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2014年云南省第二次高中毕业生复习统一检测文科数学标准word版(含答案及评分标准)


绝密★启用前 【考试时间:4 月 17 日 15:00— 17 :00】

2014 年云南省第二次高中毕业生复习统一检测

文科数学
注意事项: 1.本试卷分第 1 卷(选择题)和第 1I 卷(非选择题)两部分.答题前,考生务必用黑色碳素笔 将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上,并认真核准条形码上的准考证 号、姓名、考场号、座位号及科目,在规定的位置贴好条形码. 2.回答第 1 卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动, 用橡皮擦擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效. 3.回答第 II 卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效. 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第Ⅰ 卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的。 (1)已知 i 是虚数单位,如果 (A) ?

2?i 3 ? ? bi ,那么实数 b 等于( B ) 1? i 2
(C)1 (D)

3 2

(B) ?
2

1 2

3 2

(2)已知函数 f ( x) ? cos 3 x ? (A)

1 ,则 f ( x ) 的图像的相邻两条对称轴之间的距离等于( C ) 2
(C)

2? 3

(B)

? 3

? 6

(D)

? 12

(3)某公司一共有职工 200 人,其中老年人 25 人,中年人 75 人,青年人 100 人,有关部分为研究 老年人、中年人、青年人对公司发展的态度问题,现在用分层抽样的方法从这个公司抽取 m 人进行 问卷调查,如果抽到老年人 3 人,则 m =( C ) (A)16 (B)20 (C)24 (D)28

l xg l? (4) “g

y ”是“ x ? y ”的( A )
(B)必要但不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(A)充分但不必要条件 (C)充要条件

(5)已知等比数列 {an} 的前 n 项和为 Sn , a4 ? a1 ? 78 , S3 ? 39 ,设 bn ? log 3 an ,那么数列 {bn} 的前 10 项和为( D ) (A) log3 71 (B)

69 2

(C)50

(D)55

(6)已知函数 f ( x) ? ? x3 ? x2 ? ax ? 1 是 (?ゥ, ? ( A ) (A) [ , ?? )

) 上的单调递减函数,则实数 a 的取值范围为

1 3

(B) ( ?? , ]

1 3

(C) [?3, ?? )

(D) (?? , ? ]

1 3

(7)已知数列 {an} 的前 n 项和 Sn ,若 a1 ? 2 , Sn ? an?1 ? n ? 2 ,则 a6 =( D ) (A)36 (B)54 (C)75 (D)95

(8)如果一个圆台的正视图是上底等于 2,下底等于 4,高等于 2 的等腰梯形,那么这个圆台的侧 面积等于( D ) (A)6 (B) 6? (C) 3 5 (D) 3 5?

(9) 已知平面向量 a 与 b 的夹角等于 (A) 57 (B) 61

? , 若 a ? 2 ,b ? 3 , 则 2a ? 3b = ( B ) 开始 3
(C)57 (D)61

a ?1 a ? 2a ? 1


(10)如果执行如图所示的程序框图,那么输出的结果 a =( C ) (A)199 (C)127 (B)135 (D)101

a ? 100?


输出 a

结束

b x2 y 2 (11)已知方程为 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0 )的椭圆 E 与直线 x ? 相交于 A、B 两点,O 是坐标原 2 a b
点, 如果△AOB 的面积等于

8 21 4 ( , ) , 点0 5
(C)

是椭圆 E 的一个顶点, 那么椭圆 E 的离心率等于 ( A )

(A)

3 5

(B)

3 4

3 3

(D)

3 2

?x ? 0 y?2 ? (12)已知 x 、 y 满足约束条件 ? y ? 0 ,则 的最大值是( B ) x ?1 ?x ? y ? 1 ?
(A)4 (B)3 (C)2 (D)1

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. (13)春节期间,某销售公司每天销售某种取暖商品的销售额 y (单位:万元)与当天的平均气温 x (单位:° C)有关,现收集了春节期间这个销售公司 4 天的 x 与 y 的数据列于下表: 平均温度(° C) 销售额(万元) -2 20 -3 23 -5 27 -6 30

根据以上数据,用线性回归的方法,求得 y 与 x 之间的线性回归方程 y ? bx ? a 的系数 b ? ? 则a=

12 , 5

77 5

(14)已知 e 是自然对数的底数,如果函数 f ( x) ? ( x2 ? ax ? 5)ex 在 (?ゥ, ? 数 a 的取值范围为 (?ゥ, ?4)

) 上有极值,那么实

(4, ?

)

3 x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,如果 y ? x 是双曲线 S 的一条渐进性,那么 (15)已知双曲线 S 与椭圆 4 9 34
双曲线 S 的方程为

y 2 x2 ? ?1 9 16
125? ,如果长方体的八个顶点都在球 O 的球面上,那么这个长方体的 6
.

(16)已知球 O 的体积等于 表面积的最大值等于

50

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17) (本小题满分 12 分) 在△ABC 中,三个内角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c,cosA ? (Ⅰ)求 A+C 的值; (Ⅱ)设 a ? 3 ,求证:△ABC 的面积等于 3. (Ⅰ)解:∵ a ? b ? c ?
2 2 2

2 5 10 2 2 2 ,a ?b ?c ? ab . 5 10

2 5 a 2 ? b2 ? c 2 5 ab ,∴ cos C ? ? 5 2ab 5

∵ cos A ? ∴ sin A ?

5 10 , cos C ? ,A、B、C 是△ABC 的内角, 5 10 3 10 2 5 ,sin C ? ?????????????????????????2 分 10 5

∴ cos(A? C ) ? cos A cos C ? sinAsinC ?

10 5 3 10 2 5 2 ,????4 分 ? ? ? ?? 10 5 10 5 2
3? ??????????6 分 4

又∵A、B、C 是△ABC 的内角,∴ 0 ? A ? C ? ? .∴ A ? C ? (Ⅱ)证明:∵A、B、C 是△ABC 的内角, A ? C ?

3? ? ,∴ B ? .????????8 分 4 4



b a a 10 2 ? 得b ? ? sin B ? 3 ? ? ? 5. sin B sin A sin A 3 10 2

∴△ABC 的面积 S ?

1 1 2 5 ab sin C ? ? 3 ? 5 ? ? 3 .??????????????12 分 2 2 5

(18) (本小题满分 12 分) 设 N ? 是正整数集, A ? {x | x ? N? ,3x ? 4 ? x2} , B ? {x | x ? N ? ,

3x ? 11 ? 2} , x?2

C ? {( x, y) | x ? A, y ? B} ,在集合 C 中随机取出一个元素 ( x, y ) .求:
(Ⅰ)取出的元素是 (3,3) 或 (3, 4) 的概率; (Ⅱ) x ? y ? 6 的概率. 解: 根据已知得 A ? {x | x ? N? ,3x ? 4 ? x2} ? {1,2,3} , 由 ∴ B ? {x | x ? N ? ,

3x ? 11 x?7 ?2得 ? 0, 解得 2 ? x ? 7 . x?2 x?2

3x ? 11 ? 2} ? {3, 4,5,6,7} ????????????????????4 分 x?2

∴集合 C 中的元素为: (1,3) , (1,4) , (1,5) , (1,6) , (1,7) , (2,3) , (2,4) , (2,5) , (2,6) , (2,7) , (3,3) , (3,4) , (3,5) , (3,6) , (3,7)共有 15 个???????????????6 分 (Ⅰ)∵(3,3) 、 (3,4)都在集合 C 中,集合 C 中共有 15 个元素, ∴在集合 C 中随机取出一个元素 ( x, y ) ,取出的元素是 (3,3) 或 (3, 4) 的概率等于

2 .???9 分 15

(Ⅱ)∵在集合 C 的元素 ( x, y ) 中,满足 x ? y ? 6 的有(1,3) , (1,4) , (1,5) , (2,3) , (2,4) , (3,3)一共有 6 个,∵

6 2 ? , 15 5 2 .???????????12 分 5

∴在集合 C 中随机取出一个元素 ( x, y ) , x ? y ? 6 的概率等于

(19) (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 P-ABC 中,底面 ABC 是边长为 4 的正三角形, PA ? PC ? 2 3 , 侧面 PAC⊥底面 ABC,M、N 分别为 AB、PB 的中点. (Ⅰ)求证: AC ? PB ; (Ⅱ)求空间几何体 PAMNC 的体积. (Ⅰ)证明:取 AC 的中点 O,连结 OP,OB. ∵PA=PC,AB=CB,∴AC⊥PO,AC⊥OB.??????3 分 又∵ PO

P

C O A

N

OB ? O ,∴AC⊥平面 POB

∵PB ? 平面 POB, ∴AC⊥PB.??????????????????6 分 (Ⅱ)解:∵平面 PAC⊥平面 ABC=AC,PO⊥AC, ∴PO⊥平面 ABC,即点 P 到平面 ABC 的距离等于 PO 由题意得 PO ?

M

B

1 8 6 ????????10 分 PA2 ? AO2 ? 2 2 .∴ VP ? ABC ? S?ABC ? PO ? 3 3
PO ? 2 2

由 N 是 PB 的中点和题意得 N 到平面 ABC 的距离等于

∴ VN ?MBC ?

1 PO 2 6 S?MBC ? ? 3 2 3

∴几何体 PAMNC 的体积 V ? VP? ABC ? VN ?MBC ? 2 6 ????????????????12 分

(20) (本小题满分 12 分) 已知抛物线 C 的顶点是原点,焦点在 y 轴正半轴上,经过点 P(0, 4) 作直线 l ,如果直线 l 与抛物线 C 相交于两点,设为 A、B,那么以 AB 为直径的圆经过原点. (Ⅰ)求抛物线 C 的方程; (Ⅱ)若直线 l 与直线 6 x ? 3 y ? 2 ? 0 平行, l 与抛物线 C 交于点 D、E 两点,求以 DE 为直径的圆 的方程.
2 解(Ⅰ)设抛物线 C 的方程为 x ? 2 py ( p ? 0 ) ,直线 y ? 4 经过点 P (0, 4) ,与抛物线 C 交于两

点,设为 A、B,且 A ( x1,4) ,B ( x2 ,4) ,根据已知,以 AB 为直径的圆经过原点. ∵ OA ? ( x1,4) , OB ? ( x2 ,4) , ∴ OA ? OB ? x1x2 ? 16 ? 0 ????????????????????????4 分

由?

?y ? 4 ? x ? 2 py
2

,得 x2 ? 8 p ? 0 .

∴ x1x2 ? ?8 p .∴ x1x2 ? 16 ? ?8 p ? 16 ? 0 ,∴ p ? 2 , ∴抛物线 C 的方程为 x2 ? 4 y ??????????????????????6 分 (Ⅱ)∵直线 l 与直线 6 x ? 3 y ? 2 ? 0 平行, ∴直线 l 的斜率等于 2. ∴直线 l 的方程为 y ? 2 x ? 4 ,??????????????????????8 分 设 D( x3 ,2 x3 ? 4) , E( x4 ,2 x4 ? 4) ,则 DE 的中点为 M (

x3 ? x4 , x3 ? x4 ? 4) , 2

? y ? 2x ? 4 2 DE ? 5 ( x3 ? x4 ) 2 ? 4 x3 x4 ,由 ? 2 得 x ? 8x ? 16 ? 0 . ?x ? 4 y
∴?

? x3 ? x4 ? 8 2 ,∴ M (4,12) , DE ? 5 ( x3 ? x4 ) ? 4 x3 x4 ? 8 10 ????10 分 ? x3 x4 ? ?16

∴以 DE 为直径的圆的方程为 ( x ? 4)2 ? ( y ?12)2 ? 160 ???????????12 分

(21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? x ? a ln x ?1 ,函数 F ( x) ?
2

x ?1 . x ?1

(Ⅰ)如果函数 f ( x ) 的图像上的每一点处的切线斜率都是正数,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ) 当 a ? 2 时, 你认为函数 y ? 论.
2 解(Ⅰ)∵ f ( x) ? x ? a ln x ?1 的定义域为 (0, ?? ) ,

f ( x) 的图象与 y ? F ( x) 的图象有多少个公共点?请证明你的结 x ?1

函数 f ( x ) 的图象上的每一点处的切线斜率都是正数, ∴ f ?( x) ? 2 x ?
2

a ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立.????????????????????2 分 x

2 ∴ a ? 2 x 在 (0, ?? ) 上恒成立.∵ y ? 2 x ? 0 在 (0, ?? ) 上恒成立,∴ a ? 0

∴所求的 a 的取值方位为 (?? ,0] .????????????????????????6 分 (Ⅱ)当 a ? 2 时,函数 y ?

f ( x) 的图象与 y ? F ( x) 的图象没有公共点. x ?1

f ( x) x 2 ? 2ln x ? 1 ? 理由: 当 a ? 2 时,y ? , 它的定义域为 x ? 0且x ? 1 ,F ( x) 的定义域为 x ? 0 . x ?1 x ?1

当 x ? 0且x ? 1 时,由

f ( x) ? F ( x) 得: x2 ? 2ln x ? x ? 2 x ? 2 ? 0 .?????????8 分 x ?1

设 h( x) ? x2 ? 2ln x ? x ? 2 2 ? 2 ,则 h?( x) ? 2 x ?

2 1 ( x ? 1)(2 x x ? 2 x ? x ? 2) ?1 ? ? x x x

∴当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,此时, h( x) 单调递减; 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 ,此时, h( x) 单调递增. ∴当 a ? 2 , x ? 0且x ? 1 时, 即当 a ? 2 时,函数 y ?

f ( x) ? F ( x) 无实数根, x ?1

f ( x) 的图象与 y ? F ( x) 的图象没有公共点.????????12 分 x ?1

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.作答时用 2B 铅笔在 答题卡上把所选题目的题号涂黑. (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 已知:如图,AB 是⊙O 的直径,AC 与⊙O 相切于点 A,且 AC=AB,CO 与⊙O 相交于点 P,CO 的 延长线与⊙O 相交于点 F,BP 的延长线与 AC 相交于点 E.

AP FA ? (Ⅰ)求证: PC AB
(Ⅱ)设 AB=2,求 tan ?CPE 的值.

B

F O P E C

解: (Ⅰ)证明: 又

AC 与 O 相切于点 A , PA 为 O 的弦,

? ?PAC ? ?F .
?C ? ?C , ? ?APC ∽ ?FAC .???3 分 AP PC ? . ? FA AC AP FA ? . ? PC AC AB ? AC , AP FA ? . ?????????5 分 ? PC AB
(Ⅱ)解:

A

AC 与 O 相切于点 A , CPF 为 O 的切线,

? AC2 ? CP ? CF ? CP ? ?CP ? PF ? .
PF ? AB ? AC ? 2 ,

? CP ? ?CP ? 2? ? 4 ,即 CP2 ? 2CP ? 4 ? 0 .
解得 CP ? ?1 ? 5 .

CP ? 0 ,? CP ? 5 ?1 .
根据已知得 ?FAP 是以 FP 为斜边的直角三角形. 由(Ⅰ)知:

AP FA ? , AB ? 2 . PC AB

?

AP PC ? . FA AB

? tan ?F ?


AP PC 5 ?1 . ???????????8 分 ? ? FA AB 2

O 中,直径 AB 与直径 FP 相交于点 O , ? OA ? OF . ? ?OAF ? ?F . 又 ?B ? ?F , ? ?OAF ? ?B . ? FA / / BE . ? ?CPE ? ?F .

? tan ?CPE ? tan ?F ?

5 ?1 . ???????????10 分 2

(23) (本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

? x ? 3 cos ? ? 已知曲线 C 的参数方程为 ? , ( ? 为参数) ,以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴建 ? y ? 3sin ? ?
立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos(? ? (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 M 是曲线 C 上的点,求 M 到直线 l 的距离的最大值. 解: (Ⅰ)

?
6

) ? 1.

? x ? 3 cos ? ? , ? ? ? y ? 3sin ?

?

x2 y 2 ? ? 1. 3 9

?曲线 C 的直角坐标方程为
(Ⅱ)

x2 y 2 ? ? 1. 3 9

???????????3 分

? cos ? ? ?

? ?

??

? ? ? ? 1 ,? ? cos ? cos 6 ? ? sin ? sin 6 ? 1 . 6?
3 y x ? ? 1 ,即 3x ? y ? 2 ? 0 . ????????6 分 2 2

?直线 l 的直角坐标方程为
设M

?

3 cos ? ,3sin ? , M 到直线 l 的距离为 d ,则

?

?? ? 3 2 cos ? ? ? ? ? 2 3cos ? ? 3sin ? ? 2 ?4 ? d? ? , 2 2
当 3 2 cos ?

3 2 ?2 ?? ? . ? ? ? ? ?3 2 时, d 的最大值为 2 ?4 ?
3 2 ?2 . ???????????10 分 2

?M

到直线 l 的距离的最大值等于

(24) (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 1 ? x 2 (Ⅰ)设 x1 、 x2 都是实数,且 x1 ? x2 ,求证: f ( x2 ) ? f ( x1) ? x2 ? x1 ; (Ⅱ)设 a、b 都是实数,且 a ? b ?
2 2

1 ,求证: f (a) ? f (b) ? 5 2
, ???????????2 分

证明: (Ⅰ)

f ? x2 ? ? f ? x1 ? ?

x1 ? x2 x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2



2 ? x1 ? x2 , x1 ? x2 ? x1 ? x2 , 1 ? x12 ? 1 ? x2

?


x1 ? x2
2 1 ? x12 ? 1 ? x2

? 1.

x1 ? x2 ,
???????????5 分
2

? f ? x2 ? ? f ? x1 ? ? x2 ? x1 .
(Ⅱ)

2 2 2 2 ? ?1? f ? a ? ? 1? f ? b ? ? ? ? ?1 ? 1 ? ? ? f ? a ? ? f ?b ?? ?,

即? ? f ? a ? ? f ? b ?? ? ? 2 a ?b ?2 ,
2 2 2

?

?



f ? x ? ? x2 ? 1 ? 0 , a 2 ? b2 ?

1 , 2

? f ? a ? ? f ?b? ? 5 .

???????????10 分

请注意:以上参考答案与评分标准仅供阅卷时参考,其他请参考评分标准酌情给分.


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