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高中奥数习题——数列


数列
一、选择题 1.等差数列 ?a n ? 满足 3 a 8 ? 5 a 13 ,且 a 1 ? 0 , S n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ,则 S n 中最大的 是( ) (A) S 10 (B) S 11 (C) S 20 (D) S 21

2.已知数列 ?a n ? 满足 3 a n ?1 ? a n ? 4 ,且 a 1 ? 9 ,其前 n 项之和为 S n ,则满足不等式
Sn ? n ? 6 ? 1 125

的最小正整数 n 是( ) (C)6
a b

(A)8

(B)7

(D)5
? b c ? c a
2

3.已知 a , b , c 均为非零常数,且 (B) ? ?

,则

a?b?c a?b?c

的值为( )

(A)1

(C) 1, ? , ?

(D) 1, ? ? , ? ?

2

4.满足等式 ( a n ? a n ?1 )( a n ?1 ? 1) ? 0 的数列 a 1 , a 2 , ? a 100 共有( )个 (A)1 (B)2 (C)3 (D)无穷
n
2

5.已知数列的通项公式为 a n ?
n ?n
2

( 2 n ? 1)( 2 n ? 1)

,则其前 n 项之和为( )

(A)

4n ? 2 n? 2

(B)

n

2

4n ? 2

(C)

n ? n
2

4n ? 2

(D)

n ?n
2

4n ? 2

6.已知 a n ?

n ( n ? 1)

?

1 2
n

,数列 ?a n ? 的前 n 项之和为 S n ,则 S 100 的值满足()

(A)S 100 ? 1

(B)S 100 ?

100 101
2

(C)S 100 ?
2

100 101

(D)

100 101

? S 100 ? 1

7.对于每个正整数 n ,抛物线 y ? ( n ? n ) x ? ( 2 n ? 1) x ? 1 与 x 交于 A n 、 B n 两点,以
A n B n 表示该两点距离, A1 B 1 ? A 2 B 2 ? ? ? A 2002 B 2002 的值是( )

(A)

2001 2002

(B)

2002 2003

(C)

2001 2003

(D)

2003 2001

8.已知数列 ?a n ? 满足 a 1 ? 2 , a n ? 1 ? 1 ?

1 an

,则 ? a k 的值为( )
k ?1

1998

(A)999

(B)1001

(C) 1001

1 2

(D) 1000

1 2

二、填空题 9. 一 等 差 数 列 共 有 3 n 项 , 前 n 项 和 为 A , 中 间 n 项 和 为 B , 后 n 项 和 为 C ,
M ? B ? AC , N ? (
2

A?C 2

) ,比较 M 与 N 的大小___________.

2

10.已知正整数 n ? 2000 , 且能表示成不少于 60 个连续正整数之和, 这样的 n 共有____ 个.
n 11.已知数列 ?a n ? , ?b n ? 的通项分别为 a n ? 2 , b n ? 3 n ? 2 ,把 ?a n ? 、 ?b n ? 中相同的

项从小到大排成新的数列 ?c n ? , ?c n ? 的通项为_________. 12. n ? N ,则 ?
*

1 1

1 1? 2

?

1 1? 2 ? 3

?? ?

1 1? 2 ?? ? n 1 3 1 4

? ________.

13.设 S n 是等差数列 ?a n ? 的前 n 项和,已知

S3 与

S 4 的等比中项为

1 5

S5 ,

1 3

S3 与

1 4

S 4 的等差中项为 1,则 ?a n ? 的通项公式为___________.

14.数列 ?a n ? 的相邻两项 a n 、 a n ? 1 是方程 x ? c n x ? ( ) ? 0 的两根,且 a 1 ? 2 ,则无
2 n

1

3

穷数列 ?c n ? 的和为_________. 三、解答题 15.若 ?a n ? 是正项递增的等差数列, n , k ? N , k ? 2 .求证:
*

a ( n ?1 ) k ?1
k

?

ak?2 a k ?1

?

a2k?2 a 2 k ?1

?

a 3k ?2 a 3 k ?1

?? ?

a nk ? 2 a nk ? 1

?

k

a nk ? 2 a2

a k ?1

n 16. 数 列 ?a n ? 的 前 n 项 之 和 为 S n , 若 S 1 ? 1 , 且 S n ?1 ? S n ? ( 5 n ? 1) a ,

n ? 1, 2 , ? , a ? 1 ,求 S n

17.
1? 1 2 ? 2 3 ? 1 4 ? 1 5 ? 2 6 ? 1 7


? 1 8 ? 2 9 ?? ? 1 478 ? 1 479 ?


2 480 ?



?

159

641 (161 ? k )( 480 ? k )

k ?0

18.已知数列 ?a n ? 满足: a 1 ? 3 , a 2 ? 93 , a n ? 10 a n ?1 ? 21 a n ? 2 ,求此数列的通项.

19. 已知数列 ?a n ? 满足: a 1 ? 0 , a n ? 1 ? 5 a n ? 20.数列 ?a n ? 满足 a 1 ? a 2 ? 1 ,a n ?
a n 都为整数.
a n ?1 ? 2
2

24 a n ? 1 ,求此数列的通项.
2

(n ? 2) , 证明: 对任意 n ? N



a n?2


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