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割补法在高中立体几何解题中的应用_论文

2 0 1 3年 第 5期  中学数 学教 学  4 3   割 补 法在 高 中立体 几 何 解 题 中 的应 用  安徽 省 舒城 中学 方 清  ( 邮编 : 2 3 1 3 0 0 )   摘  要  本 文通过教 学过 程 中的 常见 实例展 示 了割补 法在 高中立体 几何 解题 中的具体 应 用.   关 键 词  割 补 法 ; 立体几何 ; 解题   割补 法就 是 通 过几 何 体 的分 割 或补 形 进 而  发现 未 知几 何 体 和 已知 几 何 体 内在 联 系 的一 种  方法 . 这 种 方 法 蕴 含 了一 种 构 造 思想 , 同 时也 反  应 了对立 统一 的辩 证思 想. 掌 握 这 种方 法 对 培养  学生 的数 学 素养 及创新 意识 都 有 重 要 意义 . 本 文  将 通 过 教 学 过 程 中 的 常 见 实 例 来 谈 谈 割 补 法 在  正方 体棱 长为 1 , 从 而外 接球 半径 R 一  , 得 S 球   一 3   . 故 选 A.   变式 1   三 棱 锥 P~A BC 满 足 P A—P B —  P C= = = 2 , △ A B C 为正 三角形 , 其边 长 为 2 √ 2 , 四个  顶点 在 同一 球 面上 , 求此球 的体 积.   变式 2   四面体 S —AB C的三组对 棱分 别相  高 中立体 几何 解题 中的具 体应 用 . 通 过 实 例 的一  一 展现 , 对学 生 的立 体 感培 养 和思 维拓 展 是有 一  等, 且 依 次为 2   ,   体积.   . 5 , 求 四面体 S— A B C 的  定 帮助 的.   1   补 形 法  例 2   如图 l ,几 何 体  ABCD — EF GH 是 一 个 平 面  补形 法是 将原 图形 补 成一 个 新 的几 何 体 , 在  新 的几何 体 中研 究 图形 性 质 及 数 量 关 系 的一 种  方法 .   1 . 1   构 造 正 方 体 或 长 方 体  截 长 方 体 的 剩 余 部 分 ,已知  AB 一 4 BC 一 3。 AE 一 5. BF  一 8 , ∞ 一 1 2 ,求 几 何 体  例 1   ( 2 0 0 3年 全 国卷 , 理1 2 ) 一 个 四面 体 的  所有 棱长 都 为  , 四个 顶 点在 一球 面上 , 则 此 球  的表 面积 为 (   A. 3 n   )   C G, D H 到A   B   C   D   , 使得 A A  一 B B  一 C C  一   B. 4 7 【   C. 3   D. 6   7 【   DD 一 1 7 , 可得 E A  一 1 2 , F B 一 9 , G C 一 5,   分析 1   设 △ ACD 的重 心  HD  一8 , 故 长方 体 A BC D—A   B   C   D  的体 积是  为 E, 则 球心 在线 段 B E上 , 可  几 何体 A BC D— E F G H 的 2倍 .   在直 角 三角 形 中求解 , 但 计 算  故V 加  较 麻 烦.   分析 2   将 正 四 面 体  图l   1 7— 1 0 2 .   。  一   加   。   一   1. 3. 4.   AB C D 补 成正 方体 , 则 正四面体、 正方体 V J , 外 接  球 为 同一 个 球. 因 为正 四面 体 的棱 长 为  , 所 以  例3   在多 面体 A BC DE F中 , 已知面 AB C D   是 边 长为 3的正方形 , E F/ / AB, E F一   , E F 与  4 4   中学 数 学 教 学  J 氐 回  为   ,局 力 h, 具  积 2 0 1 3年 第 5期  V 一 5h.则 二 角 彤   面 AB C D 的距离 为 2 , 求 该多 面体 的体积 .   分 析  从题 目的条件 , 体积 是确 定 的 ( 祖垣  定 理 ). 可 以在正 方体 中作 出这个 图形 ( 图略 ) .   仙 ∞ EF —   棱柱 ~   棱锥 一   .   A E F 的 面 积 为 丢 s .   由 于 V A E  n   c   : 专 ? ^ ? ( 鲁 + s + 导 ) 一   S h, 则剩 余不 规 则几 何体 的体 积 为 V  一 V —  V  — S h一 7 S h 变式 3   过 正方 形 AB C D 的顶 点A 作 P A   J Ⅲ   平面 A B C D, 设 P A —A B, 求平面 P AB 和 平 面  P C D 所 成 二面 角的大 小.   一-  ̄ S h, 所 以 两 部 分 的  分析  此 图 可补 成正 方 体 ,   A P D 即为 所  求“ 无棱 二面 角”的平面 角 , 为4 5 。 .   1 . 2   构 造 其 他 几 何 体  体积 之 比为 VA E F   A 1 B 1 c   : V  一 7 : 5 .   2   分 割 法  这种 方法是 将几 何体 分解 为若 干 个 部分 , 再  利 用部分 与整体 的关 系来解 题.   例 6   已知 三棱锥 P—A BC, 其中 P A 一4 ,   PB = PC 一 2,   例 4   如图 3 , 一 圆柱被 一平 面所截 , 已 知 被  截后 几何 体 的最 长侧 面 母 线 长 为 4 , 最 短侧 面母  线长 为 1 , 且圆柱 底面半 径 长 为 2 , 求该 几 何体 的  体积 .   一 AP B =    AP c   B PC 一 6 0 。 求:   国   图3   图4  

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