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四川省自贡市高2013届一诊数学参考答案及评分标准


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自贡市高 2013 届第一次诊断考试数学试题 参考答案及评分意见
一、选择题(每小题 5 分 共 60 分) (理科)DBDCB ACABC AD (文科)DBDCB ACBAC AD 二、填空题: (本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分)

4 ? ;15.2.5;16. (1) (4). (2) 3 4 1 1 n (文)13. ?1, ? ? ;14. 8+ ? ;15.1+ +….+ n ﹥ ;16. (1) (4). (2) 2 3 2 ?1 2
(理)13. -672 ;14. 8+ 三、解答题:共 6 个题,共 74 分。 17. 解: (1)用 ( x, y ) ( x 表示甲摸到的数字, y 表示乙摸到的数字)表示甲乙各摸到一球构成的基本 事件有: (1,1) (1,2) (1,3) (1,4) (2,1) (2,2) (2,3) (2,4) (3,1) (3,2) (3,3) (3,4) (4,1) (4,2) (4,3) (4,4)共有 16 个 - -------------------- --------------- ------------3 分 设甲获胜的事件为 A ,则事件 A 包括的基本事件为(2,1) (3,1) (3,2) (4,1)
[来源:Z+xx+k.Com] [来源:Z*xx*k.Com]

3 6 3 即甲获胜的概率为 ----------6 分 ? 8 16 8 (2)设甲获胜的事件为 B ,乙获胜的事件为 C ,事件 B 所包含的基本事件为(1,1) (2,2) (3,3) (4,4)
(4,2) (4,3)共 有 6 个, ---------------5 分
[来源:学+科+K

P( A) ?

共有 4 个, 则 P( B) ?

--------------------------------------------8 分

4 1 4 3 ? , P(C) ? 1 ? ? , -----------10 分 16 4 16 4 P( B) ? P(C ) ,∴ 不公平 -----------12 分

18.解:(Ⅰ)由

a4 ? q3 ? 8 得 a1

q?2

………文(2 分)理(2 分)



an ? 2 ? 2n?1 ? 2n
?b1 ? ?16 ? ? d ? 12

………文(4 分)理(3 分)

(Ⅱ)

? b3 ? b1 ? 2d ? a3 ? 8 ∴ ? ?b5 ? b1 ? 4d ? a5 ? 32


………文(8 分)理(6 分)

bn ? ?16 ? (n ?1)12 ? 12n ? 28

………文(10 分)理(7 分) …………文(12 分)

(文)

Sn ?

1 (?16 ? 12n ? 28)n ? 6n 2 ? 22n 2

(理) anbn ? (12n ? 28) ? 2n
3 Sn ? ?1 6 1 2 ? ( ? 42? ?2 ? ?? 2 n ? ? ? ) 8

(n 2

28) 2

2Sn ? ?16 ? 22 ? (?4) ? 23 ? ?? (12n ? 40)2n ? (12n ? 28)2n?1


Sn ? 2Sn ? ?16 ? 21 ?12(22 ? 23 ? ?? 2n ) ? (12n ? 28)2n?1
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?Sn ? 12(21 ? 22 ??? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n?1
= 12

…………理(10 分)

2(1 ? 2n ) ? 56 ? (12n ? 28)2n ?1 ∴ Sn ? (3n ?10)2n?3 ? 80 1? 2

……理(12 分)

19.解: f ( x) ? sin 2x ? 3(1 ? cos 2x) ? 3 = sin 2 x ? 3 cos 2 x = 2sin(2 x ? (Ⅰ)

?
3

)

……(2 分)

T?

2? ? ? ? ? …(3 分) 2 x ? ? ? ? 2k? 2 3 2
……(5 分)

即x??

5 x ? 2 k? 12

k∈Z 时 …(4 分)

f ( x)min ? ?2
(Ⅱ)

f ( A) ? 2sin(2 A ? ) ? 1 3
∴ 由

?



2 sin(2 A ?

?
3

)?

0? A??

得 ∴ A?

?
4

1 2

………(6 分) ………(8 分) ……(10 分)

而 AB ? AC ?| AB | ? | AC | ?COSA ? 2

??? ??? ? ?

??? ?

??? ?

∴ | AB | ? | AC |? 2



S?ABC ?

1 2 | AB | ? | AC | sin A ? 2 2

………(12 分)

20.解: (Ⅰ)证明:连接 AF,则 AF= 2,DF= 2, 又 AD=2,∴DF2+AF2=AD2,∴DF⊥AF.又 PA⊥平面 ABCD,∴DF⊥PA,又 PA∩AF=A,

? DF ? 平面PAF ? ? ? DF ? PF . PF ? 平面PAF ?

……………4 分(文科 6 分)

1 (Ⅱ)过点 E 作 EH∥FD 交 AD 于点 H,则 EH∥平面 PFD 且 AH= AD. 4 1 再过点 H 作 HG∥DP 交 PA 于点 G,则 HG∥平面 PFD 且 AG= AP,∴平面 EHG∥平面 PFD. 4 1 ∴EG∥平面 PFD.从而满足 AG= AP 的点 G 为所求.………8 分(文科 12 分) 4 (Ⅲ)建立如图所示的空间直角坐标系,因为 PA⊥平面 ABCD ,所以 ?PBA 是 PB 与平面 ABCD 所成的角.
? 又有已知得 ?PBA ? 45 ,∴ PA ? AB ? 1 ,∴

A? 0,0,0? , B ?1,0,0? , F (1,1,0), D(0,2,0), P(0,0,1) . ? ??? ? ? ? n ? PF ? 0 ? 设平面 PFD 的法向量为 n ? ? x, y, z ? ,由 ? ? ???? ?n ? DF ? 0 ?
得?

? ?1 1 ? ?x ? y ? z ? 0 1 ,令 z ? 1 ,解得: x ? y ? .∴ n ? ? , ,1? .……10 分(理科) 2 ?2 2 ? ? x? y ?0 ??? ? ??? ? 又∵ AB ? 平面PAD ,∴ AB 是平面 PAD 的法向量, 易得 AB ? ?1,0,0 ? ,
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??? ? ? ??? ? ? AB ? n cos AB, n ? ??? ? ? ? AB ? n

1 6 2 . ? 6 1 1 ? ?1 4 4
6 . 6
……………12 分(理科)

由图知,所求二面角 A ? PD ? F 的余弦值为 21.解: f ( x) ? ax2 ? 2bx ? c (Ⅰ) 由

g ( x) ? 2ax ? 2b
0

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0

c?2 b ?

a

F( 0? d ? )

f (1) ? a ? 2b ? c ? 0 f (?1) ? a ? 2b ? c ? 0
1 F (?1) ? ? a ? b ? c ? 2 3

? a?3 ? ∴ ?b ? d ? 0 ? c ? ?3 ?



F ( x) ? x3 ? 3x ………(3 分)

F ?( x) ? f ( x) ? 3x2 ? 3

x ? (?1,1)

F ?( x) ? 0 F ( x) 单增 F ?( x) ? 0
F ( x) 单减

………(4 分) ………(5 分)

x ? (??, ?1) 和 x ? (1, ??)
(Ⅱ) 由

? y ? ax2 ? 2bx ? c ? ? y ? 2ax ? 2b
ax2 ? (2a ? 2b) x ? 2b ? c ? 0
(a ? 0 )

消y 得

2a ? 2b b ? ? 2 ? 2? ? x1 ? x2 ? ? a a ? 2b ? c b ? x ?x ? ? 4 ?1 ? 1 2 a a ?
∴ AB 在 x 轴上射影长 l ? ∴

……(7 分)

( x1 ? x2 ) 2

而 ∴

b b l 2 ? (2 ? 2 ) 2 ? 4(4 ) ? 1 a a b b b ? 4( ) 2 ? 8( ) ? 8 ? 4( ? 1) 2 ? 4 a a a b 1 1 g ( x) ? 0 x ? ? [ ? , ] a 2 2 b 1 ?? 时 lmax ? 13 ……(10 分) a 2
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……(9 分)

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b 1 ? a 2




lm i ? 5 n

……(11 分) ……(12 分)

5 ? l ? 13

22.(理科)

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(文科)22. 解: (Ⅰ)当 a ? ?

1 1 x2 ?1, 时, f ( x) ? ? ln x ? 2 2 4

∴ f ?( x) ?

?1 x x2 ?1 ? ? . 2x 2 2x

∵ f (x) 的定义域为 (0,??) ,∴由 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 . ---------------------------3 分 ∴ f (x) 在区间 [ , e ] 上的最值只可能在 f (1), f ( ), f (e) 取到, 而 f (1) ?

1 e

1 e

5 1 3 1 1 e2 , f ( ) ? ? 2 , f (e) ? ? , 4 e 2 4e 2 4 1 e2 5 ? , f ( x) min ? f (1) ? . 2 4 4
---------------------------6 分

∴ f ( x) max ? f (e) ?

(Ⅱ) f ?( x) ?

(a ? 1) x 2 ? a ,x ? (0, ??) . x
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①当 a ? 1 ? 0 ,即 a ? ?1 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递减;-------------8 分 ②当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0,? f ( x) 在 (0,??) 单调递增;
2 ③当 ? 1 ? a ? 0 时,由 f ?( x) ? 0 得 x ?

----------------9 分

?a ,? x ? a ?1

?a ?a 或x?? (舍去) a ?1 a ?1
--------------------10 分

∴ f (x) 在 ( 综上,

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减; a ?1 a ?1

当 a ? 0 时, f (x) 在 (0,??) 单调递增; 当 ? 1 ? a ? 0 时, f (x) 在 (

?a ?a ,??) 单调递增,在 (0, ) 上单调递减. a ?1 a ?1
-----------------------14 分

当 a ? ?1 时, f (x) 在 (0,??) 单调递减;

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