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湖北省武汉外国语学校2014-2015学年高一上学期期末考试数学试题


武汉外国语学校 2014—2015 学年度上学期期末考试

高一数学试题
考试时间:2015 年 2 月 2 日 7:30—9:30 满分:150

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的. 1. 某扇形的半径为 r ,圆心角 ? 所对的弧长为 2 r ,则 ? 的大小是 ( )
A. 30? B. 60? ) C. 小于 180 ? 的正角 D. 第一或第二象限角 C. 1 弧度 D.2 弧度

2. 已知 ? 是锐角,那么 2? 是( A. 第一象限角

B. 第二象限角

? ? ? ? ? ? ? ? ? b c 满足 (a ? b) ? c ? a ? (b ? c) ,则 3. 若非零平面向量 a,,





? ? A. a , c 一定共线

? ? B. a , b 一定共线

? ? C. b, c 一定共线

? ?? D. a, b, c 无确定位置关系


4. 要得到函数 y ? sin(2 x ?

?
6

) 的图象,只需将函数 y ? cos2 x 的图象 (

? 个单位 6 ? C. 向左平移 个单位 3
A. 向左平移 5. 已知 ? ? (0, ? ) , cos( A. ?

? 个单位 6 ? D. 向右平移 个单位 3
B. 向右平移

?
2

? ? ) ? cos(? ? ? ) ?
24 7 或? 7 24

24 7

B. ?

17 ,则 tan? 的值为 ( ) 25 7 24 C. ? D. 24 7


6. y ? sin(?2 x ? A. (k? ?

?
3

) 的单调递减区间为(

5? 2? ? 5? B. (k? ? , k? ? ], k ? Z , k? ? ], k ? Z 6 12 12 3 ? 5? ? ? C. (k? ? , k? ? ], k ? Z D. [k? ? , k? ? ), k ? Z 12 6 12 12 ? ? ? ? ? 7. 设 a ,b 是一组非正交的基底, 为得到正交基底, 可在集合 {a ? tb | t ? R} 中找一个向量与 a
组成一组正交基底,根据上述要求,若 a ? (1,2) , b ? (2,3) ,则 t 的值为 (
A. ?

?

?



3 8

B. ?

5 11

C. ?

5 8

D. ?

7 9


8.已知函数 y ? Asin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0,0 ? ? ? ? ) 的图象如下,则它的解析式为(

A. y ? 2sin( B. y ? 2sin( C. y ? 2sin( D. y ? 2sin(

?

12

x?

5? ) 6

?

x? ) 6 6

?

x? ) 12 6

?

?

?

? ? 5? x ? ) 或 y ? 2sin( x ? ) 6 6 12 6
?
2

第8题

9. 若关于 x 的方程 sin 2 x ? 2 3cos2 x ? m ? 3 ? 1 ? 0 在区间 [0, ] 上有两个不同的解,则实 数 m 的取值范围是(
A. ( ?1,1 ? 3]

) B. (0,1 ? 3]
C. ( ?1,2 3] D. (0,1 ? 3]

? x 2 ? x ? 1, x?0 10. 已知函数 f ( x) ? ? .若 f ?sin ? ? sin ? ? sin 360 ? 1? ? ?1 , x?0 ?2 x ? 1 ,
f cos? ? cos ? ? cos360 ? 1 ? 3 ,则 cos?? ? ? ? ? (
A.

?

?



1 2

B. 2

C. ?

1 2

D. ?2

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。 11. 若角 ? 的终边经过点 P ( ?1,1) ,则 cos2? 的值
1 ? sin ? 1 ? sin ? ? 的结果为 1 ? sin ? 1 ? sin ?

.

12. 已知 ? 为第三象限角,化简

.

13. 已知直线 l1 ? l2 , 并且 A 点到 l1 , l2 的距离分别为 3,4. B 是直线 l2 上 A 是 l1 , l2 之间的一定点, 一动点,作 AC ? AB ,使 AC 与直线 l1 交于点 C , ?ABC 面积的最小值为 14. 已 知 圆 O 的 内 接 三 角 形 ABC 的 三 边 长 分 别 为 AB ? 4, BC ? 5, CA ? 6 , 则

? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? O A? A B ? O? B B? C O ?C C ?A

15. 已知函数 f ( x) ? ?9(| sin x | ? | cos x |) ? 4sin 2 x ?9 , (1) f ( x) 的最小正周期为 (2) f ( x ) ? 0 在区间 [0, 503? ] 上有 个根。

三、解答题:本大题共 6 小题, 共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
16. (本小题满分 12 分)

? ? 2 ? 3 sin ? ? 2cos ? 1 计算(1) ; (2) 5cos ? ? sin ? 2sin ? ? cos ? ? cos2 ?
已知向量 a ? (sin x, ), b ? (cos x, ?2) ,且满足 a // b

?

17.(本小题满分 12 分) ? ? ? ? 已知 | a |? 1 , | b |? 2 , a 与 b 的夹角为 60? .

]

? ? ? (1)求 a ? b 与 a 的夹角的余弦值;

? ? ? ? ? (2)当 |a ? tb| 取得最小值时,试判断 a ? tb 与 b 的位置关系,并说明理由.

18.(本小题满分 12 分) 天 气 预 报 预 测 , 2015 年 除 夕 , 武 汉 从 0 时 到 24 时 的 气 温 变 化 曲 线 近 似 地 满 足 函 数

y ? A sin(?x ? ? ) ? b ( A, ? ? 0, | ? |? ? ) .预报称:除夕当天, 武汉的温度为 1 到 9 度,其中最高
气温只出现在下午 14 时,最低气温只出现在凌晨 2 时. (Ⅰ) 求函数 y ? A sin(?x ? ? ) ? b 的表达式; (Ⅱ)又已知另一城市的 M 市,除夕当天的气温变化曲线也近似地满足函数

y ? A1 s i n? (1 x ? ?1 ) ? b1 ,且气温变化也为 1 到 9 度,只不过最高气温和最低气温出现的时间都
比武汉迟了四个小时. (ⅰ)求早上七时,武汉与 M 市的两地温差; (ⅱ)若同一时刻两地的温差不差过 2 度,我们称之为温度相近,求 2015 年除夕当日,武汉与 M 市 温度相近的时长. 19.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (sin ?x ? cos?x) 2 ? 2 sin 2 ?x(? ? 0) 的周期为 (Ⅰ) 求函数 y ? f ( x) 在 [0,

?
3

2 ?. 3

] 上的值域;

(Ⅱ)求最小的正实数 ? ,使得 y ? f ( x) 的函数图像向右平移 ? 个单位后所对应的函数为偶函 数.

20.(本小题满分 13 分) 如图,在 ?ABC 中,已知 CA ? 2, CB ? 3, ?ACB ? 60? , CH 为 AB 边上的高.

??? ? ??? ? (1)求 AB ? BC ;

B

???? ??? ? ??? ? (2)设 CH ? mCB ? nCA ,其中 m, n ? R ,求 m, n 的值.
H C A
(第 20 题)

21.(本小题满分 14 分) 已知定义在 R 上的函数 f ( x) ? Acos(?x ? ? )( A ? 0,? ? 0,| ? |? 相邻两个最低点之间距离为 ? ,且函数 y ? sin(2 x ? 象的对称轴上. (1)求 f ( x ) 的表达式;

?
2

最大值与最小值的差为 4, ),

?
3

) 图象所有的对称中心都在 y ? f ( x ) 图

x0 3 ? ? ? ) ? ( x0 ?[? , ]) ,求 cos( x0 ? ) 的值; 3 2 2 2 2 ? ? ? ? ? (3)设 a ? ( f (x ? ),1 ) ,b ? (m, cos x ? 3) , x ? R ,若函数 g ? x ? ? a ? b 存在零点,求实数 m 6
(2)若 f ( 的取值范围.

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