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中山市龙山中学2013届高一上学期第一次段考(数学)


中山市龙山中学 2013 届高一上学期第一次段考 数学试卷
一、 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 1、已知全集 U ? {0,1, 2,3, 4} ,集合 A ? {1, 2,3} , B ? {2, 4} ,则 ? CU A? ? B 为 A.{1,2,4} B.{2,3,4} C.{0,2,4} D.{0,2,3,4}

2、下列四组对应中,按照某种对应法则 f,能构成从 A 到 B 的映射的是

3.函数 f ( x) ? A. [?1, ??)

1 ? x ? 1 的定义域是 1? x
B. [?1,1) ? (1, ??) C. (1, ??) D. (??, ??)

? x2 ? 1 x ? 1 ? 4、设函数 f ( x) ? ? 2 , 则 f ( f (3)) ? x ?1 ? ?x
A.

1 5

B.3

C.

2 3

D.

13 9

5.下列函数与 y ? x 有相同图象的一个函数是 A. y ? log2 2
x

x2 B. y ? x

C. y ? 2

log 2 x

D. y ?

x2

6.若偶函数 f ( x ) 在区间 [1,3] 上是增函数且最小值为 5 ,则 f ? x ? 在区间 ??3, ?1? 上是 A.增函数且最大值为 ?5 C.减函数且最小值为 5 B.增函数且最小值为 ?5 D.减函数且最大值为 5

7.下列所给的 4 个图象为离开家的距离 y 与所用时间 t 的函数关系

给出下列 3 个事件:

(1)把作业本忘在里了,于是立刻返回里取了作业本再去上学; (2)骑着车一路以常速行驶,只是在途中遇到一次交通堵塞,耽搁了一些时间; (3)出发后,心情轻松,缓缓行进,后来为了赶时间开始加速. 其中事件(1) (2) (3)与所给图象吻合最好是 A.④①② B.③①② C.②①④ D.③②①

8.若二次函数 y ? 3x 2 ? 2(a ? 1) x ? b 在区间 (??,1] 上为减函数,那么 A. a ? 4
3

B. a ? ?2

C. a ? 4

D. a ? ?2

ab 2 ? a3b 2
4

9、化简
3

? 1 1? b ? ? a 6b 2 ? ? ?
b a

(a, b 为正数)的结果是

A.

B. ab

C.

a b

D. a b

2

10、经全国人大常委会批准,自 2011 年 9 月 1 日起我国实行新的《中华人民共和国所得税 法》 ,新法规定:个人工资、薪金所得,以每月收入额减除费用 3500 元后的余额,为全 月应纳税所得额,且税率也作了调整,调整后的部分税率见《中华人民共和国个人所得 税税率表》 . 中华人民共和国个人所得税税率表 级数 1 2 3 4 全月应纳税所得额 不超过 1500 元的 超过 1500 元至 4500 元的部分 超过 4500 元至 9000 元的部分 … 税率(%) 3 10 20 …

某人在 10 月份上交的个人所得税是 223.8 元,则他该月的总收入是 A.5788 元 B.6788 元 C.7788 元 D.8788 元

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 11、已知集合 A ? ?1,3, m? , B ? ?3,4? , A

? B ? ?1, 2,3, 4?则 m ?

12、函数 f ( x ) ? ? x= 。

? ?2 x ( x ? 0)
2 ? x ? 1( x ? 0)

,则 f [ f (?2)] ?

;若 f ( x) ? 10 ,则

?1? 13、已知函数 f ( x) ? 4- ? ? ?2?

3? x

的定义域为集合 M , 集合B

? ? x | x ? M 且x ? N *?

用列举法表示集合 B ? ________________. 14、已知函数 f ( x) ? lg x ,若 f (ab) ? 1 ,则 f (a5 ) ? f (b5 ) ? _________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。 15、 (本题满分12分)化简下列式子
1 5 1 1 ? 2 1?? ? 3 2 4 6 (1) ? 2a b ?? ? 3a b ? ? 3a 6 b 6 ? ? ?? ? 2

(2)

lg8 ? lg125 ? lg 2 ? lg 5 ? log5 4 ? log 4 5 ? log 0.5 1 lg 10 ? lg 0.1

16. (本小题满分 12 分) 设集合 A ? {x | ?1 ? x ? 3} , B ? {x | 4 (1)求 A ? B ; (2)求 A ? (CR B) ; (3)若 B ? C ? C ,求实数 a 的取值范围.
2 x ?4

? 4x?2} , C ? {x | x ? a ? 1} 。

17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x ) ? ax ? (1)求 a 、 b 的值; (2)判断函数 f ( x ) 的奇偶性; (3)判断 f ( x ) 在 (1, ??) 上的单调性并加以证明。 18.(本小题满分 14 分) 已知二次函数 f ( x) ? x ? bx ? c
2

b 5 ,且 f (1) ? 2 , f (2) ? x 2

(1)若 f ( x ? 1) ? f ( x) ? 2 x ,且 f (0) ? 1 .

求 f ( x ) 的解析式,并求 f ( x ) 在区间 [0, 2] 上的最大值与最小值。 (2)若 y ? f ( x) ? 2 x 在 ?5, 20 ? 上具有单调性,求实数 b 的范围 ? ?

19.(本小题满分 14 分)。 已知 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ? m 。 (1)求 m 及 f (?3) 的值; (2)求 f ( x ) 的解析式并画出简图; (3)写出 f ( x ) 的单调区间(不用证明) 。

y

x O

20.(本小题满分 14 分)。 定义在 ? ?4, 4 ? 上的函数 f (x) ,对任意的实数 x, y ? ? ?4,4? , 恒有 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且当 x ? 0 时, f ( x) ? 0 (1)并 f (0) 的值,并证明: f (x) 为奇函数; (2)求证: f (x) 在 ? ?4, 4 ? 上是减函数; (3)解关于 t 的不等式 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0

参考答案
题号 答案 11、2 1 C 2 D 3 B 4 D 5 A 6 C 7 A 14、 5 8 B 9 C 10 B

12、 17 ; ?5 或 3

13、 ?1,2,3,4,5?

15 题: (本题满分 12 分)
1 5 1 1 ? 2 1?? ? (1) ? 2a 3 b 2 ?? ? 3a 4 b 6 ? ? 3a 6 b 6 ? ? ?? ? 1 5 1 1 ? 2 1? ? ? 2a 3 b 2 ? (3a 2 b 3 ) ? 3a 6 b 6 ? ? 2

…………………………6 分

2 ? 3 2 ? 1 ?1 1 ?1?5 ? a 3 2 6 b 2 3 6 ? 2a 3

lg 8 ? lg125 ? lg 2 ? lg 5 (2) ? log 5 4 ? log 4 5 ? log 0.5 1 lg 10 ? lg 0.1 = lg ? 8 ?125 ? ? lg ? 2 ? 5 ? lg ?10 ? ? lg10?1 lg103 ? lg10 lg ?10 ? ? lg10?1
1 2 1 2

?

lg 5 lg 4 ? ?0 lg 4 lg 5

……………………12 分



?1 ?

3 ?1 ? 1 ? ?4 ? 1 ? ?5 1 ? 2

16 题: (本题满分 12 分) 解: (1) 4
2 x ?4

? 4 x ?2 ? 2 x ? 4 ? x ? 2 ? x ? 2
……………2分 …………………………………4分 ………………………………………6分 ………………………………………8分

B ? {x | x ? 2}
∴ A ? B ? {x | x ? ?1} (2)∵ CU B ? {x | x ? 2} ∴ A ? (CU B) ? {x | ?1 ? x ? 2} (3)∵ B ? C ? C ,∴ B ? C ∴ a ? 1 ? 2 ,∴ a ? 3 17(本小题满分 14 分)

……………………………12分

? f (1) ? a ? b ? 2 ? (1)依题意有 ? b 5, ? f (2) ? 2a ? 2 ? 2 ?
得?

……………2分

?a ? 1 ?b ? 1

……………………………………………4分

1 的定义域为 (??,0) ? (0, ??) 关于原点对称, ……………5分 x 1 ∵ f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x) ∴函数 f ( x ) 为奇函数。 ……7 分 x
(2) f ( x) ? x ? (3)设 x1 , x2 ? (1, ??) ,且 x1 ? x2 ……………………………………………8分

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? ? x1 ? x2 ? x2 ? x1 x1 x2 1 ) x1 x2

1 1 ? x2 ? x1 x2

? ( x1 ? x2 )(1 ? ?

( x1 ? x2 )( x1 x2 ? 1) x1 x2

…………………………………………………………………………………………11 分 ∵ x1 , x2 ? (1, ??) ,且 x1 ? x2 ∴ x1 ? x2 ? 0 , x1 x2 ? 1 , x1 x2 ? 1 ? 0 ∴ f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ∴ f ( x ) 在 (1, ??) 上是增函数。 ……………………………………………12 分 ……………………………………………13 分 ……………………………………………14分

18 题 (本小题满分 14 分) 解: (1)∵ f (0) ? 1 ,∴ c ? 1 , ∴ f ( x) ? x ? bx ? 1
2

………………………1 分

∴ f ( x ? 1) ? f ( x) ? ( x ? 1) ? b( x ? 1) ? 1 ? x ? bx ?1 ? 2x ? b ? 1 ? 2 x ……………3分
2 2

∴ b ? ?1 ∴ f ( x) ? x ? x ? 1
2

……………………………………………5分

(2) f ( x) ? x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2 2

1 2

3 4

…………………………………………6分

∵ x ? [0, 2] ,∴ f ( x ) 在 [0, ] 上是减函数,在 [ , 2] 上是增函数 又 f (2) ? 3 > f (0) ? 1 ∴ f ( x) max ? f (2) ? 3, f ( x) min ? f ( ) ?

1 2

1 2

1 2

3 。 4

………………………10分

(3) y ? f ( x) ? 2 x ? x2 ? (b ? 2) x ? c ,从而该函数的对称轴方程为 x ? 分 当函数在 ?5, 20? 上为单调递增时,则 x ?

2?b ………11 2

2?b ? 5 ,从而 b ? ?8 ……………12分 2 2?b ? 20 ,从而 b ? ?38 ……………13分 当函数在 ?5, 20? 上为单调递减时,则 x ? 2
综上得: b 的取值范围是 ? ??, ?38? ? ??8, ??? ………14 分

f ( x) 的图象如下图

………10 分

(3)由 f ( x ) 的图象可知: f ( x ) 的增区间为 (??, ?1],[1, ??) ,减区间为 [?1,1] …14 分

20 题(本小题满分 14 分) (1) 、令 x ? y ? 0 ,得 f (0) + f (0) = f (0) ,所以 f (0) =0。------2 分 令 y ? ? x , 得 f ( x) ? f (? x) ? f (0) ? 0 ,所以 f (? x) ? ? f ( x) , 所以 f (x) 为奇函数。------5 分 (2)任取 x1, x2 ? ? ?4,4? , 且x1 ? x2 ,则 x2 ? x1 ? 0 . 因为 x ? 0 有 f (x) <0, 所以 f ( x2 ? x1 ) ? 0 。

f ( x2 ? x1 ) ? f ( x2 ) ? f (? x1 ) ? f ( x2 ) ? f ( x 1) ? 0
所以 f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,所以 f (x) 在 ? ?4, 4 ? 上是减函数;------9 分

(3)∵ f (x) 是定义在 ? ?4, 4 ? 上的奇函数 ∴由 f (t ? 1) ? f (t ) ? 0 得: f (t ) ? ? f (t ? 1) ? f (1 ? t ) -----11 分 又∵ f (x) 在 ? ?4, 4 ? 上是减函数

? ?4 ? t ? 4 ? ∴ ? ?4 ? 1 ? t ? 4 ,-----13 分 ?t ? 1 ? t ?
解得

1 ?t?4 2

即不等式的解集为 ?

?1 ? , 4 ? ------------------14 分 ?2 ?


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