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北京市海淀区2015届高三数学上学期期末试卷 文(含解析)

北京市海淀区 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)
一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. (5 分)已知全集 U={x∈R|x>0},集合 A={x∈R|x≥2},则 CUA=() A. {x∈R|x<2} B. {x∈R|0<x<2} C. {x∈R|x≤2} D. {x∈R|0<x≤2} 2. (5 分)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z,则 z=()

A. 1﹣2i

B. 1+2i

C. ﹣2﹣i

D. ﹣2+i

3. (5 分)已知直线 l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:ax﹣y+2=0.若 l1∥l2,则实数 a 的值是() A. 0 或﹣3 B. 2 或﹣1 C. 0 D. ﹣3

4. (5 分)当向量 = =(﹣1,1) , =(1,0)时,执行如图所示的程序框图,输出的 i 值为

() A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

5. (5 分) 为了解某年级女生五十米短跑情况, 从该年级中随机抽取 8 名女生进行五十跑测试, 她们的测试成绩(单位:秒)的茎叶图(以整数部分为茎,小数部分为叶)如图所示.由此 可估计该年级女生五十米跑成绩及格(及格成绩为 9.4 秒)的概率为()

A. 0.375

B. 0.625

C. 0.5

D. 0.125

-1-

6. (5 分)已知函数 f(x)=log2(x+a)+log2(x﹣a) (a∈R) .命题 p:? a∈R,函数 f(x) 是偶函数;命题 q:? a∈R,函数 f(x)在定义域内是增函数.那么下列命题为真命题的是 () A. ?q B. p∧q C. (?p)∧q D. p∧(?q) 7. (5 分)某堆雪在融化过程中,其体积 V(单位:m )与融化时间 t(单位:h)近似满足函 数关系: 结束的平均融化速度为 (H 为常数) ,其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到 . 那么瞬时融化速度等于 的时刻是图中的 ()
3

A. t1

B. t2

C. t 3

D. t4

8. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 为底面 ABCD 上的动点.若三棱锥 B﹣D1EC 的表面 积最大,则 E 点位于() A. 点 A 处 B. 线段 AD 的中点处 C. 线段 AB 的中点处 D. 点 D 处

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 2 9. (5 分)抛物线 y =﹣2x 的焦点坐标为.

10. (5 分)若双曲线

的一条渐近线的倾斜角为 60°,则 m=.

11. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为.

-2-

12. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 D.则区域 D 上的点到坐标原点的

距离的最小值是.

13. (5 分)在等比数列{an}中,若 a1=﹣24,a4=﹣ ,则公比 q=;当 n=时,{an}的前 n 项积最 大. 14. ( 5 分)已知⊙O:x +y =1.若直线 y=kx+2 上总存在点 P,使得过点 P 的⊙O 的两条切线 互相垂直,则实数 k 的取值范围是.
2 2

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (13 分)函数 f(x)=cos(π x+φ ) (0<φ < (Ⅰ)写出 φ 及图中 x0 的值; (Ⅱ)求 f(x)在区间上的最大值和最小值. )的部分图象如图所示.

16. (13 分)某中学在 2014-2015 学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同 学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名.为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性 别采用分层抽样的方法抽取 5 人进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数;

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(Ⅱ)考核前,评估小组打算从选出的 5 人中随机选出 2 名同学进行访谈,求选出的两名同 学中恰有一名女同学的概率; (Ⅲ)考核分答辩和笔试两项.5 位同学的笔试成绩分别为 115,122,105,111,109;结合 答辩情况,他们的考核成绩分别为 125,132,115,121,119.这 5 位同学笔试成绩与考核成 2 绩的方差分别记为 s1 2 2 2 ,s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结论) 17. (14 分) 如图所示, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1B1B 为正方形, BB1C1C 是菱形, 平面 AA1B1B⊥ 平面 BB1C1C. (Ⅰ)求证:BC∥平面 AB1C1; (Ⅱ)求证:B1C⊥AC1; (Ⅲ)设点 E,F,H,G 分别是 B1C,AA1,A1B1,B1C1 的中点,试判断 E,F,H,G 四点是否共面, 并说明理由.

18. (13 分)已知椭圆 M:x +2y =2. (Ⅰ)求 M 的离心率及长轴长; (Ⅱ)设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B,线段 AB 的垂直平分线交 椭圆 M 于 C,D 两点.问:是否存在直线 l 使得 C,O,D 三点共线(O 为坐标原点)?若存在, 求出所有满足条件的直线 l 的方程;若不存在,说明理由.

2

2

19. (13 分)已知函数 f(x)=



(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线方程为 ax﹣y=0,求 x0 的值; (Ⅱ)当 x>0 时,求证:f(x)>x; (Ⅲ)问集合{x∈R|f(x)﹣bx=0}(b∈R 且为常数)的元素有多少个?(只需写出结论) 20. (14 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,2an+1=2an+p(p 为常数,n=1,2,3,…) . (Ⅰ)若 S3=12,求 Sn; (Ⅱ)若数列{an}是等比数列,求实数 p 的值. (Ⅲ)是否存在实数 p,使得数列{ }满足:可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排

成一个等差数列?若存在,求出所有满足条件的 p 的值;若不存在,说明理由.

北京市海淀区 2015 届高三上学期期末数学试卷(文科)

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参考答案与试题解析 一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1. (5 分)已知全集 U={x∈R|x>0},集合 A={x∈R|x≥2},则 CUA=() A. {x∈R|x<2} B. {x∈R|0<x<2} C. {x∈R|x≤2} D. {x∈R|0<x≤2} 考点: 补集及其运算. 专题: 集合. 分析: 欲求补集,利用补集的定义求解 解答: 解:∵全集 U={x∈R|x>0},集合 A={x∈R|x≥2}, ∴CUA={x∈R|0<x<2} 故选:B 点评: 本题主要考查了集合交,并,补的混合运算,较为简单. 2. (5 分)如图所示,在复平面内,点 A 对应的复数为 z,则 z=()

A. 1﹣2i

B. 1+2i

C. ﹣2﹣i

D. ﹣2+i

考点: 复数的基本概念. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 利用复数的几何意义即可得出. 解答: 解:由图可知:z=﹣2+i. 故选:D. 点评: 本题考查了复数的几何意义,属于基础题. 3. (5 分)已知直线 l1:ax+(a+2)y+1=0,l2:ax﹣y+2=0.若 l1∥l2,则实数 a 的值是() A. 0 或﹣3 B. 2 或﹣1 C. 0 D. ﹣3 考点: 专题: 分析: 解答: 舍去. 直线的一般式方程与直线的平行关系. 直线与圆. 对 a 分类讨论,利用两条直线相互平行与斜率之间的关系即可得出. 解:当 a=﹣2 时,两条直线分别化为﹣2x+1=0,﹣2x﹣y+2=0,此时两条直线不平行,

当 a≠﹣2 时,两条直线分别化为: ∵l1∥l2, ∴ , .

,y=ax+2.

解得 a=0,a=﹣3.

-5-

综上可得:a=0 或﹣3. 故选:A. 点评: 本题考查了两条直线相互平行与斜率之间的关系、分类讨论思想方法,考查了推理 能力与计算能力,属于基础题.

4. (5 分)当向量 = =(﹣1,1) , =(1,0)时,执行如图所示的程序框图,输出的 i 值为

() A. 5

B. 4

C. 3

D. 2

考点: 程序框图. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 模拟程序运行,依次写出每次循环得到的 的值,当 =(1,1) ,满足条件 a?c=0, 退出循环,输出 i 的值为 2. 解答: 解:模拟程序运行,有 i=1 时, =(0,1) ,不满足条件 a?c=0 i=2 时, =(1,1) ,满足条件 a?c=0 退出循环,输出 i 的值为 2. 故选:D. 点评: 本题主要考察了程序框图和算法,正确理解循环结构的功能是解题的关键,属于基 本知识的考查. 5. (5 分) 为了解某年级女生五十米短跑情况, 从该年级中随机抽取 8 名女生进行五十跑测试, 她们的测试成绩(单位:秒)的茎叶图(以整数部分为茎,小数部分为叶)如图所示.由此 可估计该年级女生五十米跑成绩及格(及格成绩为 9.4 秒)的概率为()

A. 0.375

B. 0.625

C. 0.5

D. 0.125

-6-

考点: 专题: 分析: 解. 解答:

茎叶图. 概率与统计. 由已知茎叶图得到该年级女生五十米跑成绩及格的人数,然后由古典概型的概率求 解:由已知得到该年级女生五十米跑成绩及格的有:7.8,8.6,8.1,8.8,9.1 共有

6 人,由古典概型概率公式得 P= =0.625; 故选 B. 点评: 本题考查了由茎叶图找到调查数据的信息以及由此计算概率,属于基础题. 6. (5 分)已知函数 f(x)=log2(x+a)+log2(x﹣a) (a∈R) .命题 p:? a∈R,函数 f(x) 是偶函数;命题 q:? a∈R,函数 f(x)在定义域内是增函数.那么下列命题为真命题的是 () A. ?q B. p∧q C. (?p)∧q D. p∧(?q) 考点: 复合命题的真假. 专题: 简易逻辑. 分析: 先求 f(x)的定义域(|a|,+∞) ,根据偶函数的定义域特点及对数函数的单调性知 命题 p 是假命题,命题 q 是真命题,所以便可判断(¬p)∧q 是真命题. 解答: 解:函数 f(x)的定义域为(|a|,+∞) ; 定义域不关于原点对称; ∴f(x)是非奇非偶函数; ∴命题 p 是假命题; 根据对数函数的单调性知 f(x)在定义域内是增函数; ∴命题 q 是真命题; ∴¬p 是真命题, (¬p)∧q 为真命题. 故选 C. 点评: 考查偶函数定义域的特点,以及对数函数的单调性,对于 F(x)=f(x)+g(x) ,若 f(x) ,g(x)在 F(x)的定义域内都是增函数,则 F(x)是增函数,以及¬p,p∧q 的真假 和 p,q 真假的关系. 7. (5 分)某堆雪在融化过程中,其体积 V(单位:m )与融化时间 t(单位:h)近似满足函 数关系: 结束的平均融化速度为 (H 为常数) ,其图象如图所示.记此堆雪从融化开始到 . 那么瞬时融化速度等于 的时刻是图中的 ()
3

-7-

A. t1

B. t2

C. t 3

D. t4

考点: 函数的图象. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据题意可知,平均融化速度为 = ,反映的是 V(t)图象与坐

标轴交点连线的斜率,通过观察某一时刻处瞬时速度(即切线的斜率) ,即可得到答案 解答: 解:平均融化速度为 = ,反映的是 V(t)图象与坐标轴交点连

线的斜率, 观察可知 t3 处瞬时速度(即切线的斜率)为平均速速一致, 故选:C

点评: 本题考查了图象的识别,关键理解平均速度表示的几何意义(即斜率) ,属于基础题 8. (5 分)在正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中,点 E 为底面 ABCD 上的动点.若三棱锥 B﹣D1EC 的表面 积最大,则 E 点位于() A. 点 A 处 B. 线段 AD 的中点处 C. 线段 AB 的中点处 D. 点 D 处 考点: 专题: 分析: 解答: 棱柱的结构特征. 空间位置关系与距离. 由题意画出图形, 数形结合得到使三棱锥 B﹣D1EC 的三个动面面积最大的点 E 得答案. 解:如图,

-8-

E 为底面 ABCD 上的动点,连接 BE,CE,D1E, 对三棱锥 B﹣D1EC,无论 E 在底面 ABCD 上的何位置, 面 BCD1 的面积为定值, 要使三棱锥 B﹣D1EC 的表面积最大,则侧面 BCE、CAD1、BAD1 的面积和最大, 而当 E 与 A 重合时,三侧面的面积均最大, ∴E 点位于点 A 处时,三棱锥 B﹣D1EC 的表面积最大. 故选:A.

点评: 本题考查了空间几何体的表面积,考查了数形结合的解题思想方法,是基础题. 二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. (5 分)抛物线 y =﹣2x 的焦点坐标为
2



考点: 专题: 分析: 解答:

抛物线的简单性质. 圆锥曲线的定义、性质与方程. 根据抛物线的方程的标准方程,求出 p 值,确定开口方向,从而写出焦点坐标. 2 解:抛物线 y =﹣2x,开口向左,p=1,

故焦点坐标为(﹣ ,0) , 故答案为: (﹣ ,0) . 点评: 本题考查抛物线的标准方程,以及简单性质的应用,属于容易题.

10. (5 分)若双曲线

的一条渐近线的倾斜角为 60°,则 m=3.

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 求出双曲线的渐近线方程,由题意可得,tan60°= 解答: 解:双曲线 则有 tan60°= ,即有 = (m>0)的渐近线方程为 y= ,

,计算即可得到 m. x,

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即为 m=3. 故答案为:3. 点评: 本题考查双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的运用,考查运算能力,属于基础 题. 11. (5 分)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的体积为 8.

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 由三视图及题设条件知,此几何体为一个三棱锥,其高为 3,底面是直角边长为 3, 4 的直角三角形,故先求出底面积,再由体积公式求解其体积即可. 解答: 解:由题设条件,此几何几何体为一个三棱锥, 其高为 3,底面是直角边长为 3,4 的直角三角形, 故其体积是 =8,

故答案为:8 点评: 本题考点是由三视图求几何体的面积、体积,考查对三视图的理解与应用,主要考 查三视图与实物图之间的关系, 用三视图中的数据还原出实物图的数据, 再根据相关的公式求 表面积与体积.

12. (5 分)设不等式组

表示的平面区域为 D.则区域 D 上的点到坐标原点的

距离的最小值是



考点: 简单线性规划. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式组对应的平面区域,利用数形结合即可得到结论. 解答: 解:作出不等式组对应的平面区域如图: 由图象可知,当 OQ 垂直直线 x+y﹣1=0 时,此时区域 D 上的点到坐标原点的距离的最小,

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最小值为圆心到直线 x+y﹣1=0 的距离 d= 故答案为: .



点评: 本题主要考查两点间距离的应用,利用数形结合以及点到直线的距离公式是解决本 题的关键.

13. (5 分)在等比数列{an}中,若 a1=﹣24,a4=﹣ ,则公比 q= ;当 n=4 时,{an}的前 n 项 积最大. 考点: 等比数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 直接由已知及等比数列的通项公式求得公比;写出等比数列的通项公式,得到前 n 项积,然后根据奇数项积为负值,分析偶数项乘积得答案. 解答: 解:在等比数列{an}中,由 a1=﹣24,a4=﹣ ,得 ∴q= ; ∴ 则{an}的前 n 项积: . ,

= 当 n 为奇数时 Tn<0, ∴当 n 为偶数时 Tn 有最大值. 又





且当 n 为大于等于 4 的偶数时,Tn+2<Tn, ∴当 n=4 时,{an}的前 n 项积最大.

- 11 -

故答案为: ;4. 点评: 本题考查了等比数列的通项公式,考查了等比数列的性质,是中档题. 14. (5 分)已知⊙O:x +y =1.若直线 y=kx+2 上总存在点 P,使得过点 P 的⊙O 的两条切线互 相垂直,则实数 k 的取值范围是(﹣∞,﹣1]∪ 故答案为: (﹣∞,﹣1]∪上的最大值和最小值.
2 2

考点: 余弦函数的图象;余弦函数的定义域和值域. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (Ⅰ)由图观察可知,函数的图象过点(0, ) ,有 =cosφ 可解得 φ 的值是 图观察可知,函数的图象过点(x0, ) ,有 π ×x0+ (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: 区间上的最大值和最小值. 解答: 解: (Ⅰ)∵由图观察可知,函数的图象过点(0, ) , ∴ =cosφ , ∵0<φ < , . =2 ,可解得 x0 的值. .由

.根据余弦函数的单调性即可求 f(x)在

∴可解得 φ 的值是

∵由图观察可知,函数的图象过点(x0, ) , ∴ =cos(π ×x0+ ∴π ×x0+ =2 )

∴可解得 x0 的值是 . (Ⅱ)由(Ⅰ)可知: .

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因为 所以 所以 当 当

, . ,即 ,即 时 f(x)取得最大值 1; 时 f(x)取得最小值 .

点评: 本题主要考查了三角函数解析式的求法,余弦函数的定义域和值域,余弦函数的图 象和性质,属于基础题. 16. (13 分)某中学在 2014-2015 学年高二年级开设大学先修课程《线性代数》 ,共有 50 名同 学选修,其中男同学 30 名,女同学 20 名.为了对这门课程的教学效果进行评估,学校按性 别采用分层抽样的方法抽取 5 人进行考核. (Ⅰ)求抽取的 5 人中男、女同学的人数; (Ⅱ)考核前,评估小组打算从选出的 5 人中随机选出 2 名同学进行访谈,求选出的两名同 学中恰有一名女同学的概率; (Ⅲ)考核分答辩和笔试两项.5 位同学的笔试成绩分别为 115,122,105,111,109;结合 答辩情况,他们的考核成绩分别为 125,132,115,121,119.这 5 位同学笔试成绩与考核成 2 绩的方差分别记为 s1 2 2 2 ,s2 ,试比较 s1 与 s2 的大小. (只需写出结论) 考点: 极差、方差与标准差;分层抽样方法. 专题: 概率与统计. 分析: (Ⅰ)按照分层抽样的方法:各层被抽到的比例相同解答; (Ⅱ)利用列举法分别明确从选出的 5 人中随机选出 2 名同学进行访谈和选出的两名同学中 恰有一名女同学的所以可能,利用古典概率公式解答; (Ⅲ)按照方差的计算公式解答. 解答: 解: (Ⅰ)抽取的 5 人中男同学的人数为 女同学的人数为 人.…(4 分) 人,

(Ⅱ)记 3 名男同学为 A1,A2,A3,2 名女同学为 B1,B2. 从 5 人中随机选出 2 名同学,所有可能的结果有 A1A2,A1A3,A1B1,A1B2,A2A3,A2B1,A2B2,A3B1, A3B2,B1B2,共 10 个.…(6 分) 用 C 表示:“选出的两名同学中恰有一名女同学”这一事件,则 C 中的结果有 6 个,它们是 A1B1,A1B2,A2B1,A2B2.A3B1,A3B2…(8 分) 所以 选出的两名同学中恰有一名女同学的概率 (Ⅲ) .…(13 分) .…(10 分)

点评: 本题考查了统计与概率的问题,属于基础题.

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17. (14 分) 如图所示, 在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中, AA1B1B 为正方形, BB1C1C 是菱形, 平面 AA1B1B⊥ 平面 BB1C1C. (Ⅰ)求证:BC∥平面 AB1C1; (Ⅱ)求证:B1C⊥AC1; (Ⅲ)设点 E,F,H,G 分别是 B1C,AA1,A1B1,B1C1 的中点,试判断 E,F,H,G 四点是否共面, 并说明理由.

考点: 平面与平面平行的性质;直线与平面平行的判定. 专题: 证明题;空间位置关系与距离. 分析: (Ⅰ)由 BC∥B1C1,证明 BC∥平面 AB1C1; (Ⅱ)先证明 AB⊥平面 BB1C1C,得 AB⊥B1C,再证明 B1C⊥平面 ABC1,得出 B1C⊥AC1; (Ⅲ)E,F,H,G 四点不共面,通过证明点 F?平面 EHG,即 F∈平面 AA1C1C,且平面 AA1C1C∥ 平面 EFH 即可. 解答: 证明: (Ⅰ)在菱形 BB1C1C 中,BC∥B1C1, 因为 BC?平面 AB1C1,B1C1? 平面 AB1C1, 所以 BC∥平面 AB1C1;…(3 分) (Ⅱ)连接 BC1,在正方形 ABB1A1 中,AB⊥BB1, 因为平面 AA1B1B⊥平面 BB1C1C, 平面 AA1B1B∩平面 BB1C1C=BB1, AB? 平面 ABB1A1, 所以 AB⊥平面 BB1C1C;…(5 分) 又因为 B1C? 平面 BB1C1C, 所以 AB⊥B1C;…(6 分) 在菱形 BB1C1C 中,BC1⊥B1C; 因为 BC1? 平面 ABC1,AB? 平面 ABC1,且 BC1∩AB=B, 所以 B1C⊥平面 ABC1;…(8 分) 因为 AC1? 平面 ABC1, 所以 B1C⊥AC1;…(10 分) (Ⅲ)E,F,H,G 四点不共面,理由如下;…(11 分) 因为 E,G 分别是 B1C,B1C1 的中点, 所以 GE∥CC1, 同理可证:GH∥C1A1; 因为 GE? 平面 EHG, GH? 平面 EHG,GE∩GH=G, CC1? 平面 AA1C1C,A1C1? 平面 AA1C1C, 所以平面 EHG∥平面 AA1C1C;

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又因为 F∈平面 AA1C1C, 所以 F?平面 EHG,即 E,F,H,G 四点不共面.…(14 分)

点评: 本题考查了空间中的平行与垂直的判断与直线的应用问题,也考查了判断空间中的 四点是否共面问题,是综合性题目. 18. (13 分)已知椭圆 M:x +2y =2. (Ⅰ)求 M 的离心率及长轴长; (Ⅱ)设过椭圆 M 的上顶点 A 的直线 l 与椭圆 M 的另一个交点为 B,线段 AB 的垂直平分线交 椭圆 M 于 C,D 两点.问:是否存在直线 l 使得 C,O,D 三点共线(O 为坐标原点)?若存在, 求出所有满足条件的直线 l 的方程;若不存在,说明理由. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (Ⅰ) 由题意可知椭圆 M 的标准方程为: , 可知: , b=1. c= ,
2 2

即可得出离心率与长轴长. (II)若 C,O,D 三点共线,CD 是线段 AB 的垂直平分线,可得|OA|=|OB|.由(I)可得:A (0,1) ,设 B(x0,y0) , =1.与 =2,联立解出即可得出. ,可知: ,b=1.

解答: 解: (Ⅰ)由题意可知椭圆 M 的标准方程为: ∴c= ∴ = =1. ,2a=2 .

(II)若 C,O,D 三点共线,CD 是线段 AB 的垂直平分线, 可得|OA|=|OB|.由(I)可得:A(0,1) ,设 B(x0,y0) ,∴ =1.



=2,联立

,解得

,或

(舍去) .

当取点 B(0,﹣1)时,直线 l 的方程为 x=0,满足条件. ∴存在直线 l 使得 C,O,D 三点共线(O 为坐标原点) ,直线 l 的方程为:x=0. 点评: 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、线段的垂直平分线的性质,考查了推理能力 与计算能力,属于中档题.

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19. (13 分)已知函数 f(x)=



(Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(x0,f(x0) )处的切线方程为 ax﹣y=0,求 x0 的值; (Ⅱ)当 x>0 时,求证:f(x)>x; (Ⅲ)问集合{x∈R|f(x)﹣bx=0}(b∈R 且为常数)的元素有多少个?(只需写出结论) 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数求闭区间上函数的最值. 专题: 导数的综合应用. 分析: (Ⅰ)求函数的导数,根据函数的 切线方程进行求解即可求 x0 的值; (Ⅱ)构造函数 g(x)= ,求函数的导数,利用导数证明不等式 f(x)>x;

(Ⅲ)根据函数和方程之间的关系直接求解即可. 解答: (Ⅰ)解: 因为切线 ax﹣y=0 过原点(0,0) , ,

所以 解得 x0=2 (Ⅱ)证明:设



,则





,解得 x=2,

当 x 在(0,+∞)上变化时,g(x) ,g′(x)的变化情况如下表 x (0,2) 2 (2,+∞) g′(x) ﹣ 0 + g(x) ↘ , ,即 f(x)>x. ↗

所以当 x=2 时,g(x)取得最小值 所以当时 x>0 时

(Ⅲ)解:当 b≤0 时,集合{x∈R|f(x)﹣bx=0}的元素个数为 0; 当 当 当 时,集合{x∈R|f(x)﹣bx=0}的元素个数为 1; 时,集合{x∈R|f(x)﹣bx=0}的元素个数为 2; 时,集合{x∈R|f(x)﹣bx=0}的元素个数为 3.

点评: 本题主要考查导数的综合应用,以及导数的几何意义,考查学生的运算能力.

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20. (14 分)数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1=1,2an+1=2an+p(p 为常数,n=1,2,3,…) . (Ⅰ)若 S3=12,求 Sn; (Ⅱ)若数列{an}是等比数列,求实数 p 的值. (Ⅲ)是否存在实数 p,使得数列{ }满足:可以从中取出无限多项并按原来的先后次序排

成一个等差数列?若存在,求出所有满足条件的 p 的值;若不存在,说明理由. 考点: 等差数列的性质;数列递推式. 专题: 综合题;等差数列与等比数列. 分析: (Ⅰ)利用 a1=1,2an+1=2an+p,求出 2a2=2+p,2a3=2+2p,利用 S3=12,求出 p,即可 求 Sn; 2 (Ⅱ)若数列{an}是等比数列,则 a2 =a1a3,求出实数 p 的值,再验证; (Ⅲ)利用反证法进行证明即可得出结论. 解答: 解: (Ⅰ)∵a1=1,2an+1=2an+p, ∴2a2=2+p,2a3=2+2p, ∵S3=12, ∴2+2+p+2+2p=6+3p=24, ∴p=6, ∴an+1﹣an=3, ∴数列{an}是以 1 为首项,3 为公差的等差数列, ∴Sn=n+ = ;
2

(Ⅱ)若数列{an}是等比数列,则 a2 =a1a3, ∴(1+ ) =1×(1+p) , ∴p=0, ∴an+1=an, 此时,数列{an}是以 1 为首项,1 为公比的等比数列; (Ⅲ)p=0 时,an=1,数列{ }是等差数列,满足题意;
2

p≠0 时,an+1﹣an= ,∴数列{an}是以 1 为首项, 为公差的等差数列, ∴an= n+1﹣ . 假设存在 p0≠0,满足题意,数列记为{bn}. ①p0>0,an>0,数列{bn}是各项均为正数的递减数列,∴d<0. ∵bn=b1+(n﹣1)d,∴n<1﹣ 时,bn=b1+(n﹣1)d<b1+(1﹣ ﹣1)d=0,与 bn>0 矛盾;

②p0>0,令 >0.

<0,∴n>1﹣

,an<0,数列{bn}是各项均为负数的递增数列,∴d

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∵bn=b1+(n﹣1)d,∴n>1﹣

时,bn=b1+(n﹣1)d>b1+(1﹣

﹣1)d=0,与 bn<0 矛盾,

综上所述,p=0 是唯一满足条件的 p 的值. 点评: 本题考查数列的通项与求和,考查反证法,考查学生分析解决问题的能力,有难度.

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