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求函数值域的几种方法

求函数值域的几种方法 函数的值域由函数的定义域和对应关系完全确定,但因函数千变万化,形式各异,值域 的求法也各式各样,因此求函数的值域就存在一定的困难,解题时,若方法适当,能起到事 半功倍的作用.求函数值域的常用方法有配方法、换元法、分离常数法、基本不等式法、单 调性法、判别式法、数形结合法等. 1.数形结合法 利用函数所表示的几何意义, 借助于图象的直观性来求函数的值域, 是一种常见的方法, 如何将给定函数转化为我们熟悉的模型是解答此类问题的关键. [典例 1] 对 a, b∈R, 记 max|a, b|=? ∈R)的值域是________. 1 ? ?|x+1|,x≥2, f(x)=? 1 ? ?|x-2|,x<2, ? ?a,a≥b, ?b,a<b. ? 函数 f(x)=max||x+1|, |x-2||(x [解析] ?3 ? 由图象知函数的值域为? ,+∞?. ?2 ? ?3 ? [答案] ? ,+∞? ?2 ? [题后悟道] 利用函数所表示的几何意义求值域(最值),通常转化为以下两种类型: (1)直线的斜率: 可看作点(x,y)与(0,0)连线的斜率; y x y-b 可看作点(x,y)与点(a, x-a b)连线的斜率. (2)两点间的距离: ?x-x1? +?y-y1? 可看作点(x,y)与点(x1,y1)之间的距离. 2 2 ?针对训练 1.函数 y= ?x+3? +16+ ?x-5? +4的值域为________. 解析:函数 y=f(x)的几何意义为: 平面内一点 P(x,0)到两点 A(- 3,4)和 B(5,2)距离之和.由平面几何知识,找出 B 关于 x 轴的对称点 2 2 B′(5, -2). 连接 AB′交 x 轴于一点 P 即为所求的点, 最小值 y=|AB′| = 8 +6 =10. 即函数的值域为[10,+∞). 答案:[10,+∞) 2 2 2.判别式法 对于形如 y= a1x2+b1x+c1 (a1,a2 不同时为零)的函数求值域,通常把其转化成关于 x a2x2+b2x+c2 的一元二次方程,由判别式 Δ ≥0,求得 y 的取值范围,即为原函数的值域. [典例 2] 函数 y= x2-x 的值域为________. x -x+1 2 [解析] 法一:(配方法) ∵y=1- 1 x2-x+1 , ? 1?2 3 3 2 又 x -x+1=?x- ? + ≥ , ? 2? 4 4 ∴0< 1 x2-x+1 3 4 1 ≤ ,∴- ≤y<1. 3 ? 1 ? ∴函数的值域为?- ,1?. ? 3 ? 法二:(判别式法) 由 y= x2-x ,x∈R, x -x+1 2 得(y-1)x +(1-y)x+y=0. ∵y=1 时,x∈?,∴y≠1. 又∵x∈R,∴Δ =(1-y) -4y(y-1)≥0, 1 ∴- ≤y<1. 3 2 2 ? 1 ? ∴函数的值域为?- ,1?. ? 3 ? ? 1 ? [答案] ?- ,1? ? 3 ? [题后悟道] 本题解法二利用了判别式法, 利用判别式法首先把函数转化为一个系数含有 y 的二次方 程 a(y)x +b(y)x+c(y)=0,则在 a(y)≠0 时,若 x∈R,则 Δ ≥0,从而确定函数的最值; 再检验 a(y)=0 时对应的 x 的值是否在函数定义域内,以决定 a(y)=0 时 y 的值的取舍. 2 ?针对训练 mx2+4 3x+n 2.已知函数 y= 的最大值为 7,最小值为-1,则 m+n 的值为( x2+1 A.-1 C.6 B.4 D.7 2 ) 解析:选 C 函数式可变形为(y-m)x -4 3x+(y-n)=0,x∈R,由已知得 y-m≠0, 所以 Δ =(-4 3) -4(y-m)·(y-n)≥0,即 y -(m+n)y+(mn-12)≤0,① 由题意,知不等式①的解集为[-1,7],则-1、7 是方程 y -(m+n)y+(mn-12)=0 的两根, ? ?1+?m+n?+mn-12=0, 代入得? ?49-7?m+n?+mn-12=0 ? 2 2 2 ,解得? ? ?m=5, ?n=1 ? 或? ? ?m=1, ?n=5. ? 所以 m+n=6. 求解函数的值域要根据函数解析式的特点选择恰当的方法,准确记忆常见函数的值域, 熟练掌握各种类型函数值域的求法,除前面介绍的几种方法外,还有单调性法、导数法(以 后还要讲解).

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