当前位置:首页 >> 数学 >> 2015-2016学年上海实验学校高一(上)期末数学试卷

2015-2016学年上海实验学校高一(上)期末数学试卷


2014-2015 学年上海实验学校高一(上)期末数学试卷
一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分)函数 2. (4 分)若函数
x

的定义域是

. . .

在(﹣2,4)上的值域为

3. (4 分)若函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的反函数的图象过点(2,﹣1) ,则 a= 4. (4 分)函数 在(0,+∞)上取最小值时的 x 的值为
2



5. (4 分)方程 lg(x+1)+lg(x﹣2)=lg(16﹣x﹣x )的解是 x= 6. (4 分)函数 的反函数是 .



7. (4 分)若 f(x)是 R 上的奇函数,且当 x≥0 时, 是 .

,则 f(x)的值域

8. (4 分)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的

实根,则实数 k 的取值范围是


x 2

9. (4 分) 已知实数 a>0, 函数 ( f x) =a +logax 在[1, 2]上最大值和最小值之差为|a ﹣a|+1, 则实数 a 的值为 . 10. (4 分)关于函数 f(x)= ,给出下列四个命题:

①当 x>0 时,y=f(x)单调递减且没有最值; ②方程 f(x)=kx+b(k≠0)一定有解; ③如果方程 f(x)=k 有解,则解的个数一定是偶数; ④y=f(x)是偶函数且有最小值, 则其中真命题是 . (只要写标题号) 二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 2 11. (4 分)“a=﹣3”是“函数 y=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上单调递减”的( A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 12. (4 分) 如图是函数 (m, n∈N , m, n 互质) 的图象, 则下述结论正确的是 (
*





第 1 页(共 19 页)

A.m,n 是奇数,且 m<n B.m 是偶数,n 是奇数,且 m>n C.m 是偶数,n 是奇数,且 m<n D.m 是奇数,n 是偶数数,且 m>n 13. (4 分)已知 x0 是函数 f(x)=2 +
x

的一个零点.若 x1∈(1,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,

则( ) A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 C.f(x1)>0,f(x2)< 0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 ﹣x x 14. (4 分)若函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上既是奇函数,又是减函 数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是( )

A.

B.

C.

D. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 64 分) 15. (10 分)已知 A={x||x﹣a|<1}, 围. 16. (10 分)已知函数 f(x)=lg(x+1) (1)当 x∈[1,9]时,求函数 f(x)的反函数; (2)若 0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求 x 的取值范围. 17. (12 分)设 是 R 上的奇函数 ,且 A∪B=B,求实数 a 的取值范

(1)求实数 a 的值; (2)判定 f(x)在 R 上的单调性并证明; 2 (3)若方程 f(x ﹣2x﹣a)=0 在(0,3)上恒有解,求实数 a 的取值范围. 18. (12 分)对于函数 f1(x) ,f2(x) ,h(x) ,如果存在实数 a,b 使得 h(x)=a?f1(x) +b?f2(x) ,那么称 h(x)为 f1(x) ,f2(x)的生成函数. (1)下面给出两组函数,h(x)是否分别为 f1(x) ,f2(x)的生成函数?并说明理由; 第一组:f1(x)=lg
2

,f2(x)=lg(10x) ,h(x)=x ﹣x+1;
2 2

2

第二组:f1(x)=x ﹣x,f2(x)=x +x+1,h(x)=x ﹣x+1; 2 (2)设 f1(x)=log2x; x,a=2,b=1 生成函数 h(x) ,若不等式 3h (x)+2h (x)+t≤0 在 x∈[2,4]上有解,求实数 t 的取值范围;
第 2 页(共 19 页)

(3)设 f1(x)=x(x>0) ,f2(x)=

,取 a>0,b>0,生成函数 h(x)图象的

最低点为(2,8) ,若对于任意的正实数 x1,x2,且 x1+x2=1,试问是否存在最大的常熟 m, 使 h(x1)h(x2)≥m 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由. 19. (10 分)已知集合 M={f(x)|在定义域内存在实数 x0,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1) 成立}. (1)函数 f(x)= 是否属于集合 M?说明理由. (2)证明:函数 f(x)=2 +x ∈M. (3)设函数 f(x)=lg 20. (10 分)已知 f(x)=x+ ∈M,求实数 a 的取值范围. .
x 2

(1)指出的 f(x)值域; (2)求函数 f(x)对任意 x∈[﹣2,﹣1],不等式 f(mx)+mf(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围. (3)若对任意正数 a,在区间[1,a+ ]内存在 k+1 个实数 a1,a2,…,ak+1 使得不等式

f(a1)+f(a2)+…+f(ak)<f(ak+1)成立,求 k 的最大值.

第 3 页(共 19 页)

2014-2015 学年上海实验学校高一(上)期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,满分 40 分) 1. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)函数
菁优网版权所有

的定义域是 (﹣∞,﹣2] .

【考点】函数的定义域及其求法. 【分析】由根式内部的代数式大于等于 0,求解指数不等式得答案. 【解答】解:由 ∴函数 ,得 ,∴x≤﹣2.

的定义域是(﹣∞,﹣2].

故答案为: (﹣∞,﹣2]. 【点评】本题考查函数的定义域及其求法,考查了指数不等式的解法,是基础题.

2. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)若函数 . 【考点】函数的值域.
菁优网版权所有

在(﹣2,4)上的值域为

【分析】函数 f(x)=1﹣ ,即可得出. 【解答】解:函数 ∵x∈(﹣2,4) , ∴ ∴1﹣ ∴函数 故答案为: ∈ ∈ , ,

,由于 x∈(﹣2,4) ,利用反比例函数的单调性可得



=

=1﹣



在(﹣2,4)上的值域为∈ .



【点评】本题考查了反比例函数的单调性,考查了变形能力与计算能力,属于基础题. 3. (4 分) (2006?上海)若函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的反函数的图象过点(2,﹣1) , 则 a= .
菁优网版权所有

x

【考点】反函数. 【分析】欲求 a 的值,可先列出关于 a 的两个方程,由已知得 y=f(x)的反函数图象过定点 (2, ﹣1) , 根据互为反函数的图象的对称性可知, 原函数图象过 (﹣1, 2) , 从而解决问题.
第 4 页(共 19 页)

【解答】解:若函数 f(x)=a (a>0,且 a≠1)的反函数的图象过点(2,﹣1) , 则原函数的图象过点(﹣1,2) , ∴2=a ,a= . 故答案为 . 【点评】本题考查反函数的求法,属于基础题目,要会求一些简单函数的反函数,掌握互为 反函数的函数图象间的关系.
﹣1

x

4. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)函数 的值为 1 . 【考点】基本不等式.

在(0,+∞)上取最小值时的 x

菁优网版权所有

【分析】在将函数式裂项, 后确定取等条件. 【解答】解: =2x+ +1=2(x+ )+1, ∵x>0,∴x+ ≥2, 因此,f(x)≥2×2+1=5,

=2(x+ )+1,再运用基本不等式求最值,最

当且仅当:x= 即 x=1 时,函数 f(x)取得最小值 5, 故答案为:1. 【点评】本题主要考查了运用基本不等式求函数的最小值,以及取等条件的分析,“一正, 二定,三相等”是其前提条件,属于基础题. 5. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)方程 lg(x+1)+lg(x﹣2)=lg(16﹣x﹣x )的解是 x= 3 . 【考点】函数的零点与方程根的关系;对数的运算性质. 【分析】由对数式的真数大于 0,然后去掉对数符号直接解一元二次方程得答案. 2 【解答】解:由 lg(x+1)+lg(x﹣2)=lg(16﹣x﹣x )
菁优网版权所有

2



,解得:x=3.

故答案为:3. 【点评】本题考查了对数式的运算性质,考查了对数方程的解法,关键是验根,是基础题. 6. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)函数 【考点】反函数.
菁优网版权所有

的反函数是 4﹣x (x≥0) .

2

第 5 页(共 19 页)

【分析】先确定原函数的值域[0,+∞) ,这是其反函数的定义域,再从原式中分离 x,最后 交换 x,y 得到函数的反函数 f (x) . 【解答】解:根据求反函数的步骤,先求函数 的值域,
﹣1

显然函数的值域为 y∈[0,+∞) ,这是其反函数的定义域, 2 再将函数式两边同时平方,y =4﹣x, 2 即 x=4﹣y , ﹣1 2 再交换 x,y 得到函数的反函数 f (x)=4﹣x (x≥0) , 2 故答案为:4﹣x (x≥0) . 【点评】 本题主要考查了反函数的求法, 涉及函数值域的确定以及原函数与反函数定义域与 值域间的关系,属于基础题. 7. (4 分) (2014 秋?上海校级期末) 若( f x) 是 R 上的奇函数, 且当 x≥0 时, 则 f(x)的值域是 [﹣ , ] 【考点】函数奇偶性的性质. 【分析】设 t=
菁优网版权所有





,利用换元法求得当 x≥0 时函数的值域,再根据奇函数的性质求得当 x

≤0 时函数的值域,然后求并集可得答案. 【解答】解:设 t=
2

,当 x≥0 时,2 ≥1,∴0<t≤1,
2

x

f(t)=﹣t +t=﹣(t﹣ ) + , ∴0≤f(t)≤ , 故当 x≥0 时,f(x)∈[0, ]; ∵y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,∴当 x≤0 时,f(x)∈[﹣ ,0]; 故函数的值域时[﹣ , ]. 故答案为:[﹣ , ]. 【点评】本题考查了函数的性质及其应用,考查了函数值域的求法,运用换元法求得 x≥0 时函数的值域是解答本题的关键.

8. (4 分) (2015?南京模拟)已知函数 f(x)=

,若关于 x 的方程 f(x)

=k 有两个不同的实根,则实数 k 的取值范围是 (0,1) . 【考点】函数的零点.
菁优网版权所有

第 6 页(共 19 页)

【分析】 由题意在同一个坐标系中作出两个函数的图象, 图象交点的个数即为方程根的个数, 由图象可得答案.

【解答】解:由题意作出函数

的图象,

关于 x 的方程 f(x)=k 有两个不同的实根等价于

函数

,与 y=k 有两个不同的公共点,

由图象可知当 k∈(0,1)时,满足题意, 故答案为: (0,1) 【点评】本题考查方程根的个数,数形结合是解决问题的关键,属基础题. 9. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)已知实数 a>0,函数 f(x)=a +logax 在[1,2]上最大 值和最小值之差为|a ﹣a|+1,则实数 a 的值为 2 或
菁优网版权所有

x

2



【考点】函数的最值及其几何意义. 【分析】分类讨论以确定函数的单调性及最值,从而建立方程,从而解得. 【解答】解:若 0<a<1, x 函数 f(x)=a +logax 在[1,2]上是减函数, 2 故 fmin(x)=f(2)=a +loga2,fmax(x)=f(1)=a, 2 2 故 fmax(x)﹣fmin(x)=a﹣(a +loga2)=|a ﹣a|+1, 解得,a= ; 若 a>1, x 函数 f(x)=a +logax 在[1,2]上是增函数, 2 故 fmax(x)=f(2)=a +loga2,fmin(x)=f(1)=a, 2 2 故 fmax(x)﹣fmin(x)=(a +loga2)﹣a=|a ﹣a|+1, 解得,a=2; 故答案为:2 或 .
第 7 页(共 19 页)

【点评】本题考查了分类讨论的思想应用及基本初等函数的单调性的判断与应用. 10. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)关于函数 f(x)= ,给出下列四个命题:

①当 x>0 时,y=f(x)单调递减且没有最值; ②方程 f(x)=kx+b(k≠0)一定有解; ③如果方程 f(x)=k 有解,则解的个数一定是偶数; ④y=f(x)是偶函数且有最小值, 则其中真命题是 ② . (只要写标题号) 【考点】命题的真假判断与应用. 【分析】①x>0 时,由 x≠1 知 y=f(x)不具有单调性,判定命题错误;
菁优网版权所有

②函数 f(x)=

是偶函数,在 x>0 且 k>0 时,判定函数 y=f(x)与 y=kx 在第

一象限内有交点;由对称性知,x<0 且 k>0 时,函数 y=f(x)与 y=kx 在第二象限内有交 点;得方程 f(x)=kx+b(k≠0)有解; ③函数 f(x)= 个解; ④函数 f(x)= 是偶函数,由①,即可判断结论是否正确. =1+ 在区间(1,+∞)上是单调递减的函 是偶函数,且 f(x)=0,举例说明 k=0 时,方程 f(x)=k 有 1

【解答】解:①当 x>1 时,y=f(x)= 数, 0<x<1 时,y=f(x)=﹣ 且无最值; ∴命题①错误; ②函数 f(x)=f(x)= =﹣1﹣

在区间(0,1)上是单调递增的函数

是偶函数,当 x>0 时,y=f(x)在区间(0,1)上是单

调递增的函数, (1,+∞)上是单调递减的函数; 当 k>0 时,函数 y=f(x)与 y=kx 在第一象限内一定有交点; 由对称性知,当 x<0 且 k>0 时,函数 y=f(x)与 y=kx 在第二象限内一定有交点; ∴方程 f(x)=kx+b(k≠0)一定有解; ∴命题②正确; ③∵函数 f(x)= 是偶函数,且 f(x)=0,当 k=0 时,函数 y=f(x)与 y=k 的

图象只有一个交点,∴方程 f(x)=k 的解的个数是奇数;∴命题③错误; ④∵函数 f(x)= 是偶函数,x≠±1,

当 x>0 时,y=f(x)在区间(0,1)上是单调递增的函数, (1,+∞)上是单调递减的函数; 由对称性知,函数 f(x)无最小值,命题④错误. 故答案为:②. 【点评】本题考查了含有绝对值的分式函数的图象与性质的问题,解题时应先去掉绝对值, 化为分段函数,把分式函数分离常数,是易错题.
第 8 页(共 19 页)

二、选择题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 11. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)“a=﹣3”是“函数 y=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4] 上单调递减”的( ) A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【分析】先求出函数的对称轴,根据函数的单调性求出 a 的范围即可. 2 【解答】解:函数 y=x +2(a﹣1)x+2 的对称轴是:x=﹣(a﹣1) , 若函数在区间(﹣∞,4]上单调递减, 则﹣(a﹣1)≤4,解得:a≥﹣3,
菁优网版权所有

2

∴“a=﹣3”是“函数 y=x +2(a﹣1)x+2 在区间(﹣∞,4]上单调递减”的充分必要条件, 故选:A. 【点评】本题考查了二次函数的性质,考查函数的单调性问题,考查充分必要条件,是一道 基础题.

2

12. (4 分) (2014 秋?上海校级期末)如图是函数 则下述结论正确的是( )

(m,n∈N ,m,n 互质)的图象,

*

A.m,n 是奇数,且 m<n B.m 是偶数,n 是奇数,且 m>n C.m 是偶数,n 是奇数,且 m<n D.m 是奇数,n 是偶数数,且 m>n 【考点】幂函数的图象. 【分析】根据已知中函数的图象,结合幂函数的图象和性质,分析 m,n 的奇偶性和大小, 可得答案.
菁优网版权所有

【解答】解:∵函数 故 n 为奇数,m 为偶数,

(m,n∈N ,m,n 互质)的图象的图象关于 y 轴对称,

*

在第一象限内,函数是凸函数,故



故 m<n, 故选:C 【点评】 本题考查的知识点是幂函数的图象和性质, 熟练掌握幂函数的图象和性质是解答的 关键. 13. (4 分) (2010?浙江)已知 x0 是函数 f(x)=2 + x2∈(x0,+∞) ,则( )
x

的一个零点.若 x1∈(1,x0) ,

第 9 页(共 19 页)

A.f(x1)<0,f(x2)<0 B.f(x1)<0,f(x2)>0 0 D.f(x1)>0,f(x2)>0 【考点】函数零点的判定定理.
菁优网版权所有

C.f(x1)>0,f(x2)<

【分析】因为 x0 是函数 f(x)=2 + 的单调性可得到答案. 【解答】解:∵x0 是函数 f(x)=2 + ∵f(x)=2 +
x x

x

的一个零点 可得到 f(x0)=0,再由函数 f(x)

的一个零点∴f(x0)=0

是单调递增函数,且 x1∈(1,x0) ,x2∈(x0,+∞) ,

∴f(x1)<f(x0)=0<f(x2) 故选 B. 【点评】本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题,属中档题. 14. (4 分) (2016?永州模拟)若函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上既是 奇函数,又是减函数,则 g(x)=loga(x+k)的图象是( )
x
﹣x

A.

B.

C.

D. 【考点】奇偶性与单调性的综合;对数函数的图象与性质. 【分析】根据函数是一个奇函数,函数在原点出有定义,得到函数的图象一定过原点,求出 k 的值,根据函数是一个减函数,看出底数的范围,得到结果.
菁优网版权所有

【解答】解:∵函数 f(x)=(k﹣1)a ﹣a (a>0,a≠1)在 R 上是奇函数, ∴f(0)=0 ∴k=2, 又∵f(x)=a ﹣a 为减函数, 所以 1>a>0, 所以 g(x)=loga(x+2) 定义域为 x>﹣2,且递减, 故选:A 【点评】本题考查函数奇偶性和单调性,即对数函数的性质,本题解题的关键是看出题目中 所出现的两个函数性质的应用. 三、解答题(本大题共 6 小题,满分 64 分)
x
﹣x

x

﹣x

第 10 页(共 19 页)

15. (10 分) (2014 秋?上海校级期末) 已知 A={x||x﹣a|<1},

, 且 A∪B=B,

求实数 a 的取值范围. 【考点】集合的包含关系判断及应用. 【分析】由题意得出 A 是 B 的子集,再分别解出 A,B 两个集合,最后根据集合间的包含 关系得出参数 a 的取值范围. 【解答】解:因为 A∪B=B,所以 A 是 B 的子集, 对于集合 A,由|x﹣a|<1 解得 x∈(a﹣1,a+1) ,
菁优网版权所有

对于集合 B,由

≤1 得

≤0,

解得,x∈(﹣3,2], 根据(a﹣1,a+1)? (﹣3,2]得, ,解得﹣2≤a≤1, 即实数 a 的取值范围为[﹣2,1]. 【点评】 本题主要考查了集合的包含关系判断及应用, 涉及绝对值不等式的解法和分式不等 式的解法,属于基础题. 16. (10 分) (2014 秋?上海校级期末)已知函数 f(x)=lg(x+1) (1)当 x∈[1,9]时,求函数 f(x)的反函数; (2)若 0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1,求 x 的取值范围. 【考点】反函数. 【分析】 (1)先确定函数的值域,就是其反函数的定义域,再对函数求反函数;
菁优网版权所有

(2)将该不等式等价为:1<

<10 且 x+1>0,再直接解不等式即可.

【解答】解: (1)∵y=f(x)=lg(x+1) , ∴当 x∈[1,9]时,y∈[lg2,1], 且 x+1=10 ,即 x=10 ﹣1, x 互换 x,y 得,y=10 ﹣1, ﹣1 x 所以,f (x)=10 ﹣1,x∈[lg2,1]; (2)不等式 0<f(1﹣2x)﹣f(x)<1 可化为: 0<lg 1< <1,等价为: <10 且 x+1>0,
y y

解得 x∈(﹣ , ) , 所以,原不等式中 x 的取值范围为: (﹣ , ) . 【点评】 本题主要考查了反函数的解法及其定义域的确定, 以及对数不等式与分式不等式的 解法,属于中档题.

17. (12 分) (2014 秋?上海校级期末)设
第 11 页(共 19 页)

是 R 上的奇函数

(1)求实数 a 的值; (2)判定 f(x)在 R 上的单调性并证明; (3)若方程 f(x ﹣2x﹣a)=0 在(0,3)上恒有解,求实数 a 的取值范围. 【考点】函数单调性的判断与证明;函数奇偶性的性质. 【分析】 (1)由 f(x)在 R 上为奇函数便可得到 f(0)=0,从而可以求出 a=1;
菁优网版权所有

2

(2)分离常数得到

,可看出 f(x)在 R 上单调递增,根据增函数的定义,

设任意的 x1,x2∈R,且 x1<x2,然后作差,通分,根据指数函数的单调性证明 f(x1)<f (x2)便可得出 f(x)在 R 上单调递增; 2 (3)可设 g(x)=x ﹣2x﹣a,可看出 g(x)的对称轴为 x=1,从而有 g(1)≤g(x)<g (0) ,或 g(1)≤g(x)<g(3) ,这样根据 f(x)在 R 上单调递增便有 f[g(1)]≤f[g (x)]<f[g(0)],或 f[g(1)]≤f[g(x)]<f[g(3)],而要使方程 f(x ﹣2x﹣a)=0 在(0,3)上恒有解,则需 范围. 【解答】解: (1)f(x)为 R 上的奇函数; ∴f(0)= ∴a=1; (2) = ,f(x)在 R 上单调递增,证明如下: ; ,这样即可求出实数 a 的取值
2

设 x1,x2∈R,且 x1<x2,则: = ∵x1<x2; ∴ 又 , ; ; ;

∴f(x1)<f(x2) ; ∴f(x)在 R 上单调递增; 2 (3)设 g(x)=x ﹣2x﹣a,g(x)的对称轴为 x=1,则:g(1)≤g(x)<g(0) ,或 g(1) ≤g(x)<g(3) ; f(x)在 R 上单调递增; ∴f[g(1)]≤f[g(x)]<f[g(0)],或 f[g(1)]≤f[g(x)]<f[g(3)]; 2 ∵方程 f(x ﹣2x﹣a)=0 在(0,3)上恒有解; ∴ ;

第 12 页(共 19 页)





解得﹣1≤a<3; ∴实数 a 的取值范围为[﹣1,3) . 【点评】考查奇函数的定义,奇函数在原点有定义时,在原点处的函数值为 0,分离常数法 的运用, 增函数的定义, 以及根据增函数的定义判断并证明一个函数为增函数的方法和过程, 二次函数的对称轴,二次函数的最值,清楚方程的解和函数的零点的关系,要熟悉二次函数 的图象. 18. (12 分) (2014 秋?上海校级期末)对于函数 f1(x) ,f2(x) ,h(x) ,如果存在实数 a, b 使得 h(x)=a?f1(x)+b?f2(x) ,那么称 h(x)为 f1(x) ,f2(x)的生成函数. (1)下面给出两组函数,h(x)是否分别为 f1(x) ,f2(x)的生成函数?并说明理由; 第一组:f1(x)=lg
2

,f2(x)=lg(10x) ,h(x)=x ﹣x+1;
2 2

2

第二组:f1(x)=x ﹣x,f2(x)=x +x+1,h(x)=x ﹣x+1; 2 (2)设 f1(x)=log2x; x,a=2,b=1 生成函数 h(x) ,若不等式 3h (x)+2h (x)+t≤0 在 x∈[2,4]上有解,求实数 t 的取值范围; (3)设 f1(x)=x(x>0) ,f2(x)= ,取 a>0,b>0,生成函数 h(x)图象的

最低点为(2,8) ,若对于任意的正实数 x1,x2,且 x1+x2=1,试问是否存在最大的常熟 m, 使 h(x1)h(x2)≥m 恒成立?如果存在,求出这个 m 的值;如果不存在,请说明理由. 【考点】抽象函数及其应用. 2 【分析】 (1)化简 h(x)=a?f1(x)+b?f2(x) ,使得与 h(x)与 x ﹣x+1 相同,求出 a,b 判断结果满足题意;类似方法计算判断第二组.
菁优网版权所有

(2)由已知得 h(x)=log2x,从而
2

+2log2x+t=3(log2x+ ) +t﹣ ≤0 在 x∈[2,

2

4]上有解,由 t=﹣3(log2x+ ) + 在[2,4]上单调递减,能求出实数 t 的取值范围. (3)由题意得,h(x)=ax+ ,从而 h(x)=2x+ ,x>0,假设存在最大的常数

m,使 h(x1)h(x2)≥m 恒成立,设 μ=h(x1)h(x2) ,从而转化为求 u 的最小值即可. 【解答】解: (1)第一组:∵f1(x)=lg ∴alg ,f2(x)=lg(10x) ,h(x)=x ﹣x+1,
2 2

+blg(10x)=algx﹣a+b+blgx=(a+b)lgx+b﹣a≠x ﹣x+1,

∴第一组函数 h(x)不是 f1(x) ,f2(x)的生成函数. 2 2 2 第二组:设 a(x +x)+b(x +x+1)=x ﹣x+1, 2 2 即(a+b)x +(a+b)x+b=x ﹣x+1,

第 13 页(共 19 页)



,该方程组无解.

∴h(x)不是 f1(x) ,f2(x)的生成函数. (2)∵f1(x)=log2x; x,a=2,b=1 生成函数 h(x) , ∴h(x)=a?f1(x)+b?f2(x)=2log2x+log
2

x=log2x,

∵3h (x)+2h(x)+t≤0 在 x∈[2,4]上有解, ∴ +2log2x+t=3(log2x+ ) +t﹣ ≤0 在 x∈[2,4]上有解,
2

∵x∈[2,4],∴log2x+ ∈[ , ] ∴t=﹣3(log2x+ ) + 在[2,4]上单调递减, ∴ =﹣5, ,﹣5]. , =﹣ .
2

∴实数 t 的取值范围是[﹣

(3)由题意得,h(x)=ax+ ,x>0,则 h(x)=ax+



,解得

,∴h(x)=2x+ ,x>0,

假设存在最大的常数 m,使 h(x1)h(x2)≥m 恒成立. 于是设 μ=h(x1)h(x2)= =4x1x2+ +16?

=

+16(

)=4

+16?

= = 设 t=x1x2,则 t=x1x2≤ 设 ﹣32,t∈(0, ], , = ,即 t∈(0, ],

第 14 页(共 19 页)

∵ ≥μ( )=289.

<0,t∈(0, ],∴

﹣32 在(0, ]上单调递减,从而 μ

故存在最大的常数 m=289. 【点评】本题考查函数性质的应用,是中档题,解题时要认真审题,注意函数性质、换元法 的合理运用. 19. (10 分) (2014?北京校级模拟)已知集合 M={f(x)|在定义域内存在实数 x0,使得 f (x0+1)=f(x0)+f(1)成立}. (1)函数 f(x)= 是否属于集合 M?说明理由. (2)证明:函数 f(x)=2 +x ∈M. (3)设函数 f(x)=lg ∈M,求实数 a 的取值范围.
菁优网版权所有

x

2

【考点】抽象函数及其应用.

【分析】 (1)f(x)= ,令 f(x+1)=f(x)+f(1)? x +x+1=0,该方程无实数解,从而 知函数 f(x)= 不属于集合 M; (2)令 f(x+1)=f(x)+f(1) ,依题意可求得 2 利用零点存在定理即可证得结论; (3)依题意可求得 a= 而可求得 a 的取值范围. 【解答】解: (1)∵f(x)= , 令 f(x+1)=f(x)+f(1) , 则 = +1=
2 x x﹣1

2

+x﹣1=0,构造函数 g(x)=2

x﹣1

+x﹣1,

,设 2 =t>0,通过分离常数易求 a=

= +

,从



∴(x+1) =x, 2 即 x +x+1=0, 2 ∵△=1 ﹣4×1×1=﹣3<0, 2 ∴方程 x +x+1=0 无实数解,即不存在 x0∈R,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立, ∴函数 f(x)= 不属于集合 M; (2)令 f(x+1)=f(x)+f(1) , 则 2 +(x+1) =2 +x +3,即 2 x﹣1 整理得:2 +x﹣1=0; x﹣1 令 g(x)=2 +x﹣1,
x+1 2 x 2 x+1

﹣2 +2x﹣2=0,

x

∵g(0)=﹣ <0,g(1)=1>0, ∴g(x)在(0,1)内必然有解,即存在 x0∈R,使得 f(x0+1)=f(x0)+f(1)成立,
第 15 页(共 19 页)

∴函数 f(x)=2 +x ∈M; (3)∵lg =lg +lg ,

x

2



=



∴a= 设 2 =t>0, a= = +
x





∵t>0, ∴0< <1,

∴ < +

<3,

即 a∈( ,3) . 【点评】本题考查抽象函数及其应用,着重考查方程思想,考查构造函数思想及零点存在定 理、分离常数法的综合应用,属于难题.

20. (10 分) (2014?闵行区一模)已知 f(x)=x+



(1)指出的 f(x)值域; (2)求函数 f(x)对任意 x∈[﹣2,﹣1],不等式 f(mx)+mf(x)<0 恒成立,求实数 m 的取值范围. (3)若对任意正数 a,在区间[1,a+ ]内存在 k+1 个实数 a1,a2,…,ak+1 使得不等式

f(a1)+f(a2)+…+f(ak)<f(ak+1)成立,求 k 的最大值. 【考点】函数恒成立问题;函数的值域. 【分析】 (1)分 x>0 和 x<0 写出分段函数,分段求出值域后取并集得答案;
菁优网版权所有

(2)由导数判断出 f(x)=x﹣ 在[﹣2,﹣1]上为增函数,然后分 m>0 和 m<0 两种情 况代入 f(mx)+mf(x) ,把 f(mx)+mf(x)<0 转化为含参数 m 的不等式恒成立,m>0 时分离 参数 m,求出函数的最值,则 m 的范围可求,m<0 时,不等式不成立,从而得到实数 m 的取值范围; (3)取正数 a= 式 ,在区间[1,a+ ]内存在 k+1 个实数 a1,a2,…,ak+1 使得不等

第 16 页(共 19 页)

f(a1)+f(a2)+…+f(ak)<f(ak+1)成立,可考虑在其子集

内成立,由函

数是增函数得到 k 个不等式 f(1)≤f(ai) (i=1,2,…,k) ,作和后结合已知转化为关于 k 的不等式,则 k 的最大值可求. 【解答】解: (1)当 x>0 时,f(x)=x+ 当 x<0 时,f(x)=x+ = ∈R. = ≥2;

∴函数 f(x)的值域为 R; (2)由题意知,m≠0, 当 x∈[﹣2,﹣1],函数 f(x)=x﹣ , ∴f(x)=x﹣ 在[﹣2,﹣1]上为增函数, ①当 m>0 时, 由 x∈[﹣2, ﹣1], 得f (mx) +mf ( x) = 恒成立, 即 2m x ﹣m ﹣1>0 恒成立,由于 x∈[﹣2,﹣1]时,2x ﹣1>0,也就是 成立, 而 在[﹣2,﹣1]上的最大值为 1,因此,m>1.
2 2 2 2





②当 m<0 时,
2

,即 2m x ﹣m +1<0.

2 2

2

由于 x∈[﹣2,﹣1]时,2x ﹣1>0,不等式左边恒正,该式不成立. 综上所述,m>1; (3)取 a= 注意到 故只需考虑在 函数 f(x)= 在 ,则在区间 ? [1,a+ ]. 内存在 k+1 个符合要求的实数.

上存在符合要求的 k+1 个实数 a1,a2,…,ak+1, 上为增函数,∴f(1)≤f(ai) (i=1,2,…,k) , ,将前 k 个不等式相加得, ,



,∴k≤44. ,则题中不等式成立.
第 17 页(共 19 页)

当 k=44 时,取 a1=a2=…=a44=1,

故 k 的最大值为 44. 【点评】本题考查了函数的值域,考查了函数恒成立问题,训练了分离变量法和数学转化思 想方法,特别对于(3)的处理,体现了特值化思想在解题中的应用,是难度较大的题目.

第 18 页(共 19 页)

参与本试卷答题和审题的老师有:sxs123;沂蒙松;yhx01248;徐喜峰;qiss;lincy;炫晨; 刘长柏;刘老师;豫汝王世崇;wsj1012;涨停;wkl197822;zlzhan;wfy814(排名不分先 后) 菁优网 2016 年 12 月 22 日

第 19 页(共 19 页)


更多相关文档:

2015-2016学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷.doc

2015-2016学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷 - 2015-2016 学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷 一、填空题 1. (5 分)设全集 U={1,3,5,7},集合...

2015-2016学年上海实验学校高一(上)期末数学试卷.doc

2015-2016学年上海实验学校高一(上)期末数学试卷 - 2014-2015

2015-2016学年上海中学高一(上)期末数学试卷含答案.doc

2015-2016学年上海中学高一(上)期末数学试卷含答案 - 2015-2016 学年上海中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(每题 4 分) 1. (4.00 分)f(x) ,g(x)...

2015-2016学年上海中学高一(下)期末数学试卷.doc

2015-2016学年上海中学高一()期末数学试卷 - 2015-2016 学年上海中学高一()期末数学试卷 一、填空题 1. (3 分)arcsin()+arccos( 2. (3 ...

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷....doc

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷及答案_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学期末 2015-2016 学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学...

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷.doc

2015-2016 学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷 参考答案与试题

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷....pdf

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷含参考答案 - 2015-2016 学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷 一、填空题(每题 4 分,共 48 分...

2015-2016年上海市实验学校高一(上)期中数学试卷及参考....pdf

2015-2016年上海市实验学校高一(上)期中数学试卷及参考答案 - 2015-2016 学年上海市实验学校高一(上)期中数学试卷 一、填空题(本大题满分 40 分,共有 10 题...

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷....doc

2015-2016学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷含答案_数学_高中教育_教育专区。数学期末试卷 2015-2016 学年上海市复旦大学附中高一(上)期末数学试卷 一、...

2015-2016学年上海市宝山区高一(上)期末数学试卷.doc

2015-2016学年上海市宝山区高一(上)期末数学试卷 - 2015-2016 学年上海市宝山区高一(上)期末数学试卷 一、填空题(本大题共有 12 小题,每小题 3 分,共 ...

2015-2016学年上海中学高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

2015-2016学年上海中学高一(上)期末数学试卷(解析版) - 2015-2016 学年上海中学高一(上)期末数学试卷 一、选择题(每题 4 分) 1. (4.00 分)f(x) ,g(...

2015-2016学年上海市松江区高一(上)期末数学试卷(解析版).doc

2015-2016 学年上海市松江区高一(上)期末数学试卷 一、填空题 1. (

2015-2016学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷含答案.doc

2015-2016学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷含答案 - 2015-2016 学年上海市徐汇区高一(上)期末数学试卷 一、填空题 1. (5 分)设全集 U={1,3,5,7}...

2015-2016学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷(解....doc

2015-2016学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷(解析版)_数学_高中教育_教育专区。数学试卷 2015-2016 学年上海市金山中学高一(上)期末数学试卷 一、填空题(...

2015-2016学年上海市长宁区延安中学高一(上)期末数学试卷.doc

2015-2016学年上海市长宁区延安中学高一(上)期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年上海市长宁区延安中学高一(上)期末数学试卷 一、填空题(本大题...

2015-2016学年上海市虹口区复兴高中高一(上)期末数学试卷.doc

2015-2016学年上海市虹口区复兴高中高一(上)期末数学试卷_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年上海市虹口区复兴高中高一(上)期末数学试卷 一、填空题(每题 ...

2015-2016学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期末数学试....pdf

2015-2016 学年上海市黄浦区格致中学高一(上)期末数学试卷 一、填空题(

2015-2016学年上海市实验学校高一上学期期中数学试卷和....doc

2015-2016学年上海市实验学校高一上学期期中数学试卷和解析 - 2015-2016 学年上海市实验学校高一(上)期中数学试卷 一、填空题(本大题满分 40 分,共有 10 题,...

2015-2016学年上海师范大学附中高一(上)期末数学试卷.doc

2015-2016学年上海师范大学附中高一(上)期末数学试卷_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年上海师范大学附中高一(上)期末数学试卷 一、填空题(本大题...

2015-2016学年上海市宝山区高一(上)数学期末试卷 及解析.pdf

2015-2016学年上海市宝山区高一(上)数学期末试卷 及解析_高一数学_数学_高中教育_教育专区。2015-2016 学年上海市宝山区高一(上)期末数学试卷 一、填空题(本大...

更多相关标签:
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:zhit325@126.com