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高中数学复习专题讲座(第1讲)对集合的理解及集合思想应用的问题


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题目 高中数学复习专题讲座 对集合的理解及集合思想应用的问题 高考要求 集合是高中数学的基本知识, 为历年必考内容之一, 主要考查对集合基 本概念的认识和理解,以及作为工具,考查集合语言和集合思想的运用 本 节主要是帮助考生运用集合的观点,不断加深对集合概念,集合语言,集合 思想的理解与应用 重难点归纳 重难点归纳 1 解答集合问题,首先要正确理解集合有关概念,特别是集合中元素 的三要素; 对于用描述法给出的集合{x|x∈P},要紧紧抓住竖线前面的代表元 素 x 以及它所具有的性质 P;要重视发挥图示法的作用,通过数形结合直观 地解决问题 2 注意空集 的特殊性,在解题中,若未能指明集合非空时,要考虑 到空集的可能性,如 A B,则有 A= 或 A≠ 两种可能,此时应分类讨论
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典型题 示范讲解 典型题例示范讲解 例 1 设 A={(x,y)|y2-x-1=0},B={(x,y)|4x2+2x-2y+5=0},C={(x,y)|y=kx+b}, 是否存在 k,b∈N,使得(A∪B)∩C= ,证明此结论 命题意图 本题主要考查考生对集合及其符号的分析转化能力,即能从 集合符号上分辨出所考查的知识点,进而解决问题 知识依托 解决此题的闪光点是将条件(A∪B)∩C= 转化为 A∩C= 且 B∩C= ,这样难度就降低了 错解分析 此题难点在于考生对符号的不理解,对题目所给出的条件不 能认清其实质内涵,因而可能感觉无从下手 技巧与方法 由集合 A 与集合 B 中的方程联立构成方程组, 用判别式对 根的情况进行限制,可得到 b,k 的范围,又因 b,k∈N,进而可得值 解 ∵(A∪B)∩C= ,∴A∩C= 且 B∩C=
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y2 = x +1 ∵ y = kx + b

∴k2x2+(2bk-1)x+b2-1=0

∵A∩C= ∴Δ1=(2bk-1)2-4k2(b2-1)<0 ∴4k2-4bk+1<0,此不等式有解, 其充要条件是 16b2-16>0, 即 b2>1 ①

4 x 2 + 2 x 2 y + 5 = 0 ∵ y = kx + b
∴4x2+(2-2k)x+(5+2b)=0 ∵B∩C= ,∴Δ2=(1-k)2-4(5-2b)<0
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∴k2-2k+8b-19<0, 从而 8b<20, ② 即 b<2 5 由①②及 b∈N,得 b=2 代入由Δ1<0 和Δ2<0 组成的不等式组,得
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4k 2 8k + 1 < 0, 2 k 2 k 3 < 0
∴k=1,故存在自然数 k=1,b=2,使得(A∪B)∩C= 例 2 向 50 名学生调查对 A,B 两事件的态度,有如下结果 赞成 A 的 人数是全体的五分之三,其余的不赞成,赞成 B 的比赞成 A 的多 3 人,其 余的不赞成;另外,对 A,B 都不赞成的学生数比对 A,B 都赞成的学生数 B 的三分之一多 1 人 问对 A, 都赞成的学生和都不赞成的学生各有多少人? 命题意图 在集合问题中,有一些常用的方法如数轴法取交并集,韦恩 图法等,需要考生切实掌握 本题主要强化学生的这种能力 知识依托 解答本题的闪光点是考生能由题目中的条件,想到用韦恩图 直观地表示出来 错解分析 本题难点在于所给的数量关系比较错综复杂,一时理不清头 绪,不好找线索 技巧与方法 画出韦恩图,形象地表示出各数量关系间的联系
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3 =30,赞成 U 5 A B B 的人数为 30+3=33, 如上图,记 50 名学生 X 组成的集合为 U, 赞成事件 A 的学生全体为 33-X 30-X 集合 A;赞成事件 B 的学生全体为集合 B X +1 3 设对事件 A,B 都赞成的学生人数为 x, x 则对 A,B 都不赞成的学生人数为 +1,赞成 A 而不赞成 B 的人数为 30-x, 3 赞成 B 而不赞成 A 的人数为 33-x x 依题意(30-x)+(33-x)+x+( +1)=50,解得 x=21 3 所以对 A,B 都赞成的同学有 21 人,都不赞成的有 8 人 例 3 已知集合 A={(x,y)|x2+mx-y+2=0},B={(x,y)|x-y+1=0,且 0≤x≤2}, 如果 A∩B≠ ,求实数 m 的取值范围
解 赞成 A 的人数为 50×
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x 2 + mx y + 2 = 0 解 由 x y + 1 = 0(0 ≤ x ≤ 2)
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得 x2+(m-1)x+1=0



∵A∩B≠ ∴方程①在区间[0,2]上至少有一个实数解 首先,由Δ=(m-1)2-4≥0,得 m≥3 或 m≤-1,当 m≥3 时,由 x1+x2=
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

-(m-1)<0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有负根,不符合要求 当 m≤-1 时,由 x1+x2=-(m-1)>0 及 x1x2=1>0 知,方程①只有正根, 且必有一根在区间(0,1]内,从而方程①至少有一个根在区间[0,2]内 故所求 m 的取值范围是 m≤-1 学生巩固 巩固练习 学生巩固练习
新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特特 特特特 王 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新
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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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特特特特 特 特 特特特特王 特特王 王王新特特 新 王王 王王 新新
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kπ π kx π + ,k∈Z},N={x|x= + ,k∈Z},则( ) 2 4 4 2 A M=N B M N C M N D M∩N= 2 已知集合 A={x|-2≤x≤7},B={x|m+1<x<2m-1}且 B≠ ,若 A∪ B=A,则( ) B -3<m<4 C 2<m<4 D 2<m≤4 A -3≤m≤4 2 3 已知集合 A={x∈R|ax -3x+2=0,a∈R},若 A 中元素至多有 1 个,则 a 的取值范围是_________ x y 4 x,y∈R,A={(x,y)|x2+y2=1},B={(x,y)| =1,a>0,b>0},当 A∩B 只 a b 有一个元素时,a,b 的关系式是_________ 5 集合 A={x|x2-ax+a2-19=0},B={x|log2(x2-5x+8)=1},C={x|x2+2x- 8=0},求当 a 取什么实数时,A∩B 和 A∩C= 同时成立 6 已知{an}是等差数列,d 为公差且不为 0,a1 和 d 均为实数,它的前 S 1 2 2 n 项和记作 Sn,设集合 A={(an, n )|n∈N*},B={(x,y)| x -y =1,x,y∈R} n 4 试问下列结论是否正确,如果正确,请给予证明;如果不正确,请举例 说明 (1)若以集合 A 中的元素作为点的坐标,则这些点都在同一条直线上; (2)A∩B 至多有一个元素; (3)当 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ 1 7 已知集合 A={z||z-2|≤2,z∈C},集合 B={w|w= zi+b,b∈R},当 A∩ 2 B=B 时,求 b 的值 8 设 f(x)=x2+px+q,A={x|x=f(x)},B={x|f[f(x)]=x} (1)求证 A B; (2)如果 A={-1,3},求 B 参考答案 1 解析 对 M 将 k 分成两类 k=2n 或 k=2n+1(n∈Z), π 3π M={x|x=nπ+ ,n∈Z}∪{x|x=nπ+ ,n∈Z}, 4 4 对 N 将 k 分成四类,k=4n 或 k=4n+1,k=4n+2,k=4n+3(n∈Z),
1 集合 M={x|x=
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
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新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王







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新新新 源源源源源源新源 源 新新源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王新王王特王 特特特 特 新 王新王王 王 新 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特特 新王王 王 新 王新王王 王 新

N={x|x=n π + {x|x=nπ+
源 源 源

π
2

,n∈Z}∪{x|x=n π +
新新新 源源源源源源源源 源 新新新 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王新王新 王 王

3π ,n∈Z}∪{x|x=n π + π ,n∈Z}∪ 4

5π ,n∈Z} 4 答案 C 2 解析 ∵A∪B=A,∴B A,又 B≠ ,
新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源源源源源源源源 源 特 特特特特特 特王特特特特王 新王新 特 王 王新王新 王 王

新新 新新 新新 新新
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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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m + 1 ≥ 2 ∴ 2 m 1 ≤ 7 即 2<m≤4 m + 1 < 2 m 1
答案 D
源 源 源

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

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3 a=0 或 a≥
新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王
源 源 源

9 8

4 解析 由 A∩B 只有 1 个交点知,圆 x2+y2=1 与直线
新新 新新 新新 新新
源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

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特特特特 特 特 特特特特 特特 特特 王王新 王 新王 王王 王王 新新
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x y =1 相切, a b

则 1=

ab a +b
2
源 源 源

2

,即 ab= a 2 + b 2

新新新 源源源源 源 源源源源 新新 新新 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特王王 王王 特特 新新 特特 特特 王王 新新 王王 新新新 源新新源 源 源源源源 源新新 源 源源源源 源源源源 源源 源源 特特特特 特特 特特特特 特特王 王特特 新王 王 新 王王 新新 王王

答案 ab= a 2 + b 2
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源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源 源

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5 解 log2(x2-5x+8)=1,由此得 x2-5x+8=2, ∴B={2,3} 由 x2+2x-8=0, ∴C={2,-4},又 A∩C= , 和-4 都不是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 ∴2 的解,而 A∩B ,即 A∩B≠ , ∴3 是关于 x 的方程 x2-ax+a2-19=0 的解,∴可得 a=5 或 a=-2 当 a=5 时,得 A={2,3},∴A∩C={2},这与 A∩C= 不符合,所以 A∩B , a=5(舍去); a=-2 时, 当 可以求得 A={3, -5}, 符合 A∩C= , ∴a=-2
源 源 源

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n( a1 + a n ) S 1 ,则 n = (a1+an),这 2 n 2 S S 1 表明点(an, n )的坐标适合方程 y = (x+a1),于是点(an, n )均在直线 n 2 n 1 1 y= x+ a1 上 2 2
6 解 (1)正确 在等差数列{an}中,Sn=
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1 1 y = 2 x + 2 a1 (2)正确 设(x,y)∈A∩B,则(x,y)中的坐标 x,y 应是方程组 1 x2 y2 = 1 4 2 * 的解,由方程组消去 y 得 2a1x+a1 =-4( ),当 a1=0 时,方程(*)无解,此时
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A∩B= ;当 a1≠0 时,方程(*)只有一个解 x=

4 a1 ,此时,方程组也只 2a1
2

2 4 a1 y= 2a1 有一解 ,故上述方程组至多有一解 2 y = a1 4 4a1

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∴A∩B 至多有一个元素
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Sn >0, n 这时集合 A 中的元素作为点的坐标, 其横, 纵坐标均为正, 另外, 由于 a1=1 ≠0 如果 A∩B≠ ,那么据(2)的结论,A∩B 中至多有一个元素(x0,y0),
(3)不正确 取 a1=1,d=1,对一切的 x∈N*,有 an=a1+(n-1)d=n>0,
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而 x0=

a + x0 3 4 a1 2 = <0,这样的(x0,y0) A,产生矛盾, = <0,y0= 1 2a1 5 2 4
2
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故 a1=1,d=1 时 A∩B= ,所以 a1≠0 时,一定有 A∩B≠ 是不正确的 7 解 由 w=
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1 2 w 2b zi+b 得 z= , 2 i 2 w 2b ∵z∈A,∴|z-2|≤2,代入得| -2|≤2,化简得|w-(b+i)|≤1 i ∴集合 A,B 在复平面内对应的点的集合是两个圆面,集合 A 表示以点 (2,0)为圆心,半径为 2 的圆面,集合 B 表示以点(b,1)为圆心,半径为 1 的圆面 又 A∩B=B,即 B A,∴两圆内含
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因此 (b 2) 2 + (1 0) 2 ≤2-1,即(b-2)2≤0,∴b=2
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8 (1)证明 设 x0 是集合 A 中的任一元素,即有 x0∈A ∵A={x|x=f(x)},∴x0=f(x0) 即有 f[f(x0)]=f(x0)=x0,∴x0∈B,故 A B
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(2)证明 ∵A={-1,3}={x|x2+px+q=x}, ∴方程 x2+(p-1)x+q=0 有两根-1 和 3,应用韦达定理,得
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1 + 3 = ( p 1), p = 1 ( 1) × 3 = q q = 3
∴f(x)=x2-x-3 于是集合 B 的元素是方程 f[f(x)]=x, 也即(x2-x-3)2-(x2-x-3)-3=x (*) 的根
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将方程(*)变形,得(x2-x-3)2-x2=0 解得 x=1,3, 3 ,- 3
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故 B={- 3 ,-1, 3 ,3} 课前后备注
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