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高中数学 1.3.1函数的最大(小)值精讲精析 新人教A版必修1


课题:1.3.1 函数的最大(小)值 精讲部分
学习目标展示 1. 理解函数的最大(小)值的概念及其几何意义; 2. 会由函数的单调性及函数的图象求函数的最值; 3. 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 衔接性知识 1. 已知函数 f ( x) ? kx ? b ( k ? 0)是增函数, 则实数 k 的取值范围是 (0 , ? ? );f ( x ) 是 减函数,则实数 k 的取值范围是 (?? , 0) 2. 函数 f ( x) ?

x2 ? 2 x 增区间为 [2 , ? ? ),减区间为 (? ? , 0]

x 的图象并写出函数的单调区间 1? x x (1? x ) ? 1 1 1 ? ? 1? 解: f ( x ) ? ,将 y ? ? 的图象先向左平移 1 个单位,然后 1? x 1? x x?1 x x 再向上平移 1 个单位就得到了 f ( x ) ? 的图象 1? x x 由图象可知, f ( x ) ? 在 (?1, ? ?) 与 (?? , ? 1) 上均递增,所 1? x
3. 画出函数 f ( x ) ? 以单调增区间为 (? 1 , ? ? )和 (?? , ? 1)

基础知识工具箱

要点

定义

符号

设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I , 如果存在 实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都 最大值 有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 那么称 M 是函数 y ? f ( x) f ( x0 ) ? M 。 的最大值 设函数 y ? f ( x) 的定义域为 I , 如果存在 实数 M 满足: (1)对于任意的 x ? I ,都 最小值 有 f ( x) ? M ; (2)存在 x0 ? I ,使得 称 M 是函数 y ? f ( x) f ( x0 ) ? M 那么, 的最大值 函数的单调 性与最值 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b] 上单调递增,则函数 ymax ? f (b) , ymin ? f (a) ; 如果函数 y ? f ( x) 在区间 [a , b] 上单调递减,则函数 ymax ? f (a) , ymin ? f (b)

M ? [ f ( x)]max

M ? [ f ( x)]min

恒成立问题

a ? f ( x) 恒成立 ? a ? [ f ( x)]max ; a ? f ( x) 恒成立 ? a ? [ f ( x)]min
对于二次函数 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) 在区间 [m , n] 上最值问题,有 以下
2

二次函数在 闭区间上的 最值

结论: ①若 h ? [m , n] ,则 ymin ? f (h) ? k , ymax ? max{ f (m) , f (n)} ② 若 h ? [m , n] , 则 ymin ? min{ f (m) , f (n)} , ymax ? max{ f (m) , f (n)}

(a ? 0 时可仿此讨论 )
典例精讲剖析 例 1. 一个星级旅馆有 150 个标准房,经过一段时间的经营,经理得到一些定价和住房率的 数据如下: 房价(元) 160 140 住房率(%) 55 65

120 100

75 85

欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解:设 y 为旅馆一天的客房总收入, x 为与房价 160 相比降低的房价,因此当房价为

x ?10)% .于是得 20 x 3 3 75 y ? 150 ? (55 ? ?10)% ? (160 ? x) ? ? x 2 ? x ? 1320 ? ? ( x ? 25) 2 ? 13688.75 20 4 4 2 x ?10)% ? 1 ,解得 0 ? x ? 90 由已知,得 (55 ? 20
(160 ? x) 元时,住房率为 (55 ?
所以当 x =25 时 y 取得最大值 13688.75 (元) ,此时房价定位应是 160-25=135(元) , 相应的住房率为 67.5%,最大住房总收入为 13668.75(元) . 所以该客房定价应为 135 元. 例 2.已知函数 f ( x) ?

x ?1 ( x ? [2 , 6]) x ?1

(1)判断 f ( x ) 的单调性,并证明; (2)求 f ( x ) 的最大值与最小值 解: ( 1 ) f ( x) ?

2 x ? 1 ( x ? 1) ? 2 2 ? ? 1? ,由 y ? 在 [2 , 6] 递减,可知 f ( x ) 在 x ?1 x ?1 x ?1 x ?1

[2 , 6] 递减。证明如下:
设 2 ? x1 ? x2 ? 6 ,则

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (1 ?

2[( x2 ? 1) ? ( x1 ? 1)] 2( x2 ? x1 ) 2 2 ) ? (1 ? ) ? ? x1 ? 1 x2 ? 1 ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ( x1 ? 1)( x2 ? 1)

由 2 ? x1 ? x2 ? 6 ,得 x2 ? x1 ? 0 , ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,从而 f ( x ) 在 [2 , 6] 递减 (2)由(1)知, f ( x ) 在 [2 , 6] 递减 所以 f ( x ) 的最小值 ymin ? f (6) ? 例 3. 已知函数 f ( x) ? 的取值范围
2 解: 对任意 x ?[1, ? ?) 有 f ( x) ? 0 恒成立 ? x ? 2 x ? a ? 0 对任意 x ?[1, ? ?) 恒成

6 ?1 7 2 ?1 ? , f ( x) 的最大值 ymax ? f (2) ? ?3 6 ?1 5 2 ?1

x2 ? 2x ? a , 若对任意 x ?[1, ? ?) , f ( x) ? 0 恒成立, 试求实数 a x

立 ? a ? ? x 2 ? 2 x 对任意 x ?[1, ? ?) 恒成立,设 g ( x) ? ? x 2 ? 2 x ,则 a ? [ g ( x)]max 而 g ( x) ? ? x2 ? 2 x ? ?( x ? 1)2 ?1,由 g ( x) 的图象可知, g ( x) 在 [1, ? ?) 上是减函数 ∴当 x ? 1 时, [ g ( x)]max ? g (1) ? ?3 , 于是当且仅当 a ? ?3 时,函数 f (x)>0 恒成立,即实数 a 的取值范围为 (?3 , ? ?) . 例 4.已知函数 f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ( x ?[t , t ? 2]) (1) 若 t ? ?2 , 求 f ( x ) 的最小值; (2) 若t ? ?

1 , 求 f ( x ) 的最小值; (3) 若t ? 2, 求 f ( x) 2

的最小值; (4)若 t ? R 时, f ( x ) 的最小值为 g (t ) ,求 g (t ) 的表达式 解:∵ f ( x) ? x2 ? 2x ? 3 ? ( x ?1)2 ? 4 ,? 对称轴 x ? 1 ,

f ( x) 的图象如图:
(1)若 t ? ?2 ,则 f ( x ) 在 [ ?2 , 0] 上递减, f ( x ) 的最小值 为 f (0) ? ?3 ; (2)若 t ? ?

1 1 3 ,则 f ( x ) 在 [ ? , 1] 上递减, f ( x ) 在 [1 , ] 上递减,所以 f ( x ) 的最小值 2 2 2

为 f (1) ? ?4 ; (3)若 t ? 2 ,则 f ( x ) 在 [2 , 4] 上递增, f ( x ) 的最小值为 f (2) ? ?3 ; (4)当 t ? 2 ? 1 即 t ? ?1 时, f ( x ) 在 [t , t ? 2] 上递减, f ( x ) 的最小值为

f (t ? 2) ? t 2 ? 2t ? 3 .
2 当 t ? 1 时, f ( x ) 在 [t , t ? 2] 上递增, f ( x ) 的最小值为 f (t ) ? t ? 2t ? 3 .

当 t ? 1 ? t ? 2 即 ?1 ? t ? 1时, 则 f ( x ) 在 [t , 1] 上递减, f ( x ) 在 [1, t ? 2] 上递减, 所以 f ( x ) 的最小值为 f (1) ? ?4 ,

?t 2 ? 2t ? 3 ? 从而 g (t ) 的表达式为 g (t ) ? ??4 ?t 2 ? 2t ? 3 ?

(t ? ?1) (?1 ? t ? 1) (t ? ?1)

精练部分 A 类试题(普通班用) 3x+2 1. 函数 y= (x≠2)的值域是( x-2 A.[2,+∞) [答案] D 3x+2 3(x-2)+8 8 8 [解析] y= = =3+ ,由于 ≠0,∴y≠3,故选 D. x-2 x-2 x-2 x-2 2.已知函数 f(x)= B.(-∞,2] ) C.{y|y∈R 且 y≠2} D.{y|y∈R 且 y≠3}

x2+2x+3 (x∈[2,+∞)), x (1)证明函数 f(x)为增函数.(2)求 f(x)的最小值.
3 [解析] 将函数式化为:f(x)=x+ +2

x

(1)任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2,

f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-
∵x1<x2, ∴x1-x2<0,

3

x1x2

).

又∵x1≥2,x2>2,∴x1x2>4,1-

3

x1x2

>0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即:f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数. 11 (2)当 x=2 时,f(x)有最小值 2 3.求函数 f(x)=-x +|x|的单调区间.并求函数 y=f(x)在[-1,2]上的最大、小值. [解析] 由于函数解析式含有绝对值符号,因此先去掉绝对值符号化为分段函数,然
2

后作出其图象,由图象便可以直观地判断出其单调区间.再据图象求出最值.
?-x +x(x≥0) ? (1)∵f(x)=-x +|x|=? 2 ?-x -x(x<0) ?
2 2

1 1 ? ?-(x-2) +4 即 f(x)=? 1 1 ?-(x+2) +4 ?
2 2

(x≥0) (x<0)

作出其在[-1,2]上的图象如图所示

1 1 1 1 由图象可知,f(x)的递增区间为(-∞,- )和[0, ],递减区间为[- ,0]和[ ,+ 2 2 2 2 ∞). 1 1 1 (2)由图象知:当 x=- 或 时,f(x)max= ,当 x=2 时,f(x)min=-2 2 2 4 4.已知 A ? [1, b] (b ? 1) ,对于函数 f ( x) ? 求 b 的值 解:函数 f ( x) ? ( x ? 2)2 ? 1的图象是开口方向向上,顶点坐标是(1,1),对称轴是 x ? 1 的 抛物线.因此,当 x ? [1 , b] 时, f ( x ) 是增函数. ∴当 x ? b 时, f ( x ) 取最大值 f (b) ,故 f (b) ? b ,即
2 整理得 b ? 4b ? 3 ? 0 ,解得 b ? 1 或 b ? 3 .

1 ( x ? 1) 2 ? 1 ,若 f ( x) 定义域与值域均为 A , 2

1 (b ? 1) 2 ? 1 ? b , 2

∵ b ? 1 ,∴ b ? 3

5.某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元,已 1 ? ?400x- x2(0≤x≤400), 2 知总收益满足函数:R(x)=? ? (x>400), ?80000 (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+ 利润) [解析] (1)设月产量为 x 台,则总成本为 u(x)=20000+100x,从而 f(x)=R(x)-

其中 x 是仪器的月产量.

u(x),
1 ? ?- x2+300x-20000(0≤x≤400), 2 即 f(x)=? ? (x>400). ?60000-100x 1 2 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300) +25000, 2

∴当 x=300 时, 有最大值 25 000; 当 x>400 时, f(x)=60000-100x 是减函数, f(x)<60000 -100×400=20 000.∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000.

B 类试题(3+3+4) (尖子班用)
? ?2x+6 x∈[1,2] 1.函数 f(x)=? ?x+7 x∈[-1,1] ?

,则 f(x)的最大值、最小值分别为( D.以上都不对

)

A.10,6 [答案] A [解析]

B.10,8

C.8,6

分段函数的最大值为各段上最大值中的最大者,最小值为各段上最小值中的最小

者.当 1≤x≤2 时,8≤2x+6≤10,当-1≤x≤1 时,6≤x+7≤8.∴f(x)min=f(-1)=6,

f(x)max=f(2)=10.故选 A.
3x+2 2. 函数 y= (x≠2)的值域是( x-2 A.[2,+∞) [答案] D 3x+2 3(x-2)+8 8 8 [解析] y= = =3+ ,由于 ≠0,∴y≠3,故选 D. x-2 x-2 x-2 x-2 3.已知函数 f(x)=x +bx+c 的图象的对称轴为直线 x=1,则( A . f( - 1)<f(1)<f(2) D.f(1)<f(-1)<f(2) [答案] B [解析] 因为二次函数图象的对称轴为直线 x=1,所以 f(-1)=f(3).又函数 f(x)的图象 为开口向上的抛物线,知 f(x)在区间[1 ,+∞ )上为增函数,故 f(1)<f(2)<f(3) = f(- 1).故选 B. 4. 函数 y=|x-3|-|x+1|有的最大值 ,最小值 B . f(1)<f(2)<f( - 1)
2

) C.{y|y∈R 且 y≠2} D.{y|y∈R 且 y≠3}

B.(-∞,2]

) C . f(2)<f( - 1)<f(1)

-4 (x≥3) ? ? [解析] y=|x-3|-|x+1|=?2-2x (-1<x<3) ? (x≤-1) ?4 4,4],从而最大值为 ?4 ,最小值为 4

,画出函数的图象,可知 y∈[-

5. 函数 y=-x -10x+11 在区间[-1,2]上的最小值是________. [答案] -13 [解析] 函数 y=-x -10x+11=-(x+5) +36 在[-1,2]上为减函数,
2 2

2

当 x=2 时,ymin=-13. 6. 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 在 区 间 [ - 2,3] 上 的 最 大 值 为 6 , 则 a 的 值 为 ________ [答案]

1 或 ?5 3

[解析] f ( x) ? ax2 ? 2ax ? 1 ? a( x ? 1)2 ? 1 ? a ,对称轴 x ? ?1 , 当 a ? 0 时,图象开口向上,在 [ - 2,3] 上的最大值为 f (3) ? a(3 ? 1)2 ? 1 ? a ? 6 ,所以

a?

1 ; 3

当 a ? 0 时,图象开口向下,在[-2,3]上的最大值为 f (?1) ? 1 ? a ? 6 ,所以 a ? ?5

x2+2x+3 7.已知函数 f(x)= (x∈[2,+∞)), x (1)证明函数 f(x)为增函数.(2)求 f(x)的最小值.
3 [解析] 将函数式化为:f(x)=x+ +2

x

(1)任取 x1,x2∈[2,+∞),且 x1<x2,

f(x1)-f(x2)=(x1-x2)(1-
∵x1<x2, ∴x1-x2<0,

3

x1x2

).

又∵x1≥2,x2>2,∴x1x2>4,1-

3

x1x2

>0.

∴f(x1)-f(x2)<0,即:f(x1)<f(x2). 故 f(x)在[2,+∞)上是增函数. 11 (2)当 x=2 时,f(x)有最小值 . 2 8. 求函数 f(x)=-x +|x|的单调区间.并求函数 y=f(x)在[-1,2]上的最大、小值. [解析] 由于函数解析式含有绝对值符号,因此先去掉绝对值符号化为分段函数,然
2

后作出其图象,由图象便可以直观地判断出其单调区间.再据图象求出最值.
? ?-x +x(x≥0) (1)∵f(x)=-x +|x|=? 2 ?-x -x(x<0) ?
2 2

1 1 -(x- ) + ? ? 2 4 即 f(x)=? 1 1 -(x+ ) + ? ? 2 4
2 2

(x≥0) (x<0)

作出其在[-1,2]上的图象如图所示

1 1 1 1 由图象可知,f(x)的递增区间为(-∞,- )和[0, ],递减区间为[- ,0]和[ ,+ 2 2 2 2 ∞). 1 1 1 (2)由图象知:当 x=- 或 时,f(x)max= ,当 x=2 时,f(x)min=-2. 2 2 4 9. 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20000 元,每生产一台仪器需增加投入 100 元, 1 ? ?400x- x2(0≤x≤400), 2 已知总收益满足函数:R(x)=? ? (x>400), ?80000 (1)将利润表示为月产量的函数 f(x); (2)当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元?(总收益=总成本+ 利润) [解析] (1)设月产量为 x 台,则总成本为 u(x)=20000+100x,从而 f(x)=R(x)-

其中 x 是仪器的月产量.

u(x),
1 ? ?- x2+300x-20000(0≤x≤400), 2 即 f(x)=? ? (x>400). ?60000-100x 1 2 (2)当 0≤x≤400 时,f(x)=- (x-300) +25000, 2 ∴当 x=300 时,有最大值 25 000;当 x>400 时,f(x)=60000-100x 是减函数,f(x)< 60000-100×400=20 000.∴当 x=300 时,f(x)的最大值为 25 000. 10. 已知 A ? [1, b] (b ? 1) ,对于函数 f ( x) ? 求 b 的值 解:函数 f ( x) ? ( x ? 2) ? 1的图象是开口方向向上,顶点坐标是(1,1),对称轴是 x ? 1 的
2

1 ( x ? 1) 2 ? 1,若 f ( x) 定义域与值域均为 A , 2

抛物线.因此,当 x ? [1 , b] 时, f ( x ) 是增函数. ∴当 x ? b 时, f ( x ) 取最大值 f (b) ,故 f (b) ? b ,即 整理得 b2 ? 4b ? 3 ? 0 ,解得 b ? 1 或 b ? 3 . ∵ b ? 1 ,∴ b ? 3

1 (b ? 1) 2 ? 1 ? b , 2


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