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七年级第二十二讲 平行线的判定与性质


第二十二讲

平行线的判定与性质

在同一平面内,不相交的两条直线叫做平行线. 角是平面几何图形中最活跃的元素,前面我们已学习过特殊角、数量关系角等角的知识.当两条直线 相交或分别与第三条直线相交,就产生对顶角、同位角、内错角、同旁内角等位置关系角,进一步丰富了 角的知识,它们在角的计算与证明中有广泛的应用. 与平行线相关的问题一般都是平行线的判定与性质的综合运用,主要体现在如下两个方面: 1. 由角定角 已知角的关系→(判定)两直线平行→(性质)确定其他角的关系. 2.由线定线 已知两直线平行→(性质)角的关系行→(判定)确定其他两直线平行. 例题 【例 1】如图,AB∥CD,AC⊥BC,图中与∠CAB 互余的角有 个. (安徽省中考题)

思路点拨 充分运用对顶角、平行线性质等与角相关的知识,借助互余的概念判断. 注:平面几何的研究除了运用计算方法外,更多的要依靠时图形的观察(直觉能力),运用演绎推理的方 法去完成,往往需要通过观察、实验操作进而猜想蛄论(性质),或由预设结论去猜想条件,再运用演绎推理 方法加以证明. 在学习完相交线、平行线内容后,平面几何的学习就由实验几何阶段进入论证几何阶段,顺利跨越推 理论证阶段,需注意以下几点: (1)过好语言关; (2)学会识图; (3)善于分析. 【例 2】 如图,平行直线 AB、CD 与相交直线 EF、GH 相交,图中的同旁内角共有( ) . A.4 对 B.8 对 C.12 对 D.16 对 ( “希望杯”邀请赛试题)

思路点拨 每一个“三线八角”基本图形都有两对同旁内角,从对原图形进行分解人手. 【例 3】如图,已知∠B=25°,∠BCD=45°,∠CDE=30°,∠E=10° 求征:AB∥EF. 思路点拨 解本例的困难在于图形中没有“三线八角”,考虑创造条件,在图中添置“三线八角”或 作出与 AB 或 CD 平行的直线. 【例 4】 如图,在Δ ABC 中,CE⊥AB 于 E,DF⊥AB 于 F,AC∥ED,CE 是∠ACB 的平分线.求证: ∠EDF=∠BDF. (天津市竞赛题)

思路点拨 综合运用角平分线、垂直的定义、平行线的判定与性质等知识,因图形复杂,故需恰当分解 图形. 【例 5】 探究: (1)如图 a,若 AB∥CD,则∠B+∠D=∠E,你能说明为什么吗? (2)反之,若∠B+∠D=∠E,直线 AB 与 CD 有什么位置关系?请证明; (3)若将点 E 移至图 b 所示位置,此时∠B、∠D、∠E 之间有什么关系?请证明; (4)若将 E 点移至图 c 所示位置,情况又如何? (5)在图 d 中,AB∥CD,∠E+∠G 与∠B+∠F+∠D 又有何关系? (6)在图 e 中,若 AB∥CD,又得到什么结论?

思路点拨 已知 AB∥CD,连结 AB、CD 的折线内折或外折,或改变 E 点位置、或增加折线的条数,通 过适当地改变其中的一个条件,就能得出新的结论,给我们创造性的思考留下了极大的空间,解题的关键 是过 E 点作 AB(或 CD)的平行线,把复杂的图形化归为基本图形. 注: 分析主要从以下两个方面进行: (1) 由因导果(综合法),即从已知条件出发推出相应结论. (2)执果溯因(分析法),即要得到结论需具备什么条件. 解题时,我们既要抓住条件,又要盯住目标,努力促使已知与来知的转化与沟通. 探索性问题一般具有以下特点: (1)给出了条件,但没有明确的结论; (2)给出了结论,但没有给出或没有全部给出应具备的条件, (3) 先提出特殊情况进行研究,再要求归纳、猜测和确定一般结论;(4)先对某一给定条件和结论的问题进行研 究,再探讨改变条件时其结论相应发生的变化,或改变结论时其条件相应发生的变化;(5)解题方法需要独 立创新. “解题千万道,解后抛九霄”是难以达到提高解题能力,发展思维的目的的.善于作解题后小结,回 顾解题过程,总结解题经验和体会,再进而作一题多解,一题多问,一题多变的思考,挖掘题目的深度和 广度,扩大题目的辐射面,这对解题能力的提高是十分有益的.

学力训练 1. 如图, 已知 AE∥CD, EF 交 AB 于 M, MN⊥EF 于 M, NN 交 CD 于 N, 若∠BME=110°, 则∠MND= . (湖北成宁市中者题) 2.如图,若直线 a,b 分别与直线 c,d 相交,且∠1+∠3=90°,∠2 一∠3=90°,∠4=115°,那么∠ 3= .

3 .如图,已知 AB ∥ CD , ∠

1=100°,∠2=120°,则∠α = . (内蒙古中考题) 4.已知两个角的两边分别平行,其中一个角为 40°,那么另一角是 度. 5.如图,下列条件中,不能判断直线 l1∥l2 的是( ). A.∠l=∠3 B.∠2=∠3 C.∠4=∠5 D.∠2+∠4=180° (南通市中考题) 6..已知线段 AB 的长为 10cm,点 A、B 到直线 L 的距离分别为 6cm 和 4cm,符合条件 l 的条数为( A.1 B.2 C.3 D.4 (安徽省中考题) 7.如图,直线 a、b 都与直线 c 相交,给出下列条件:(1)∠l=∠2;(2)∠3=∠6; (3)∠4+∠7=180°;(4)∠5+∠8=180°,其中能判断 a∥b 的是( ). A.(1)、(3) B.(2)、(4) C.(1)、(3)、(4) D.(1)、(2)、(3)、(4) (江苏盐城市中考题)

).

8.如图,AB∥EF∥DC,EG∥DB,则图中与∠1 相等的角(∠1 除外)共有( ). A.6 个 D.5 个 C.4 个 D.3 个 (湖北省荆门市中考题) 9.如图,已知∠l+∠2=180°,∠3=∠B,试判断∠AED 与∠ACB 的大小关系,并对结论进行证明.

10.如图,已知∠1 十∠2=180°,∠A=∠C,AD 平分∠BDF.求证:BC 平分∠DBE. 11.在同—平面内有 2002 条直线 a1,a2,?,a2002,如果 a1⊥a2,a2∥a3,a3⊥a4,a4∥a5,?,那么 a1 与 a2002 的位置关系是 . 12.若平面上 4 条直线两两相交且无三线共点,则共有同旁内角 对. (江苏省竞赛题) 13.如图,已知 l1 // l 2 ,AB⊥ l1 ,∠ABC=130°,则∠α = .

14.如图,直线 AB∥CD,∠EFA=30°,∠FGH=90°,∠HMN=30°,∠CNP= 50°,则∠GHM 的大小 是 . (“希望杯”邀请赛试题)

15.如图,D、G 是Δ ABC 中 AB 边上的任意两点,DE∥BC,GH∥DC,则图中相等的角共有( A,4 对 B.5 对 C .6 对 D.7 对 (“数学新蕾”竞赛题)

).

16.如图,若 AB∥CD,则( ). A.∠1=∠2+∠3 B.∠1=∠3 一∠2 C.∠1+∠2+∠3=180° ∠l 一∠2 十∠3=180° 17.如图,AB∥CD∥EF,EH⊥CD 于 H,则∠BAC+∠ACE+∠CEH 等于( A.180° B.270° C. 360° D. 450° 18.如图,AB∥EF,∠C=90°,则α 、β 和γ 的关系是( ). A. β =α +γ B.α +β +γ =180°

).

C.α +β -γ =180° D.β +γ -α =180° 19.如图,已知 AB∥CD,P 为 HD 上任意一点,过 P 点的直线交 HF 于 O 点,试问:∠HOP、∠AGF、 ∠HPO 有怎样的关系?用式子表示并证明.

20.如图,已知 AB∥CD,α =∠A+∠E,β =∠B+∠C+∠D,证明:β =2α . 21.平面上有 7 条不同的直线,如果其中任何三条直线都不共点. (1)请画出满足上述条件的一个图形,并数出图形中各直线之间的交点个数; (2)请再画出各直线之间的交点个数不同的图形(至少两个); (3)你能否画出各直线之间的交点个数为 n 的图形,其中 n 分别为 6,2l,15? (4)请尽可能多地画出各直线之间的交点个数不同的图形,从中你能发现什么规律? 22.如图,已知射线 CB∥OA,∠C=∠OAB=100°,E、F 在 CB 上,且满足∠FOB=∠AOB,OE 平分∠ COF. (1)求∠EOB 的度数. (2)若平行移动 AB,那么∠OBC:∠OFC 的值是否随之发生变化?若变化,找出变化规律;若不变,求出这 个比值. (3)在平行移动 AB 的过程中,是否存在某种情况,使∠OEC=∠OBA?若存在,求出其度数;若不存在,说 明理由.

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