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7.1 平面向量的概念及线性运算


第七章

平面向量

7.1 平面向量的概念及线性运算

创设情境

兴趣导入

如图所示,用100N的力,按照不同的方向拉一辆车,效果一样吗?

动脑思考

探索新知

在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有方向的量 量做数量(标量) ,例如质量、时间、温度、面积、密度等. 既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量), 如力、速度、位移等. 平面上带有指向的线段(有向线段)叫
B

做平面向量,指向就是向量的方向,线段 的长度表示向量的大小.如右图所示,有向 点叫做平面向量的终点.以A为起点,B为终点 也可以使用小写英文字母,印 的向量记作 A B, 刷用黑体表示,记作a;手写时应在字母上面
? 加箭头,记作 a   .
??? ?
A

a

线段的起点叫做平面向量的起点,有向线段的终

动脑思考

探索新知

在数学与物理学中,有两种量.只有大小,没有方向的量 做数量(标量) ,例如质量、时间、温度、面积、密度等. 既有大小,又有方向的量叫做向量(矢量), 如力、速度、位移等. 向量的大小叫做向量的模.向量a,
??? ? AB
B

的模依次记作

??? ? a ,A B .

a
A

模为零的向量叫做零向量.记作0,

零向量的方向是不确定的.
模为1的向量叫做单位向量.

巩固知识

典型例题

例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km,另一架飞机从A处 朝北偏东45°方向飞行200km, 两架飞机的位移相同吗?分别用有向 线段表示两架飞机的位移. 解 位移是向量.虽然这两个向量的模相等,但是它们的方向不

同,所以两架飞机的位移不相同.两架飞机位移的有向线段表示分别 为图中的有向线段a 与b. b A a 南 100km. 东

巩固知识

典型例题

说出下图中各向量的模,并指出其中的单位向量 (小方格边长为1).
N
B M K A H L C D P F E

Z Q

K
G

图7?4

动脑思考
观察图7?4中的向量 方向相同;向量
???? CD

探索新知

???? ? ??? ? A B 与 M N ,所在的直线平行,两个向量的



???? PQ

所在的直线平行,两个向量的方向相反. 方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量.
H

N
B M K A L C D P F E

由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上, 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量.

向量a与向量 b平行记作a//b. 规定:零向 量与任何一个向 量平行.

Z Q

K
G

图7?4

动脑思考

探索新知

下图中,哪些向量是共线向量?

N
B M TK A H L C D P F E

由于任意一 组平行向量都 可以平移到同 一条直线上, 因此相互平行 的向量又叫做 共线向量.

方向相同或 相反的两个非零 向量叫做互相平 行的向量. 向量a与向量 b平行记作a//b. 规定:零向 量与任何一个向 量平行.

Z Q

K
G

图7?4

动脑思考
图7?4中的平行向量

探索新知

???? ? ??? ? A B 与 M N ,方向相同,模相等;平行

???? ? ??? ? 向量G H 与T K ,方向相反,模相等.

向量只有 大小与方向两 个要素.当向 量a与向量b的 模相等并且方 向相同时,称 向量a与向量b 相等,记作a =b.

N
B M K A H L C D P F E

与非零向量 的模相等,且方 向相反的向量叫 做向量的负向量, 记作 -a.
规定:零向 量的负向量仍为 零向量.

Z Q

K
G

图7?4

巩固知识
例2
??? ? (1)找出与向量 D A
???? (2)找出向量 D C

典型例题
D O

在平行四边形ABCD中(图7-5),O为对角线交点. 相等的向量; C

的负向量; 平行的向量.

??? ? (3)找出与向量 A B

A
图7-5

B

要结合平行四边形 的性质进行分析.两个 向量相等,它们必须是 方向相同,模相等;两 个向量互为负向量,它 们必须是方向相反,模 相等;两个平行向量的 方向相同或相反.

巩固知识
例2
??? ? (1)找出与向量 D A
???? (2)找出向量 D C

典型例题
D O

在平行四边形ABCD中(图7-4),O为对角线交点. 相等的向量; C

的负向量; 平行的向量.

??? ? (3)找出与向量 A B

A
图7-4

B

解 由平行四边形的性质,得
??? ? ??? ? (1) C B ? D A;
???? ???? ???? ? D C, D ? ? D C; C ??? ??? ???? ??? ???? ??? ? ? ? ? D C (3) B A // A B, C // A B, D // A B. ??? ?

(2) B A ?

运用知识
(1)与 (2)与
??? ? EF ???? AD

强化练习
A

1. 如图,? A B C 中,D、E、F分别是三边的中点,试写出 相等的向量;
D F

共线的向量.
B E C

第1题图

略.

2.如图,O点是正六边形ABCDEF的中心,试写出
???? (1)与 O C 相等的向量; ???? (2) O C 的负向量; ???? (3)与 O C 共线的向量.
F O E

A

D

B

C

略.

第2题图

创设情境

兴趣导入

王涛同学从家中(A处)出发,向正南方向行走500 m到 达超市(B处),买了文具后,又沿着北偏东60°角方向行 走200 m到达学校(C处)(如 图).王涛同学这两次位移的 总效果是从家(A处)到达了学 校(C处).
???? 位移 A C
500m C 200m A

??? ? ???? 叫做位移 A B 与位移 B C

的和,记作

???? ??? ? ???? AC ? AB ? BC .

动脑思考
a

探索新知
B

b
A

a
a+b

b C

一般地,设向量a与向量b不共线,在平面上任取一点A
??? ? ???? ???? B 依次作 A B ? a, C ? b, 则向量 A C 叫做向量a与向量b的和,

记作a+b ,即
??? ? ???? ???? a ? b ? A B ? B C ? A C.

(7.1)

求向量的和的运算叫做向量的加法.上述求向量的和的方法 叫做向量加法的三角形法则.

动脑思考

探索新知

(1)a+b与b+a相等吗?请画出图来说明.

(2)如果向量a和向量b共线,如何画出它们的和向量?

动脑思考
D C B

探索新知

如图所示,ABCD为平行四边形,由于

A

???? ???? A D ? B C, 根据三角形法则得
??? ? ???? ??? ? ???? ???? A B ? A D ? A B ? B C ? A C.

???? AD

这说明,在平行四边形ABCD中, C 所表示的向量就是A B 与 A 的和.这种求和方法叫做向量加法的平行四边形法则.

????

??? ?

平行四边形法则不适用于共线向量,可以验证,向量的加法 具有以下的性质: (1) a+0 = 0+a=a; a+(? a)= 0; (2) a+b = b+a; (3) (a+b)+ c = a +(b+c).

巩固知识

典型例题

例3 一艘船以12 km/h的速度航行,方向垂直于河岸,已知水流 速度为5 km/h,求该船的实际航行速度. ???? ??? ? 解 如图所示,A B 表示船速,A C 为水流 B D 速度,由向量加法的平行四边形法则,
???? A D 是船的实际航行速度,显然

???? AD ?

??? ? AB
2

2

???? ? AC
2

2

?

12 ? 5

=13.
tan ? CAD ? 12 5

C

A

利用计算器求得 ? C A D ? 67 ? 23? 即船的实际航行速度大小是13km/h,其方向与河岸线的夹角约6 7 ? 2 3 ?.

巩固知识

典型例题

例4 用两条同样的绳子挂一个物体,设物体的重力为k,两条 绳子的方向与垂线的夹角为 ? ,求物体受到沿两条绳子的方向的 拉力 f 1 与 f 2 的大小. 解 利用平行四边形法则,可以得到
f 1 ? f 2 ? 2 f 1 co s ? ? k ,
k f2 f1

所以
f1 ? k 2 co s ? .

动脑思考

探索新知

根据例题4的分析,判断在单杠上悬挂身体时,两臂 成什么角度时,双臂受力最小?

运用知识
计算:
??? ? ???? ???? A ?1 ?    B ? B C ? C D   ;

强化练习

??? ? ???? ??? ? O ? 2 ?    B ? B C ? C A.

???? ??? ? ? 1 ? A D;     ? O A. ?2

动脑思考
为向量a与向量b的差.即

探索新知

与数的运算相类似,可以将向量a与向量b的负向量的和定义 a ? b = a+(?b). 设a
??? ? ? OA

,b

??? ? ? O B ,则

??? ??? ? ? ??? ? ??? ? ??? ???? ???? ??? ? ? ??? ? O A ? O B ? O A ? ( ? O B )= O A ? B O ? B O ? O A ? B A.



??? ??? ? ? ??? ? O A ? O B ? B A.

(7.2)

观察图可以得到:起点相同的 a-b

两个向量a、 b,其差a ? b仍然是一
个向量,其起点是减向量b的终点,

B b O a

A

终点是被减向量a的终点.

巩固知识

典型例题

例5 已知如图所示向量a 、b ,请画出向量a ? b.

a b

解 如图所示,以平面上任一点O
??? ? 为起点,作 O A
??? ? =a,O B

=b,连接BA,

则向量 B A 为所求,即
O a A b
??? ? BA

??? ?

B

=a?b.

运用知识
计算:
??? ???? ? A ?1 ?    B ? A D   ;

强化练习

???? ??? ? B ? 2 ?    C ? B A   .

???? ???? ? 1 ? D B;     ? A C. ?2

创设情境
???? OC ? 3 a

兴趣导入

???? 观察下图可以看出向量 O C与向量a共线,并且

a a a a

O

A

B

C

3a是一个向量,其方向与a的方向相同,其模是a的模的3倍,即 |3a| = 3|a| .

动脑思考

探索新知

一般地,实数 ? 与向量a的积是一个向量,记作 ? a,它的模为
| ? a |? | ? || a |

(7.3)

若| ? a |? 0,则当 ? ? 0 时, ? a的方向与a的方向相同,当
? ? 0 时, ? a的方向与a的方向相反.

由上面定义可以得到,对于非零向量a、b,当 ? ? 0 时,有
a ∥ b ? a ? ? b.

(7.4)

动脑思考
一般地,有 0a= 0, λ0 = 0 .

探索新知

数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算,容易验证,对于 任意向量a, b及任意实数? 、 ?,向量数乘运算满足如下的法则: 向量加法及数乘运算   ?1 ?   1a ? a,? 1 ? a ? ? a   ; ? 在形式上与实数的有关运算规 律相类似,因此,实数运算中 ? ? 2 ?     ? ? a ? ? ? ? a ? ? ? ? ? a ?; ?的去括号、移项、合并同类项 ? ? 3 ?     ? ? ? a ? ? a ? ? a; ?等变形,可直接应用于向量的 运算中.但是,要注意向量的 运算与数的运算的意义是不同 a ?4?   ? ? .? b ? ? ? a ? ? b. 的 请画出图形来,分别验证这些法则.

巩固知识
例6
???? AD

典型例题
=a,

??? ? 在平行四边形ABCD中,O为两对角线交点如图, A B
???? ???? O b表示向量A O 、 D.

=b,试用a,
???? AC



=a+b, B D =b ? a,
???? 1 ???? 1 1 A O ? A C ? (a+b)= 2 2 2

????

因为O分别为AC,BD的中点,所以 a+
1 2

1 2

b,
1 2

???? 1 ???? 1 O D ? B D ? (b ? 2 2

a)= ?

a+

b,

1 2

a+

1 2

b和 ?

1 2

a+

1 2

b 都叫做向量a,b的线性组合,或者说,

???? ???? A O、 D 可以用向量a,b线性表示. O

巩固知识

典型例题

? 一般地, a+ ? b叫做a, b的一个线性组合(其中 , ? ?

均为实数),如果l =? a+? b,则称l可以用a,b线性表示.

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算.

运用知识

强化练习

计算: (1)3(a ? 2 b) ? 2(2 a+b); (2)3 a ? 2(3 a ? 4 b)+3(a ? b).

(1) ? a ? 8b ; (2)5b .

自我反思

目标检测

向量、向量的模、向量相等是如何定义的?

当一种量既有大小,又有方向,例如力、速度、 位移等,这种量叫做向量(矢量) ??? ? 向量的大小叫做向量的模.向量a, A B 的模依次 ???? ? 记作 a ,A B . 向量a与向量b的模相等并且方向相同时,称向量 a与向量b相等,记作a = b .

自我反思

目标检测
学习效果

学习行为 学习方法

继续探索

活动探究

读书部分:阅读教材相关章节 书面作业:教材习题7.1A组(必做) 教材习题7.1B组(选做) 实践调查:试着用向量的观点解释 生活中的一些问题.

作业


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