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指数函数与对数函数 学业分层测评(19)对数函数的概念 对数函数y=log2x的图像和性质 北师大版必修


【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学 第三章 指数函数与对数函 数 学业分层测评(19)对数函数的概念 对数函数 y=log2x 的图像 和性质 北师大版必修 1
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1.函数 y= log2x-2的定义域是( A.(3,+∞) C.(4,+∞)
? ?log2 x-2≥0, 【解析】 由题意得? ?x>0, ?

) B.[3,+∞) D.[4,+∞)

解得 x≥4. 【答案】 D
? ? ?1?x 2.设集合 M=?y|y=? ? ,x∈[0,+∞??,N={y|y=log2x,x∈(0,1]},则集合 M∪N ?2? ? ?

等于(

) B.[0,+∞) D.(-∞,0)∪(0,1)

A.(-∞,0)∪[1,+∞) C.(-∞,1] 【解析】 M=(0,1],N=(-∞,0], 因此 M∪N=(-∞,1]. 【答案】 C

3.已知函数 f(x)=a (a>0,a≠1)的反函数为 g(x),且满足 g(2)<0,则函数 g(x+1) 的图像是下图中的( )

x

【解析】 由 y=a 得 x=logay, ∴g(x)=logax. 又 g(2)<0,∴0<a<1,∴g(x+1)=loga(x+1)是递减的,并且是由函数 g(x)=logax 向 左平移 1 个单位得到的. 【答案】 A
1

x

4.(2016·南安高一检测)已知函数 f(x)=loga(2x-1)(a>0,a≠1)的图像恒过定点 P, 则 P 点的坐标是( A.(0,1) ) B.(1,0) D.(1,1)

?1 ? C.? ,0? ?2 ?
定点(1,0). 【答案】 B

【解析】 由对数函数的图像知,当 2x-1=1 即 x=1 时,不论 a 取何值,y=0,即过

?1 ? 5.函数 y=log2x,x∈? ,4?的值域为( ?4 ?
A.[2,4] C.[-2,2]

) B.[-1,2] D.[-2,1]

1 1 【解析】 因为 ≤x≤4,故 log2 ≤log2x≤log24,故-2≤log2x≤2. 4 4 【答案】 C 二、填空题

? 1? 6.若函数 y=logax 的反函数过点?2, ?,则 a=________. ? 4? ? 1? 【解析】 函数 y=logax 的反函数过点?2, ?, ? 4? ?1 ? 则函数 y=logax 过点? ,2?, ?4 ?
1 1 1 2 则 loga =2,即 a = ,a= . 4 4 2 【答案】 1 2
x

7.函数 y=log(x+1)(16-4 )的定义域为________. 16-4 >0, ? ? 【解析】 由?x+1>0, ? ?x+1≠1,
x

x<2, ? ? 得?x>-1, ? ?x≠0,

∴所求函数定义域为{x|-1<x<0 或 0<x<2}. 【答案】 {x|-1<x<0 或 0<x<2} 8.函数 f(x)=log2x 在区间[a,2a](a>0)上最大值与最小值之差为________. 【解析】 ∵f(x)=log2x 在区间[a,2a]上是增函数, ∴f(x)max-f(x)min=f(2a)-f(a)= log2(2a)-log2a=1.

2

【答案】 1 三、解答题 9.求下列函数的定义域: (1)y=log3(1-x); (2)y= 1 ; log2x 1 . 1-3x

(3)y=log7

【解】 (1)∵当 1-x>0,即 x<1 时,函数 y=log3(1-x)有意义, ∴函数 y=log3(1-x)的定义域为(-∞,1). (2)由 log2x≠0,得 x>0 且 x≠1. ∴函数 y= 1 的定义域为{x|x>0 且 x≠1}. log2x

1 1 (3)由 >0,得 x< , 1-3x 3 1? 1 ? ∴函数 y=log7 的定义域为?-∞, ?. 3? 1-3x ? 10.已知 f(x)=log3x. (1)作出这个函数的图像; (2)若 f(a)<f(2),利用图像求 a 的取值范围.

【解】 (1)作出函数 y=log3x 的图像如图所示. (2)由图像知:当 0<a<2 时,恒有 f(a)<f(2). ∴所求 a 的取值范围为(0,2). [能力提升] 1.函数 y=2+log2x(x≥1)的值域为( A.(2,+∞) C.[2,+∞) ) B.(-∞,2) D.[3,+∞)

【解析】 因为 x≥1,故 log2x≥log21=0,故 2+log2x≥2, 故函数 y=2+log2x 的值域为[2,+∞). 【答案】 C 2.已知 a>0,且 a≠1,则函数 y=a 与 y=loga(-x)的图像只能是(
x

)
3

【解析】 若 0<a<1,则函数 y=a 的图像下降且过点(0,1),函数 y=loga(-x)的图像 上升且过点(-1,0),以上图像均不符合,若 a>1,y=a 图像上升且过(0,1),y=loga(-x) 的图像下降且过(-1,0). 【答案】 B
?2 , x≤1, ? 3 . 设 函 数 f(x) = ? ? ?1-log2x, x>1,
1-x

x

x

则 满 足 f(x)≤2 的 x 的 取 值 范 围 是

________. 【导学号:04100062】 【解析】 当 x≤1 时,由 2
1-x

≤2,得 1-x≤1,解得 x≥0,故 0≤x≤1;

1 当 x>1 时,由 1-log2x≤2,得 log2x≥-1,解得 x≥ ,故 x>1. 2 综上 x≥0. 【答案】 [0,+∞) 4.已知函数 y=log2x 的图像,如何得到 y=log2(x+1)的图像,y=log2(x+1)的定义 域与值域是多少?与 x 轴的交点是什么? 左移1个单 【解】 y=log2x ― ― → y=log2(x+1),如图. 位

定义域为(-1,+∞),值域为 R, 与 x 轴的交点是(0,0).

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