,2,0),G(0,0,2). ???? ???? ∴ BE ? (2,0,0) , BF ? (4, ?2,0) , ???? ? ???? BG ? (0, ?4, 2) , GE ? (2, 4, ?2) , ???? EF ? (2, ?2,0) . 设 BM ? 平面 EFG,M 为垂足,则 M、G、E、F 四点共面,由共面向量定 ????? ???? ???? ???? ? 理知,存在实数 a、b、c,使得 BM ? aBE ? bBF ? cBG (a ? b ? c ? 1) , ????? ∴ BM ? a(2,0,0) ? b(4, ?2,0) ? c(0, ?4, 2) =(2a+4b,-2b-4c,2c). 由 BM ? 平面 EFG,得 BM ? GE , BM ? EF ,于是 ????? ???? ????? ???? B M? G ?E , BM ? EF ? 0 . 0 ∴
?(2a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, 4, ?2) ? 0 ? ?(2a ? 4b, ?2b ? 4c, 2c) ? (2, ?2, 0) ? 0 ?a ? b ? c ? 1 ?

15 ? ? a ? 11 ?a ? 5c ? 0 ? 7 ? ? 整理得: ?a ? 3b ? 2c ? 0 ,解得 ?b ? ? . 11 ? ?a ? b ? c ? 1 ? 3 ? ?c ? 11 ?

∴ ∴

BM =(2a+4b,-2b-4c,2c)= (

2 2 6 , , ). 11 11 11

2 2 2 ????? 2 11 ?2? ?2? ?6? | BM |? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 11 ? 11 ? ? 11 ? ? 11 ?

故点 B 到平面 EFG 的距离为

2 11 . 11

说明:用向量法求点到平面的距离,常常不必作出垂线段,只需利用垂足在 平面内、 共面向量定理、 两个向量垂直的充要条件解出垂线段对应的向量就可以 了. 例 2 已知正方体 ABCD- A ' B ' C ' D ' 的棱长为 1, 求 直线 DA' 与 AC 的距离. 分析:设异面直线 DA' 、AC 的公垂线是直线 l,则 线段 AA' 在直线 l 上的射影就是两异面直线的公垂线 段,所以此题可以利用向量的数量积的几何意义求解. 解:如图,设 B' A' ? i, B'C ' ? j, B' B ? k,以 i、j、 k 为坐标向量建立空间直角坐标系 B' -xyz,则有
A '(1,0,0) , D(1,1,1) , A(1, 0,1) , C (0,1,1) .



???? ? ???? ? ????? DA ' ? (0, ?1, ?1) , AC ? (?1,1,0) , A ' A ? (0,0,1) .

设 n ? ( x, y, z ) 是直线 l 方向上的单位向量,则 x2 ? y 2 ? z 2 ? 1 . ∵ n ? DA' ,n ? AC ,
?? y ? z ? 0 3 3 ? ,解得 x ? y ? ? z ? 或 x ? y ? ?z ? ? . ?? x ? y ? 0 3 3 ?x 2 ? y 2 ? z 2 ? 1 ?



取 n?(

3 3 3 , , ? ) ,则向量 A' A 在直线 l 上的投影为 3 3 3
3 3 3 3 , ,? ) · (0,0,1) ? ? . 3 3 3 3 3 . 3

n· A' A ? (

由两个向量的数量积的几何意义知,直线 DA' 与 AC 的距离为

向量的内积与二面角的计算
在《高等代数与解析几何》课程第一章向量代数的教学中,讲到几何空间的 内积时,有一个例题(见[1],p53)要求证明如下的公式:

cos? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? ,

(1)

其中点 O 是二面角 P-MN-Q 的棱 MN 上的点,OA、OB 分别在平面 P 和平面 Q 内。 ?AON ? ? , ?BON ? ? , ?AOB ? ? 。 ? 为二面角 P-MN-Q(见图 1)。
z P

D

A

? a

?
M O

?
? b
x

y

N

B

Q

图1

公式(1)可以利用向量的内积来加以证明: 以 Q 为坐标平面,直线 MN 为 y 轴,如图 1 建立直角坐标系。 记 xOz 平面 与平面 P 的交线为射线 OD,则 OD?MN ,得
?AOD ?

?
2

? ? , ?DOx ? ? , ?DOz ?

?
2

?? 。

? ? ? ? 分别沿射线 OA、OB 的方向上作单位向量 a , b ,则 a , b ? ? 。 ? ? 由计算知 a , b 的坐标分别为
(sin? cos? , cos? , sin ? sin ? ) , (sin ? , cos ? ,0) ,

于是,

? ? ? ? a ?b ? ? a ? b ? cos? cos ? ? sin ? sin ? cos? 。 cos? ? ? | a |?|b |
公式(1)在立体几何计算二面角的平面角时是有用的。我们来介绍如下的 两个应用。 例 1.立方体 ABCD-A1B1C1D1 的边长为 1,E、F、G、H、I 分别为 A1D1、 A1A、A1B1、B1C1、B1B 的中点。 求面 EFG 和面 GHI 的夹角 ? 的大小(用反三角函数表示)。 解 由于图 2 中所画的两平面 EFG 和 GHI 只有一个公共点,没有交线,所 以我们可以将该立方体沿 AB 方向平移 1 个单位。这样就使平面 EFG 平移至平 面 HI G ? 。而 ? 就是二面角 G-IH- G ? (见图 3)。利用公式(1),只要知道了 ? ,

? 和 ? 的大小,我们就能求出 ? 。

D1 E G A1 B1 H

C1

F

D

I C

A

B

图2

由 已 知 条 件 , ?GHI 和 ?HI G ? 均 为 等 边 三 角 形 , 所 以 ? ? ? ?

?
3

,而

? ? ?GI G ? ?

?
2

。因此,
D1 E G A1 B1 H G' C1

F

D

I

C

A

B

cos

?
2

? cos

?
3

cos

?

图3

3

? sin

?
3

sin

?
3

cos ? ,


0? 1 1 3 3 ? ? ? cos? 。 2 2 2 2

解得
1 1 cos ? ? ? , ? ? ? ? a r c c o s。 3 3 当然, 在建立了直角坐标系之后,通过计算向量的外积可计算出两平面的法

向量,利用法向量同样也可算出夹角 ? 来。 例 2.计算正十二面体的两个相邻面的夹角 ? 的大小。 解 我们知道正十二面体的每个面都是大小相同的正五边形,且在正十二面 体的每个顶点上均有 3 个面围绕。 P 和 Q 是两个相邻的面, 设 MN 是它们的交线 (如图 4),则公式(1)中的 ? , ? , ? 分别为:

? ? ?AMN , ? ? ?BMN , ? ? ?AMB ,
因此它们均为正五边形的内角。所以

? ? ? ? ? ? 108? 。
N

P
M A B

Q

图4

所以,由公式(1)知
cos108? ? cos108? ? cos108? ? sin 108? ? sin 108? ? cos? ,



cos? ?

cos108?(1 ? cos108?) 5 。 ?? 2 5 sin 108?

因此, ? ? ? ? arccos

5 ,或 ? ? 116?33?54?? 。 5

如果不使用公式(1),要求出例 2 中的夹角 ? 的大小在计算上要复杂很多。 利用例 2 的结果,我们可以容易地计算出单位棱长正十二面体的体积 V。 设单位棱长正十二面体的中心为 O, 则该十二面体可以切割成十二个全等的 正五棱锥,每个五棱锥以该多面体的一个面为底面、以 O 为其顶点。设该正五 棱锥为 ? ,从而可知:

V ? 12V? 。
再设 ? 的底面积为 S、高为 h,设 O ? 为单位边长正五边形(即 ? 的底)的中 心,A、B 为该五边形的两个相邻的顶点,H 为 AB 的中点, | O?H |? a ,则
1 1 a 5 tan ?O' AH ? tan 54? , S ? 5 ? ? tan 54? 。 2 2 2 4 h ? 仍设 ? 为正十二面体两相邻面的夹角,则 ? tan 。所以 a 2 1 ? h ? tan 54? tan 。 2 2 但是,
?O' AH ? 54? , a ?

tan

?
2

?

1 ? cos? 5 ?1 , ? 1 ? cos? 2

从而

V ? 12V? ? 4Sh

?? ?5 ?? 1 ? 4 ? ? tan54? ?? tan54? t a n ? 2? ?4 ?? 2
? 5 ? (tan 54?) 2 t a n 2 2

?

5 5 ? 2 5 5 ?1 ? ? 2 5 2 15? 7 5 , 4

?

或 V ? 7.6631


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