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考研数学重点难点考点归纳辅导笔记(免费分享)(数一、二、三)


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考研数学重点、 考研数学重点、难点归纳辅导 数学重点

第一部分 第一章 集合与映射

§1.集合 §2.映射与函数 本章教学要求:理解集合的概念与映射的概念,掌握实数集合的表示法,函数 的表示法与函数的一些基本性质。 第二章 数列极限 §1.实数系的连续性 §2.数列极限 §3.无穷大量 §4.收敛准则 本章教学要求:掌握数列极限的概念与定义,掌握并会应用数列的收敛准则, 理解实数系具有连续性的分析意义,并掌握实数系的一系列基本定理。 第三章 函数极限与连续函数 §1.函数极限 §2.连续函数 §3.无穷小量与无穷大量的阶 §4.闭区间上的连续函数 本章教学要求:掌握函数极限的概念,函数极限与数列极限的关系,无穷小量 与无穷大量阶的估计,闭区间上连续函数的基本性质。 第四章 微 分 §1.微分和导数 §2.导数的意义和性质 §3.导数四则运算和反函数求导法则 §4.复合函数求导法则及其应用 §5.高阶导数和高阶微分 本章教学要求:理解微分,导数,高阶微分与高阶导数的概念,性质及相互关 系,熟练掌握求导与求微分的方法。 第五章 微分中值定理及其应用 §1.微分中值定理 §2.L'Hospital 法则 §3.插值多项式和 Taylor 公式

1

§4.函数的 Taylor 公式及其应用 §5.应用举例 §6.函数方程的近似求解 本章教学要求:掌握微分中值定理与函数的 Taylor 公式,并应用于函数性质的 研究,熟练运用 L'Hospital 法则计算极限,熟练应用微分于求解函数的极值 问题与函数作图问题。 第六章 不定积分 §1.不定积分的概念和运算法则 §2.换元积分法和分部积分法 §3.有理函数的不定积分及其应用 本章教学要求:掌握不定积分的概念与运算法则,熟练应用换元法和分部积分 法求解不定积分,掌握求有理函数与部分无理函数不定积分的方法。 第七章 定积分(§1 —§3) §1.定积分的概念和可积条件 §2.定积分的基本性质 §3.微积分基本定理

第七章 定积分(§4 —§6) §4.定积分在几何中的应用 §5.微积分实际应用举例 §6.定积分的数值计算 本章教学要求:理解定积分的概念,牢固掌握微积分基本定理:牛顿—莱布尼 兹公式,熟练定积分的计算,熟练运用微元法解决几何,物理与实际应用中的 问题,初步掌握定积分的数值计算。 第八章 反常积分 §1.反常积分的概念和计算 §2.反常积分的收敛判别法 本章教学要求:掌握反常积分的概念,熟练掌握反常积分的收敛判别法与 反常积分的计算。 第九章 数项级数 §1.数项级数的收敛性 §2.上级限与下极限 §3.正项级数 §4.任意项级数 §5.无穷乘积 本章教学要求:掌握数项级数敛散性的概念,理解数列上级限与下极限的概 念,熟练运用各种判别法判别正项级数,任意项级数与无穷乘积的敛散性。 第十章 函数项级数 §1.函数项级数的一致收敛性 2

§2.一致收敛级数的判别与性质 §3.幂级数 §4.函数的幂级数展开 §5.用多项式逼近连续函数 本章教学要求:掌握函数项级数(函数序列)一致收敛性概念,一致收敛 性的判别法与一致收敛级数的性质,掌握幂级数的性质,会熟练展开函数为幂 级数,了解函数的幂级数展开的重要应用。 第十一章 Euclid 空间上的极限和连续 §1.Euclid 空间上的基本定理 §2.多元连续函数 §3.连续函数的性质 本章教学要求:了解 Euclid 空间的拓扑性质,掌握多元函数的极限与连续性的 概念,区分它们与一元函数对应概念之间的区别,掌握紧集上连续函数的性 质。 第十二章 多元函数的微分学(§1—§5) §1.偏导数与全微分 §2. 多元复合函数的求导法则 §3.Taylor 公式 §4.隐函数 §5.偏导数在几何中的应用

第十二章 多元函数的微分学(§6—§7) §6.无条件极值 §7.条件极值问题与 Lagrange 乘数法 本章教学要求:掌握多元函数的偏导数与微分的概念,区分它们与一元函数对 应概念之间的区别,熟练掌握多元函数与隐函数的求导方法,掌握偏导数在几 何上的应用,掌握求多元函数无条件极值与条件极值的方法。 第十三章 重积分 §1.有界闭区域上的重积分 §2.重积分的性质与计算 §3.重积分的变量代换 §4.反常重积分 §5.微分形式 本章教学要求:理解重积分的概念,掌握重积分与反常重积分的计算方法,会 熟练应用变量代换法计算重积分,了解微分形式的引入在重积分变量代换的表 示公式上的应用。 第十四章 曲线积分与曲面积分 §1.第一类曲线积分与第一类曲面积分

3

§2.第二类曲线积分与第二类曲面积分 §3.Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式 §4.微分形式的外微分 §5.场论初步 本章教学要求:掌握二类曲线积分与二类曲面积分的概念与计算方法,掌握 Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式的意义与应用,理解外微分的引入在给 出 Green 公式,Gauss 公式和 Stokes 公式统一形式上的意义,对场论知识有一 个初步的了解。 第十五章 含参变量积分 §1.含参变量的常义积分 §2.含参变量的反常积分 §3.Euler 积分 本章教学要求:掌握含参变量常义积分的性质与计算,掌握含参变量反常 积分一致收敛的概念,一致收敛的判别法,一致收敛反常积分的性质及其在积 分计算中的应用,掌握 Euler 积分的计算。 第十六章 Fourier 级数 §1.函数的 Fourier 级数展开 §2. Fourier 级数的收敛判别法 §3. Fourier 级数的性质 §4. Fourier 变换和 Fourier 积分 §5.快速 Fourier 变换 本章教学要求:掌握周期函数的 Fourier 级数展开方法,掌握 Fourier 级数的 收敛判别法与 Fourier 级数的性质,对 Fourier 变换与 Fourier 积分有一个初 步的了解。 试题 一、解答下列各题 tan x ? tan 2 求极限   lim . x → 2 sin ln( x ? 1) 1、 、 2、 、 3、 、 4、 、
求 ∫ (e x + 1) 3 e x dx.

求极限 lim

100 x 2 + 10 x + 1 . x →∞ x 3 + 01x 2 + 0.01x + 0.001 .
3x 0

设y = x 2 ∫ sin 2 tdt,求y ′.

? x 2 ? x + 1,x ≤ 1; ? 设f ( x ) = ? 求f (1 + a ) + f (1 ? a ) ,其中a > 0. ?2 x ? x 2 ,x > 1 ? 5、 、
x2 ? 1 求极限 lim . x → - 1 ln x 6、

7、 设  y = (3x + 1) ln(3x + 1) ,求y ′′

4

8、 、

求∫ 2
0

1

x3 1? x2

dx.
x =1

3 ?2 x 9、 设 y ( x ) = x e ,求dy


2

  求由方程x

2

3

+ y = a 3 ( 常数a > 0) 确定的隐函数
1 1

2 3

10、 y = y ( x ) 的微分dy.
  设y = y ( x ) 由x = (1 + s 2 ) 2 和y = (1 ? s 2 ) 2 所确定 ,

11、

试求

dy . dx
x+ y x

12、 设y = y ( x ) 由方程y = e 所确定 , 求y ′ 2 2 13、 若x > 0, 证明x + ln(1 + x ) > 2 x 14、 15、
求∫
求∫ 求∫
16 1 4
2 1

dx x+ x
dx x 4 ? x2




16、 二、解答下列各题 , 1、 要做一个圆锥形漏斗 其母线长20cm, 要使其体积最大,问其高应为多少?
2 2、 求曲线y = 2 ? x 与y = x 所围成的平面图形的面积. 2 3 3、 求曲线y = x 和y = x 在[0,1]上所围成的平面图形的面积 .

dx . ( x + 1)( x 2 + 1)

三、解答下列各题 证明方程x 5 ? 7 x = 4 在区间 (1, 2) 内至少有一个实根. 四、解答下列各题 判定曲线y = ( x + 3) x 在 0, + ∞ )上的凹凸性

[

第二部分

(1) 课程名称 课程名称:微分几何 (2) 基本内容:三维空间中经典的曲线和曲面的理论。主要内容有: 基本内容 曲线论,内容包括:曲线的切向量与弧长;主法向量与从法向量;曲率 曲线论 与扰率;Frenet 标架与 Frenet 公式;曲线的局部结构;曲线论的基本定 理;平面曲线的一些整体性质,如切线的旋转指标定理,凸曲线的几何

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性质,等周不等式,四顶点定理与 Cauchy-Crofton 公式;空间曲线的一 些整体性质,如球面的 Crofton 公式,Fenchel 定理与 Fary-Milnor 定 理。 曲面的局部理论,内容包括:曲面的表示、切向量、法向量;旋转曲 曲面的局部理论 面、直纹面与可展曲面;曲面的第一基本形式与内蕴量;曲面的第二基 本形式;曲面上的活动标架与基本公式;Weingarten 变换与曲面的渐近 线、共扼线;法曲率;主方向、主曲率与曲率线;Gauss 曲率和平均曲 率;曲面的局部结构;Gauss 映照与第三基本形式;全脐曲面、极小曲 面与常 Gauss 曲率曲面;曲面论的基本定理;测地曲率与测地线;向量 的平行移动。 基本要求:通过本课程的学习,学生应掌握曲线论与曲面论中的一些基本几何 基本要求 概念与研究微分几何的一些常用方法。以便为以后进一步学习、研究现代几何 学打好基础;另一方面培养学生理论联系实际和分析问题解决问题的能力。

二、讲授纲要 第一章 三维欧氏空间的曲线论 §1 曲线 曲线的切向量 弧长 教学要求:理解曲线的基本概念、会求曲线的切向量与弧长、会用弧 长参数表示曲线。 §2 主法向量与从法向量 曲率与扰率 教学要求:理解曲率与挠率、主法向量与从法向量、密切平面与从切 平面等基本概 念,会计算曲率与挠率。 §3 Frenet 标架 Frenet 公式 教学要求:掌握 Frenet 公式,能运用 Frenet 公式去解决实际问题。 §4 曲线在一点邻近的性质 教学要求:能表达曲线在一点领域内的局部规范形式,理解扰率符号 的集合意义。 §5 曲线论基本定理 教学要求:掌握曲线论的基本定理,能求已知曲率与扰率的一些简单 的曲线。 §6 平面曲线的一些整体性质 6.1 . 6.2 . 6.3 . 关于闭曲线的一些概念 切线的旋转指标定理 凸曲线* 凸曲线

6

6.4 . 6.5 . 6.6 .

等周不等式* 等周不等式 四顶点定理* 四顶点定理 Cauchy-Crofton 公式* 公式 像、相对全曲 率、旋转指标、凸曲线。掌

教学要求:理解平面曲线的一些基本概念:闭曲线、简单曲线、切线 握平面曲线的一些整体性质:简单闭曲线切 线的旋转指标定理,凸曲线的几何性质,等周不等式,四 顶点定理与 Cauchy-Crofton 公式。 §7 空间曲线的整体性质 7.1 . 7.2 . 7.3 . 公式* 球面的 Crofton 公式 Fenchel 定理* 定理 Fary-Milnor 定理* 定理 的 Crofton 公 式,Fenchel 定理与 Fary-Milnor 定理。 第二章 三维欧氏空间中曲面的局部几何 §1 曲面的表示 切向量 法向量 . 1.1 1.2 . 1.3 . . 1.4 1.5 . 1.6 . 曲面的定义 切向量 切平面 法向量 曲面的参数表示 例 单参数曲面族 平面族的包络面 可展曲面 线;了解旋转曲面与直纹面的表示;掌握可展曲面的特 征。 §2 曲面的第一、第二基本形式 曲面的第一、 2.1 . 2.2 . 2.3 . 2.4 . 2.5 . 曲面的第一基本形式 曲面的正交参数曲线网 等距对应 曲面的内蕴几何 共形对应 曲面的第二基本形式

教学要求:理解全曲率的概念。掌握空间曲线的一些整体性质:球面

教学要求:掌握曲面的三种局部解析表示;会求曲面的切平面与法

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教学要求:掌握曲面的第一基本形式及相关量——曲面上曲线的弧 长、两相交曲线的交角与面积的计算,并理解其几何意 义;了解等距对应与共形对应;掌握第二基本形式。 §3 曲面上的活动标架 曲面的基本公式 3.1 . 3.2 . 3.3 . 3.4 . 省略和式记号的约定 曲面上的活动标架 曲面的基本公式 Weingarten 变换 W 曲面的共轭方向 渐近方向 渐近线 网的联络系数;理解 Weingarten 变换与共轭方向、渐近方 向,会求一些简单曲线的渐近曲线。 §4 曲面上的曲率 4.1 . 曲面上曲线的法曲率 主方向 主曲率 Dupin 标线 曲率线 主曲率及曲率线的计算 总曲率 平均曲率 曲率线网 曲面在一点的邻近处的形状 Gauss 映照及第三基本形式 总曲率、平均曲率满足某些性质的曲面 总曲率、 率概念与几何意义,并会对它们进行计算;掌握 Gauss 映 照及第三基本形式;能对全脐曲面与总曲率为零的曲面进 行分类;掌握极小曲面的几何意义并会求一些简单的极小 曲面。 §5 曲面的基本方程及曲面论的基本定理 5.1 . 5.2 . 曲面的基本方程 曲面论的基本定理 4.2 . 4.3 . . 4.4 4.5 . 4.6 . . 4.7 4.8 . 4.9 .

教学要求:掌握曲面上的活动标架与曲面的基本公式,能求正交参数曲线

教学要求:理解法曲率、主方向与主曲率、曲率线、总曲率和平均曲

教学要求:掌握、理解曲面的基本方程与曲面论基本定理。 §6 测地曲率 测地线 6.1 . 6.2 . . 6.3 测地曲率向量 测地曲率 计算测地曲率的 Liouville 公式 测地线

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6.4 . 6.5 . 6.6 . 6.7 .

法坐标系 测地极坐标系 测地坐标系 应用 测地扰率 Gauss-Bonnet 公式 坐标系与测地坐标系的定义及其几何意义;能用 Liouville 公式计算测地曲率与测地线;能用测地极坐标系对总曲率 为常数的曲面进行研究;理解(局部)Gauss-Bonnet 公 式。

教学要求:理解与掌握测地曲率和测地线、测地扰率、法坐标系、测地极

§7 曲面上的向量的平行移动 7.1 . 7.2 . 7.3 . 7.4 . 7.5 . 向量沿曲面上一条曲线的平行移动 绝对微分 绝对微分的性质 自平行曲线 向量绕闭曲线一周的平行移动 总曲率的又一种表示 沿曲面上曲线的平行移动与欧氏平面中平行移动的关系

教学要求:理解向量沿曲面上一条曲线的平行移动与绝对微分。

习题: 习题 1. 证明推论 2.3.1, 2. 设 X,Y 为 Banach 空间, x (t ) : [a , b] → X 是连续抽象函数, 对有界线性算子
T : X → Y ,证明: Tx 在 [a, b] 上 R -可积,并且 ∫ Tx (t )dt = T ∫ x(t )dt 。
a a b b

3. 设 C[a, b] 到 C[a, b] 中的算子 T 由 (Tx )(t ) = ∫ (1 + s 2 )[ x ( s )]2 ds 给出, T 在任一
a

t

元素 x 处是否 F -可导?若答案肯定,求导算子 T ′( x) 。 4. 设 f 是 R n 到 R 中的一个 C 1 映射。证明: f 在 x0 ∈ R n 处沿方向 h ∈ R n 的 G -微分 df ( x0 ; h) 等于 grad f (x0) hT, ?f ?f ?f ?f 这里 grad f =( , , ,? ), h = ( h1 , h2 , ? hn ) ; ?x1 ?x2 ?x3 ?x n 在 f ( x1 ;? , x3 ) = x1 x 2 + xe x3 + ? + x n ?1 x n 和 h = (1,2,3,0,0, ? ,0,1),
x0 = (n, n ? 1, ? ,3,2,1) 的情况下计算 df ( x0 ; h) ,又问: f 在 x ∈ R n 处的 F -导数
2 3 n 是什么?当 f ( x) = x1 + x 2 + x3 + ? + x n 时求 f ′( x ) 。

5. 设 T : R 2 → R 3 由 T ( x, y ) = ( x 2 ? y 2 , xy 2 + 3 y,4 x + 5 y ) 定义,求 T 在(-1, 2)处沿方向(1,-1)的 G -微分。

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? x2 ? y2 ? ? 2x ? 2 y ? ? ? ?x? ? 2 ?x? ? 2 解:写 T ? ? = ? xy + 3 y ? ,知 T ′? ? = ? y 2 xy + 3 ? ,故所求 G -微分为 ? y? ? y? ? ? ? 4x + 5 y ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? ? ? ? ? ?? 2 ? 4? ?2 ? ? ? 1??1 ? ? ? ?1 ? = ? 5 ? 。 T ′? ?? ? = ? 4 ? 1?? ? ? ? ? 2 ?? ? 1? ? ? 1? ? ?? ? ? 4 5 ?? ? ? ? 1? ? ? ? ?
6. 设 X 、 Y 是赋范线性空间, T : X → Y 由 Tx = Ax + y 0 , ?x ∈ X 定义,其 y 0 ∈ Y , A∈B(X, Y ),证明 T 在 ?x ∈ X 处 F —可微,且求其 F —导算子。 解: ?x ∈ X , ?h ∈ X , T ( x + h ) ? T ( x ) = A( x + h ) + yo ? ( Ax + yo ) = Ax + Ah + yo
? Ax ? y o = Ah + θ ,由于 A ∈ B(X, Y ),且 θ h
?1

= 0 → 0, ( h → 0), T 在 x 处是 F —

可微的,且 T ′( x) = A 。 7. 设 T : R 3 → R 2 由 T (( x, y , z ) ) = (3x 2 ? 2 y, y 2 + 2 xz ) ∈ R 2 , ?( x, y , z ) ∈ R 3 确定,求 T 在(1,2,-1)处的 F —导数。
?z ? ?z ? ? y + 2 xz ? ? ? ? ? ? 6x ? 2 0 ? 应是变换 T 的 Jacobi 矩阵 ? ? 2 z 2 y 2 x ? ,在 ( x, y , z ) = (1, 2, ? 1) 处,此矩阵为 ? ? ? ?x? 2 ?x? 解:采用列向量表示, T 将 ? y ? 变换成 ? 3 x ? 2 y ? ,故 T 在 ? y ? 处的 F —导数 ? 2 ?

? 6 ? 2 0? ? ? ? 2 4 2 ? ,在列向量表示下, T 在(1,2,-1)处的 F —导数作为线性算 ? ? ?

? h1 ? ?h ? ?h ? ? ? ? 6 ? 2 0 ?? 1 ? ? 1 ? 3 子就是此常数矩阵决定的变换: ? h2 ? ? ? ? ? 2 4 2 ?? h2 ?, ?? h2 ? ∈ R , 右端即 ? ?? ? ? ? ?h ? ? ? 3? ? h3 ? ? h3 ?
? 6h1 ? 2h2 ? 2 ? ? 2h + 4h + 2h ? ∈ R 故 T 在(1,2,-1)处的 F —导数就是将 ?(h1 , h2 , h3 ) 变换 1 2 3? ? 为 (6h1 ? 2h2 ,?2h1 + 4h2 + 2h3 ) 的线性变换。

[备注 1:这一答案保持了原题用行向量叙述的方式。]
?x? 2 ?x? [备注 2:当 T : R 3 → R 2 表示为 T ? y ? = ? 3 x ? 2 y ? ∈ R 2 , ?? y ? ∈ R 3 ,我们可得 ? 2 ? ? z ? ? y + 2 xz ? ? ? ?z ? ? ? ?x? T 在 ? y ? 处的 F —导数是: ?z ? ? ? ? ? x ?? ? 6x ? 2 0 ? ? ? x ? ?? h1 ? ? 6 x ? 2 0 ?? h1 ? ? h1 ? ? ,即 T ′? ? y ? ?? h2 ? = ? ?? h ?, ?? h ? ∈ R 3 , T ′? ? y ? ? = ? ? ? z ? ? ? 2z 2 y 2x ? ? ? z ? ?? h ? ? 2 z 2 y 2 x ?? h2 ? ? h2 ? ? ?? 3 ? ? 3 ? ?? ?? ? ? ? ? ?? 3 ? ? ? ?1 ? ?? h1 ? ? h1 ? ? 故 T ′? ? 2 ? ?? h2 ? = ? 6h1 h 2h2h + 2h ?, ?? h2 ? ∈ R 3 ? ? ? ? 1? ?? h ? ? ? 2 1 + 4 2 ?h ? 3? ? ? 3? ? ? ? ?? 3 ?

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? ?1 ? ? ? 6 ? 2 0 ? ? ,算子对向量的作用以相应的矩阵对向量的左乘表 或 T ′? ? 2 ? ? = ? ? ? ? 1? ? ? ? 2 4 2 ? ? ? ? ? ? ?

示。]

第三部分

1. 高等代数基本定理 设 K 为数域。以 K [x] 表示系数在 K 上的以 x 为变元的一元多项式的全体。 如果 f ( x) = a 0 x n + a1 x n ?1 + ...... + a n ∈ K [ x], (a 0 ≠ 0) ,则称 n 为 f (x) 的次数,记 为 deg f ( x) 。 定理(高等代数基本定理) C [x] 的任一元素在 C 中必有零点。 定理 命题 设 f ( x) = a 0 x n + a1 x n ?1 + ...... + a n , (a 0 ≠ 0,n ≥ 1) 是 C 上一个 n 次多项 式, a 是一个复数。则存在 C 上首项系数为 a 0 的 n ? 1 次多项式 q (x) ,使得 f ( x) = q ( x)( x ? a ) + f (a ) 证明 对 n 作数学归纳法。 推论 x 0 为 f (x) 的零点,当且仅当 ( x ? x 0 ) 为 f (x) 的因式(其中
deg f ( x) ≥ 1 )。

命题(高等代数基本定理的等价命题) 设 f ( x) = a 0 x n + a1 x n ?1 + ...... + a n 命题 (a 0 ≠ 0,n ≥ 1) 为 C 上的 n 次多项式,则它可以分解成为一次因式的乘积,即存 在 n 个复数 a1 , a 2 ,......, a n ,使
f ( x) = a 0 ( x ? α 1 )( x ? α 2 )......( x ? α n )

证明 利用高等代数基本定理和命题 1.3,对 n 作数学归纳法。 2.高等代数基本定理的另一种表述方式 高等代数基本定理的另一种表述方式 定义 设 K 是一个数域, x 是一个未知量,则等式 a 0 x n + a1 x n ?1 + ...... + a n ?1 x + a n = 0 (1) (其中 a 0 , a1 ,......, a n ∈ K , a 0 ≠ 0 )称为数域 K 上的一个 n 次代数方程 代数方程;如果以 代数方程
x = α ∈ K 带入(1)式后使它变成等式,则称 α 为方程(1)在 K 中的一个根。 根 定理(高等代数基本定理的另一种表述形式) 数域 K 上的 n (≥ 1) 次代数方 定理 程在复数域 C 内必有一个根。 命题 n 次代数方程在复数域 C 内有且恰有 n 个根(可以重复)。 命题(高等代数基本定理的另一种表述形式)给定 C 上两个 n 次、m 次多 命题 项式 f ( x) = a 0 + a1 x + ...... + a n x n (a n ≠ 0) , g ( x) = b0 + b1 x + ...... + bm x m (bm ≠ 0) ,

如果存在整整数 l , l ≥ m, l ≥ n ,及 l + 1 个不同的复数 β 1 , β 2 ,......, β l , β l +1 ,使得
f ( β i ) = g ( β i ) (i = 1,2,......, l + 1) ,

则 f ( x ) = g ( x) 。 1.2.2 韦达定理与实系数代数方程的根的特性

11

设 f ( x) = a0 x n + a1 x n ?1 + ? + an ,其中 ai ∈ K , a0 ≠ 0 。设 f ( x) = 0 的复根为 α1 , α 2 ,? , α n (可能有重复),则
n 1 f ( x) = ∏ ( x ? α i ) = ( x ? α1 )( x ? α 2 )? ( x ? α n ) a0 i =1

= x n ? (α1 + α 2 + ? + α n ) x n ?1 + ? + α1α 2 ?α n .

所以

a1 = (?1)1 (α 1 + α 2 + ? + α n ) ; a0
a2 = (?1) 2 ∑ α i1 α i2 ; a0 0 ≤ i1 ≤ i 2 ≤ n ???????? an = (?1) n α 1α 2 ?α n . a0

我们记

σ 0 (α 1 , α 2 , ? , α n ) = 1 ; σ 1 (α 1 , α 2 , ? , α n ) = α 1 + α 2 + ? + α n ; ???????? σ r (α 1 , α 2 , ? , α n ) =
i1 i2 0 ≤ i1 ≤ i 2 ≤?≤ ir ≤ n

∏α

α ?α i ;
r

???????? σ n (α 1 , α 2 , ? , α n ) = α 1α 2 ?α n ( σ 1 , σ 2 ,? , σ n 称为 α1 , α 2 ,? , α n 的初等对称多项式 初等对称多项式)。于是有 初等对称多项式
定理 2.5 (韦达定理) 设 f ( x) = a0 x n + a1 x n ?1 + ? + an ,其中 ai ∈ K , a0 ≠ 0 。设 f ( x) = 0 的复根为 α1 , α 2 ,? , α n 。则

a1 = (?1) 1 σ 1 (α 1 , α 2 , ? , α n ) ; a0 a2 = (?1) 2 σ 2 (α 1 , α 2 , ? , α n ) ; a0 ???????? an = (?1) n σ n (α 1 , α 2 , ? , α n ). a0 命题 给定 R 上 n 次方程 a 0 x n + a1 x n ?1 + ...... + a n ?1 x + a n = 0 , a 0 ≠ 0 , 如果 α = a + b i 是方程的一个根,则共轭复数 α = a ? b i 也是方程的根。 证明 由已知, a0α n + a1α n ?1 + ...... + an ?1α + an = 0 .
两边取复共轭,又由于 a 0 , a1 ,......, a n ∈ R,所以
a0α n + a1α n ?1 + ...... + an ?1α + an = 0 .

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高等代数试题 设 σ ∈ L(V ), ξ ∈ V ,并且 α , σ (α ) ,…, σ k ?1 (α ) 都不等于零,但 σ k (α ) = 0 , 证明: α , σ (α ) ,…, σ k ?1 (α ) 线性无关 答案:按线性无关的定义证明 2、令 Fn [ x] 表示一切次数不大于 n 的多项式连同零多项式所成的向量空间,

σ : f ( x) ? f ' ( x) ,求 σ 关于以下两个基的矩阵:
(1)1, x , x 2 ,…, x n , ( x ? c) 2 ( x ? c) n (2)1, x ? c , ,…, ,c∈ F 2! n!

?0 1 0 ? 0? ?0 0 2 ? 0? ? ? 答:(1) ?? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 0 ? n? ?0 0 0 ? 0? ? ?

?0 1 0 ? 0? ?0 0 1 ? 0? ? ? (2) ?? ? ? ? ?? ? ? ?0 0 0 ? 1? ?0 0 0 ? 0? ? ?

3、 F 4 表示数域 F 上四元列空间 取 ?1 ? 1 5 ? 1? ?1 1 ? 2 3 ? ? 对于 ξ ∈ F 4 ,令 A=? ?3 ? 1 8 1? ? ? ?1 3 ? 9 7 ? 求 dim(ker(σ )) , dim(Im(σ ))

σ (ξ ) = Aξ

解: R( A) = 2 ,取 F 4 的一个基(如标准基),按列排成矩阵 B,矩阵 AB 的 列向量恰是这个基的象。又 B ≠ 0 ,所以 R ( AB)=R(A)=2 所以 dim(Im(σ ))=2

dim(ker(σ )) = 解空间的秩 = 4 ? R( A) = 2 4、设 F 上三维向量空间的线性变换 σ 关于基 {α 1 , α 2 , α 3 }的矩阵是 β1 = 2α 1 + 3α 2 + α 3 ?15 ? 11 5? ?20 ? 15 8? ,求 σ 关于基 β = 3α + 4α + α 的矩阵 2 1 2 3 ? ? ? 8 ? 7 6? β 3 = α 1 + 2α 2 + 2α 3 ? ?

证明:(1) ?α ∈ { ? σ (ξ ) ξ ∈ V },则 ξ

?1 ? ?2 3 1 ? ? 2 ? ?1 B = T AT = ? T = ? 3 4 2? ? ? ? ?1 1 2 ? ? 3? ? ? ? ? 5、令 σ 是数域 F 上向量空间 V 的一个线性变换,并且满足条件 σ 2 = σ ,证 明:(1) ker(σ ) = { ? σ (ξ ) ξ ∈ V } (2) V = ker(σ ) ⊕ Im(σ ) ξ

σ (α ) = σ (ξ ? σ (ξ )) = σ (ξ ) ? σ 2 (ξ ) = σ (ξ ) ? σ (ξ ) = 0 , α ∈ Ker (σ ) ξ 反之, β ∈ Ker (σ ) , σ ( β ) = 0 , β = β ? σ ( β ) ∈ { ? σ (ξ ) ξ ∈ V }

13

于是

ker(σ ) = { ? σ (ξ ) ξ ∈ V } ξ

?α ∈ V , α = ξ ? σ (ξ ) + σ (ξ ) ,即 V = ker(σ ) + Im(σ ) 设 β ∈ ker(σ ) ∩ Im(σ ) 由 β ∈ Im(σ ) ,有ν ∈ V ,使得

6、设

σ (ν ) = β , σ 2 (ν ) = σ ( β ),因σ 2=σ,所以σ(ν)=σ(β) 又 β ∈ ker(σ ) , 所以 σ(β )=0,于是σ(ν)=0 ,即 β=0 所以 ker(σ ) ∩ Im(σ )=0 6 0? ?4 ?? 3 ? 5 0? ,求 A10 A=? ? ?? 3 ? 6 1? ? ?

解:特征值 λ1=λ 2=1,λ3= ? 2 特征向量 ξ1=(0,1) ξ 2=( ? 2,0) , ξ 3=( ? 1,1) 0, T 1, T 1, T P=(ξ1,ξ 2,ξ 3) 则 P ?1 AP = Λ, 10 = PΛ10 P ?1 A

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