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福建省闽侯县第四中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)练习

福建省闽侯县第四中学 2017-2018 学年高一数学上学期期末考试试 题(含解析)练习 高一数学
(时间 120 分钟,满分 150 分) 一.选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确(每小题 5 分,共 60 分). 1. 设集合 A. 【答案】C 【解析】∵集合 ∴ 故选:C 2. 已知集合 A. 14 【答案】C B. 15 C. 16 若 D. 32 则 的子集个数为( ) 或 B. 或 C. 则下列结论正确的是( D. )

则 P=M∪N={1,2,3,4}, ∴P 的子集有 24=16 个. 故答案为:C. 3. 函数 A. C. 【答案】B 【解析】由 2cosx﹣1≥0,得 cosx 解得: . , B. D. 的定义域为( )

1 / 13

∴函数 故选:B. 4. 计算 A. B.

的定义域为

的值为( C. D.



【答案】B 【解析】 . 故选:B 5. 已知向量 与 反向,则下列等式中成立的是( A. C. 【答案】C 【解析】向量 与 反向: 故选:C 6. 设 点,则 A. 【答案】D B. 为平行四边形 对角线的交点,O 为平行四边形 等于( C. ) D. 所在平面内任意一 = , = , B. D. ) ,

【解析】

∵O 为任意一点,不妨把 A 点看成 O 点,则 ∵M 是平行四边形 ABCD 的对角线的交点,∴ 故选:D. 7. 若点 是 ( A. ) B. C. D. 所在平面内一点,且满足

= =2 =4



,则

等于

【答案】B

2 / 13

【解析】由题意可知: 则 M 为△ABC 的重心, 由重心和三角形 3 个顶点组成的 3 个三角形面积相等, 3S△ABM=S△ABC, ∴S△ABM:S△ABC= , 故答案选:B. 8. 已知全集 A. C. 【答案】C 【解析】全集 A={y|y=log2x,1<x<2}=(0,1), =( ,+∞),则 A∩B=( ,1), 故选:C. 点睛:求集合的交、并、补时,一般先化简集合,再由交、并、补的定义求解,在进行集 合的运算时要尽可能地借助 Venn 图和数轴使抽象问题直观化.一般地,集合元素离散时用 Venn 图表示;集合元素连续时用数轴表示,用数轴表示时要注意端点值的取舍. 9. 已知幂函数 A. C. 【答案】D 【解析】设幂函数 f(x)=x ,其图象过点 ∴2 = = 解得 α = ∴f(x)= , ;
α α

, B. D.

,则





的图像经过点 B. D.

,则下列正确的是( (其中 (其中 ) )





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∴f(x)在 R 递减, 故选:D. 10. 若 A. 【答案】D 【解析】 , 由正弦定理可得 ,由余弦定 的内角 B. C. 满足 D. ,则 ( )

理可得

,故选 D.

11. 设函数 数为奇函数,则函数 A. 关于点 C. 关于直线 【答案】D 【解析】函数 即: ,∴ω =2. 对称 对称 的图像(

的最小正周期为 ,且图像向左平移 个单位后得到的函 ) 对称 对称

B. 关于点 D. 关于直线

的最小正周期为 π ,

则 f(x)=sin(2x+φ ),向左平移 个单位后得:sin(2x+ +φ )是奇函数, 即 +φ =kπ ,k∈Z. ∴φ =kπ ﹣ , ∴|φ | 则φ = , .

故得 f(x)的解析式为:f(x)=sin(2x﹣ ).

4 / 13

由对称中心横坐标可得:2x﹣ =kπ , 可得:x= ,k∈Z.

∴A,B 选项不对. 由对称轴方程可得:2x﹣ =kπ + , 可得:x= 当 k=0 时,可得 故选:D 点睛:本题主要考查了三角函数中的平移变换以及 对称中心(由 可得对称轴方程,由 的对称性等,对称轴及 可得对称中心横坐标;在平移 ,k∈Z. .

过程中掌握“左加右减,上加下减,左右针对 ,上下针对 而言”的原则. 12. 已知 是定义在 R 上的偶函数,且 ) D. 2 ,若 ,则方程 在区间

内解的个数的最小值是( A. 5 B. 4 C. 3

【答案】B 【解析】∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,且 f(3﹣x)=f(x),f(x﹣3)=f(x), ∴f(x)是以 3 为周期的周期函数, 又∵f(x)是定义在 R 上的偶函数,f(2)=0, ∴f(﹣2)=0, ∴f(5)=f(2)=0,f(1)=f(﹣2)=0,f(4)=f(1)=0. 即在区间(0,6)内, f(2)=0,f(5)=0,f(1)=0,f(4)=0, 方程 f(x)=0 在区间(0,6)内解的个数的最小值是:4. 故选:B. 点睛:本题考查函数的周期性、奇偶性及根的个数判断,由 f(x)是定义在 R 上的以 3 为 周期的偶函数,且 f(2)=0,可得 f(﹣2)=0,重复利用函数的周期性,看在区间(0, 6)内,还能推出哪些数的函数值等于 0. 第Ⅱ卷(共 90 分)

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二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上) 13. 若非零向量 , 满足 【答案】 【解析】设向量的夹角为 ,由题意可得: , 即 与 的夹角为 120°. 点睛:求两个向量的数量积有三种方法:利用定义;利用向量的坐标运算;利用数量积的 几何意义.具体应用时可根据已知条件的特征来选择,同时要注意数量积运算律的应用. 14. 已知 【答案】 【解析】由 ∴ 故答案为: 15. 函数 【答案】 【解析】由 log0.9(2x﹣6)≥0, 得 0<2x﹣6≤1,即 3<x ∴函数 故答案为: 16. 设函数 ① 的最小正周期为 ;② ④将 . ,则下列结论正确的是__________.(写出所有正确的编号) 在区间 上单调递增;③ 取得最大值的 的集合为 . . 的定义域为__________. cos 可得:cos , 则 __________. , ,则 与 的夹角为__________.

的定义域为

的图像向左平移 个单位,得到一个奇函数的图像

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【答案】①②④ 【解析】对于函数 ,由于它的周期为 =π ,故①正确.

令 2kπ ﹣π ≤2x﹣ ≤2kπ ,k∈z,求得 kπ ﹣ ≤x≤kπ + ,k∈z, 故函数的减区间为[kπ ﹣ ,kπ + ],k∈z,故 f(x)在区间 确. 令 2x﹣ =2kπ ,求得 x=kπ + ,k∈z,故 f(x)取得最大值的 x 的集合为{x|x= +kπ , k∈Z}, 故③不正确. 将 f(x)的图象向左平移 个单位,得到函数 y=2cos[2(x+ )﹣ ]=2cos(2x+ ) =2sin2x 的图象,由于 y=﹣2sin2x 为奇函数,故④正确. 故答案为:①②④. 点睛:点睛:本题主要考查公式三角函数的图像和性质.由函数 出:① 值域( 的周期 可以求 上单调递增,故②正

;②单调区间(利用正弦函数的单调区间可通过解不等式求得);③ );④对称轴及对称中心(由 可得对称轴方程,由

可得对称中心横坐标. 三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17. 已知平面直角坐标系中,点 (I)求 (Ⅱ)设 的坐标及 ; ,求 的坐标 (2) ,或 的坐标及 ; 为原点, .

为单位向量,且 ,

【答案】(1)

【解析】试题分析:(I)利用向量的坐标运算直接求

(II)利用向量的垂直,数量积为 0,结合单位向量求解即可. 试题解析: (I) (Ⅱ)设单位向量 所以 ,即 , ,

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又 所以 即

,



,解得

或者

所以 18. 已知函数 (I)求 (Ⅱ)求

,或 .

的最小正周期及对称中心坐标; 的递减区间. ,对称中心坐标为 . ;(2)递减区间为

【答案】(1)

(2)利用正弦函数的单调减区间求解函数的单调减区间即可. 试题解析: (I) 则 由 的最小正周期 ,得 , ,





的对称中心坐标为 (Ⅱ)由 得 的递减区间为 ,

. ,

;

.

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19. 已知角 终边上一点



(I)求

的值:

(Ⅱ) 若为第三象限角,且 【答案】(1) (2)

,求

的值

【解析】试题分析:(1)利用任意角的三角函数定义,求出角的正弦函数与余弦函数值, 利用诱导公式化简,代入求解即可; (2)利用二倍角公式求出正弦函数与余弦函数值,然后利用两角和与差的三角函数化简求 解即可. 试题解析: 因为 所以 为角 终边上一点, , .

=



= (Ⅱ)

= ; , ,

又因 为第三象限角,且 所以 则 = ,

点睛:三角函数式的化简要遵循“三看”原则:一看角,这是重要一环,通过看角之间的差 别与联系,把角进行合理的拆分,从而正确使用公式 ;二看函数名称,看函数名称之间的 差异,从而确定使用的公式,常见的有切化弦;三看结构特征,分析结构特征,可以帮助 我们找到变形的方向,如遇到分式要通分等. 20. 已知 的周长为 ,且

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(I)求边 (Ⅱ)若

的长; 的面积为 ,求角 的度数.

【答案】(1)边

的长为 1;(2) 为已知,又由 ,由上述 ,结合已知

【解析】试题分析:(1)由题中所给三角形周长,即 结合正弦定理可化角为边得到关于边的关系式 所得这两式,就可求得 可以求得 的值; (2)由三角形的面积公式 的值,结合余弦定理得 ,这样即可求出 中 的范围,进而得到 的值.

的值,又结合三角形

试题解析:解:(1)由题意及正弦定理得: 两式相减得 (2)由 . (6 分) ,得 , (8 分)

,

,

由余弦定理得,

,又

,

(14 分)

考点:1.正弦定理;2.余弦定理;3.三角形面积公式 21. 根据两角的和的正弦公式,有: ① ② 由①+②得, 令 ,则 ③ ,代入③得:

(I)类比上述推理方法,根据两角的和差的余弦公式,求证: ; (Ⅱ)若 的三个内角 、 、 满足 试判断 的形状.

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【答案】(1)见解析(2)直角三角形 【解析】试题分析:解法一:(Ⅰ)因为 , ② 2分 ①-② 得 令 代入③得 (Ⅱ)由二倍角公式, , 8分 即 设 . 9分 的三个内角 A,B,C 所对的边分别为 . 11 分 为直角三角形. 12 分 , 有 . ③ 3分 , . 6分 可化为 , ①

由正弦定理可得 根据勾股定理的逆定理知 解法二:(Ⅰ)同解法一.

(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, , 8分 因为 A,B,C 为 所以 又因为 所以 从而 又因为 所以 . 10 分 ,所以 ,即 . ,所以 . 的内角,所以 . , ,

可化为

为直角三角形. 12 分

考点:两角和与差三角函数公式、二倍角公式 点评:本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基 础知识,考查推理论证能力,运算求解能力,考查化归与转化思想等 22. 已知函数 (1)求 的值和实数 的值; 在 上的单调性,并给出证明; 是定义在 上的奇函数.

(2)判断函数

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(3)若



求实数 的取值范围. (2)增函数,见解析;(3)

【答案】(1)

【解析】试题分析:(1)直接把 0 代入即可求出 f(0)的值;再结合 f(﹣x)+f(x)=0 对定义域内的所有自变量成立即可求出实数 m 的值; (2)先研究内层函数的单调性,再结合复合函数的单调性即可判断函数 f(x)在(﹣1, 1)上的单调性; (3)先根据 得到 a 的范围;再结合其为奇函数把 f(b﹣2)+f(2b﹣2)>0 转化为

f(b﹣2)>f(2﹣2b),结合第二问的单调性即可求出实数 b 的取值范围. 试题解析: (I) 因为 所以: , 是奇函数。

, 即 所以 . (Ⅱ) ; 设 或 对定义域内的 都成立. (舍) .



,则

. 当 时, 在 上是增函数.

(Ⅲ)由

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得 函数 是奇函数

, , 由(Ⅱ)得 在 上是增函数

的取值范围是

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