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高二数学(理)《简单曲线的极坐标方程》(课件)


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制作 09

2010年上学期 年上学期

1. 圆的极坐标方程

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曲线的极坐标方程 一、定义:如果曲线C上的点与方程 定义:如果曲线 上的点与方程 f(ρ,θ)=0有如下关系 有如下关系 (1) 曲线 上任一点的坐标 所有坐标 曲线C上任一点的坐标 上任一点的坐标(所有坐标 中至少有一个)符合方程 中至少有一个 符合方程 ρ,θ)=0; 符合方程f( ; (2) 方程 ρ,θ)=0的所有解为坐标的 方程f( 的所有解为坐标的 点都在曲线C上 点都在曲线 上。 则曲线C的方程是 则曲线 的方程是f(ρ,θ)=0。 的方程是 。
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[探究 如图,半径为 的圆的圆 探究1] 如图,半径为a的圆的圆 探究 心坐标为(a,0)(a>0),你能用一个等式 , 心坐标为 表示圆上任意一点的极坐标(ρ θ 满足 表示圆上任意一点的极坐标 ρ,θ)满足 的条件? 的条件? O

C(a,0)
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x
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[探究 如图,半径为 的圆的圆 探究1] 如图,半径为a的圆的圆 探究 心坐标为(a,0)(a>0),你能用一个等式 , 心坐标为 表示圆上任意一点的极坐标(ρ θ 满足 表示圆上任意一点的极坐标 ρ,θ)满足 的条件? 的条件? O M

C(a,0)
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x
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[探究 如图,半径为 的圆的圆 探究2] 如图,半径为a的圆的圆 探究 心坐标为(a,θ0)(a>0),你能用一个等 心坐标为 , 式表示圆上任意一点的极坐标(ρ θ 满 式表示圆上任意一点的极坐标 ρ,θ)满 足的条件? 足的条件?

O
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C(a, θ0) x
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[探究 如图,半径为 的圆的圆 探究2] 如图,半径为a的圆的圆 探究 心坐标为(a,θ0)(a>0),你能用一个等 心坐标为 , 式表示圆上任意一点的极坐标(ρ θ 满 式表示圆上任意一点的极坐标 ρ,θ)满 足的条件? 足的条件? M

O
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C(a, θ0) x
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[例1] 已知圆 的半径为 ,建立怎 例 已知圆O的半径为 的半径为r, 样的坐标系, 样的坐标系,可以使圆的极坐标方程更 简单? 简单?

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题组练习1 题组练习 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为 ; 中心在极点, 中心在极点 半径为2; (2)中心在 中心在C(a,0),半径为 ; 中心在 ,半径为a; (3)中心在 π/2),半径为a; 中心在(a, ,半径为 ; 中心在 (4)中心在 ρ0,θ0),半径为 。 中心在C(ρ θ ,半径为r。 中心在
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2010年上学期 年上学期

题组练习1 题组练习 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为 ; 中心在极点, 中心在极点 半径为2; ρ=2 (2)中心在 中心在C(a,0),半径为 ; 中心在 ,半径为a; (3)中心在 π/2),半径为a; 中心在(a, ,半径为 ; 中心在 (4)中心在 ρ0,θ0),半径为 。 中心在C(ρ θ ,半径为r。 中心在
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2010年上学期 年上学期

题组练习1 题组练习 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为 ; 中心在极点, 中心在极点 半径为2; ρ=2 (2)中心在 中心在C(a,0),半径为 ; 中心在 ,半径为a; ρ=2acosθ θ (3)中心在 π/2),半径为a; 中心在(a, ,半径为 ; 中心在 (4)中心在 ρ0,θ0),半径为 。 中心在C(ρ θ ,半径为r。 中心在
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题组练习1 题组练习 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为 ; 中心在极点, 中心在极点 半径为2; ρ=2 (2)中心在 中心在C(a,0),半径为 ; 中心在 ,半径为a; ρ=2acosθ θ (3)中心在 π/2),半径为a; 中心在(a, ,半径为 ; 中心在 ρ=2asinθ θ (4)中心在 ρ0,θ0),半径为 。 中心在C(ρ θ ,半径为r。 中心在
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题组练习1 题组练习 求下列圆的极坐标方程 (1)中心在极点,半径为 ; 中心在极点, 中心在极点 半径为2; ρ=2 (2)中心在 中心在C(a,0),半径为 ; 中心在 ,半径为a; ρ=2acosθ θ (3)中心在 π/2),半径为a; 中心在(a, ,半径为 ; 中心在 ρ=2asinθ θ (4)中心在 ρ0,θ0),半径为 。 中心在C(ρ θ ,半径为r。 中心在 )=r ρ2+ρ02-2 ρ ρ0cos(θ-θ0制作 092 ρ θ

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练习2 极坐标方程分别是ρ=cosθ 练习 极坐标方程分别是 的两个圆的圆心距是多少? 和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少 的两个圆的圆心距是多少

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练习2 极坐标方程分别是ρ=cosθ 练习 极坐标方程分别是 的两个圆的圆心距是多少? 和ρ=sinθ的两个圆的圆心距是多少 的两个圆的圆心距是多少

2 2

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练习3 以极坐标系中的点(1,1)为圆 练习 以极坐标系中的点 为圆 心,1为半径的圆的方程是 为半径的圆的方程是

A. ρ = 2cos(θ ) B. ρ = 2sin(θ ) 4 4 C. ρ = 2cos(θ 1)
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π

π

D. ρ = 2sin(θ 1)
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练习3 以极坐标系中的点(1,1)为圆 练习 以极坐标系中的点 为圆 心,1为半径的圆的方程是 为半径的圆的方程是 C

A. ρ = 2cos(θ ) B. ρ = 2sin(θ ) 4 4 C. ρ = 2cos(θ 1)
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π

π

D. ρ = 2sin(θ 1)
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***小结 小结*** 小结 1. 曲线的极坐标方程概念 2. 怎样求曲线的极坐标方程 3. 圆的极坐标方程

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2.直线的极坐标方程 直线的极坐标方程

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1. 负极径的定义

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1. 负极径的定义 说明:一般情况下, 说明:一般情况下,极径都是正 值;在某些必要情况下,极径也可以 在某些必要情况下, 取负值。 取负值。(?)

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1. 负极径的定义 说明:一般情况下, 说明:一般情况下,极径都是正 值;在某些必要情况下,极径也可以 在某些必要情况下, 取负值。 取负值。(?) 对于点M(ρ,θ)负极径时的规定: 负极径时的规定: 对于点 ρ 负极径时的规定 [1] 作射线 ,使∠XOP= θ 作射线OP, [2]在OP的反向 在 的反向 延长线上取一点 M,使|OM|= |ρ| , ρ
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P θ O M
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X
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2. 负极径的实例 在极坐标系中画出点M(- , 在极坐标系中画出点 -3,π/4) 的位置

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2. 负极径的实例 在极坐标系中画出点M(- , 在极坐标系中画出点 -3,π/4) 的位置 [1] 作射线 , 作射线OP, 使∠XOP=π/4 π [2] 在OP的反向 的反向 延长线上取一点M, 延长线上取一点 , 使|OM|= 3
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P θ= π/4 O M
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X

***新课讲授 新课讲授*** 新课讲授 π [例1] 求过极点倾角为 的射线 例 ,

4

. 的极坐标方程
, 分析: 如图 所求的射 线上任一点的极角都
π

M

是 , 其极径可以取任意的非 .故所 负数 4 求直线的极坐标方程为 = θ
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π

o



4

x

π

制作 4 09

(ρ ≥ 0)

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***思考 思考*** 思考

的极坐标方程。 的极坐标方程。

5π 1. 求过极点,倾角为 求过极点, 的射线 4

2. 求过极点,倾角为 求过极点, 的极坐标方程。 的极坐标方程。

π
4

的直线

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***思考 思考*** 思考

的极坐标方程。 的极坐标方程。

5π 1. 求过极点,倾角为 求过极点, 的射线 4 5 θ 易得 = π (ρ ≥ 0) 4 π
4

2. 求过极点,倾角为 求过极点, 的极坐标方程。 的极坐标方程。

的直线

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***思考 思考*** 思考

的极坐标方程。 的极坐标方程。

5π 1. 求过极点,倾角为 求过极点, 的射线 4 5 θ 易得 = π (ρ ≥ 0) 4 π
4

2. 求过极点,倾角为 求过极点, 的极坐标方程。 的极坐标方程。

的直线

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5 θ = 或θ = π 4 4

π

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和前面的直角坐标系里直线方程的 表示形式比较起来, 表示形式比较起来,极坐标系里的直线 表示起来很不方便, 表示起来很不方便,要用两条射线组合 而成。原因在哪? 而成。原因在哪?

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和前面的直角坐标系里直线方程的 表示形式比较起来, 表示形式比较起来,极坐标系里的直线 表示起来很不方便, 表示起来很不方便,要用两条射线组合 而成。原因在哪? 而成。原因在哪? ρ≥0 ρ≥

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和前面的直角坐标系里直线方程的 表示形式比较起来, 表示形式比较起来,极坐标系里的直线 表示起来很不方便, 表示起来很不方便,要用两条射线组合 而成。原因在哪? 而成。原因在哪? ρ≥0 ρ≥ 为了弥补这个不足, 为了弥补这个不足,可以考虑允许 极径可以取全体实数。 极径可以取全体实数。则上面的直线的 极坐标方程可以表示为
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5 θ = (ρ ∈ R)或θ = π (ρ ∈ R) 2010年上学期 年上学期 4 4 制作 09

π

[例2] 求过点 例 求过点A(a,0)(a>0),且垂直于 , 极轴的直线L的极坐标方程。 极轴的直线 的极坐标方程。 的极坐标方程

ρ

M A x

o

﹚θ

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[例2] 求过点 例 求过点A(a,0)(a>0),且垂直于 , 极轴的直线L的极坐标方程。 极轴的直线 的极坐标方程。 的极坐标方程 解:如图,设点M(ρ,θ) 如图,设点 ρ θ 为直线L上除点 外的 为直线 上除点A外的 上除点 任意一点,连接OM 任意一点,连接 在RtMOA中有 中有 |OM|cos∠MOA=|OA| ∠ 即ρcosθ=a θ 可以验证, 的坐标也满足上式. 可以验证,点A的坐标也满足上式 的坐标也满足上式
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ρ

M A x

o

﹚θ

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求直线的极坐标方程步骤 1. 根据题意画出草图; 根据题意画出草图; 2. 设点 ρ,θ)是直线上任意一点 设点M(ρ θ 是直线上任意一点 是直线上任意一点; 3. 连接 连接MO; ; 4. 根据几何条件建立关于ρ,θ的方程 根据几何条件建立关于ρ θ的方程, 并化简; 并化简; 5. 检验并确认所得的方程即为所求. 检验并确认所得的方程即为所求
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[例3] 设点P的极坐标为 ρ1,θ1),直 例 设点 的极坐标为(ρ θ , 的极坐标为 过点P且与极轴所成的角为 线l过点 且与极轴所成的角为α,求直 过点 且与极轴所成的角为α 的极坐标方程。 线l的极坐标方程。 的极坐标方程

ρ

M

o
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θ α ﹚ ﹚
1

ρ1 P

x
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, 解: 如图 设点 (ρ,θ )为直线上除点 M P , OM 外的任意一点连接 P 则| OM |= ρ, ∠xOM = θ由点 的极坐标知 | OP |= ρ1 ∠xOP = θ1 L A 设直线 与极轴交于点 .则在 M OP P ∠OM = α θ , ∠OPM = π (α θ1 )

ρ ρ1 由正弦定理 = sin[π (α θ1 )] sin(α θ ) ρ sin(α θ ) = ρ1 sin(α θ1 )
湖南长郡卫星远程学校 P . 显然点 的坐标也是它的解

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小结: 小结:直线的几种极坐标方程 1. 过极点 2. 过某个定点,且垂直于极轴 过某个定点, 3. 过某个定点,且与极轴成一定的角度 过某个定点,

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***练习 练习*** 练习

1. 说明下列极坐标方程表 示什么曲 , . 线 并画图 (1) ρ = 5; (3) ρ = 2sinθ .
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5π (2) θ = (ρ ∈ R); 6

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2. 在极坐标系中求适合下列条件 , 的直线或圆的极坐标方 : 程 (1) 过极点 倾斜角是 的直线 , ; 3 (2) 过点 2, ), 并且和极轴垂直的直线 ( ; 3 (3) 圆心在 (1, ), 半径为的圆 1 ; A 4 3π (4) 圆心在 a, ), 半径为 的圆 ( a . 2 制作 09
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π

π

π

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3. 把下列直角坐标方程化 成极坐 标方程: (1) x = 4; (2) y + 2 = 0;
2 2

(3) 2x 3 y 1 = 0; (4) x y = 16.

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4. 把下列极坐标方程化成 直角坐 标方程: (1) ρ sinθ = 2; (2) ρ(2cosθ + 5sinθ ) 4 = 0; (3) ρ = 10cosθ; (4) ρ = 2cosθ 4sinθ .
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5.已知直线的极坐标方程 ρ sin(θ 为 2 7π ,求点 (2, )到这条直线的 A + )= 4 2 4 距离 .

π

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6.已知椭圆的中心为 , 长轴 短轴 O , 的长分别为 a,2b(a > b > 0), A, B分别 2 为椭圆上的两点且OA ⊥ OB. , 1 1 (1) 求证: ; + 为定值 2 2 | OA| | OB| (2)求AOB面积的最大值和最小值 .
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ρ 练习4 练习 曲线 = 5 3 cosθ 5sinθ关于极
轴对称的曲线是

π π A. ρ = 10cosθ B. ρ = 10cosθ + 6 6 π C. ρ = 10cosθ 6
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π D. ρ = 10cosθ + 6
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ρ 练习4 练习 曲线 = 5 3 cosθ 5sinθ关于极
轴对称的曲线是 C

π π A. ρ = 10cosθ B. ρ = 10cosθ + 6 6 π C. ρ = 10cosθ 6
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π D. ρ = 10cosθ + 6
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