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对数及对数函数的性质


第二章

基本初等函数

课题:§2.2.1 对数与对数运算(1)
一、 学习目标 (1) (2) (3) 理解对数的概念; 能够说明对数与指数的关系; 掌握对数式与指数式的相互转化.

二、重点:对数的概念,对数式与指数式的相互转化 三、难点:对数概念的理解. 四、教学思路设计:讲授、问题发现法。 五、过程设计: (A 班为竞赛班,B 班为实验班,C 班为基础班)

时间
约 2 分钟

问题情景与设计意图
1.引入课题: (对数的起源)价绍对数产生的历史背景与概 念的形成过程,体会引入对数的必要性; 设计意图: 激发学生学习对数的兴趣, 培养对数学习的科学 研究精神. 2.对数的概念:一般地,如果 a
x

教师活动
指导学生阅读课本 P68 页<对数的发明>

学生活动
学生阅读课本 P68 页<对数的发明>

A班 约 5 分钟 B班 约 8 分钟

? N (a ? 0, a ? 1) ,

1、教师指导学生阅读课 ① 对数符 号书写 应注 意哪些? ② 为什么 对数的 定义 中要求底数 a 且a ③

1、学生阅读与思 题。 2、学生回答问题

本 P62 页,并提出问题: 考教师 提出 的问

那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数(Logarithm) ,记作: . ..

x ? loga N

a—
C班 约 10 分钟 ②a

底数, N — 真数, loga

N—

对数式

? 0,

1 说明:○ 注意底数的限制 a
x

? 0 ,且 a ? 1 ;

? 1;

? N ? loga N ? x ;

是否是 所有的 实数 都有对数呢?

③注意对数的书写格式. 设计意图:正确理解对数定义中底数的限制,为以后 对数型函数定义域的确定作准备. 1 思考:○ 为什么对数的定义中要求底数

a ? 0 ,且

loga N
2、根据学生回答情况强 调注意事项

a ? 1;
②是否是所有的实数都有对数呢? 两个重要对数: ①常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; ②自然对数: 以无理数 e

? 2.71828 ? 为底的对数的对数
教师指 导学生 完成 学生完成对 数式与 指数 式的 互华

ln N .
A班 约 2 分钟 B班 约 3 分钟 C班 约 4 分钟 A班 真数 ← 3.对数式与指数式的互化

loga N ? x
对数式 对数底数 ← 对数 ←

? ? a x
N

ax ? N
指数式

对数式与指数式的互华

→ 幂底数 → → 指数 幂 C 教师讲授 B 教师部分讲授 Page 1 C 听课、练习 B 听课、练习 7/15/2013

4.题组训练 (设计意图:熟练对数式与指数式的相互转化, 加深理解对数概念)

约 10 分钟 高一数学

第二章

基本初等函数 A 教师巡查辅导 A 班:○ 阅读教 1 材 P63 例 1; ○ 独立思考完成 2 教材 P64 练习 1、 2。 C 教师讲授 B 教师部分讲授 A 教师巡查辅导 C 听课、思考 B 听课、练习 A 班: ① 阅 读教 材 P63 例 2,指出其中求 x 的依据; ○ 独立思 考完成 2 教材 P64 练习 3、 4,指出其中蕴含 的结论。 C 教师给出小结 B 教师引导学生小结 组织训练 B 教师引导学生小结 组织训练 思考 总结、训练

C 班:课本 P63 例题 1. + 课本 P64 练习 1、2 的 1 B班 约 10 分钟 C班 约 12 分钟 A班 约 15 分钟 B班 约 15 分钟 (3)底数的对数是 1: C班 约 12 分钟 (4)对数恒等式: a 5.对数的性质 (1)负数和零没有对数; (2)1 的对数是零: B 班:课本 P63 例题 1+ 课本 P64 练习 1、2 的 1、2 A 班:阅读课本 P63 例题 1.+ 课本 P64 练习 1、2

loga 1 ? 0 ;
loga a ? 1 ;
?N;

loga N

(5)

loga a n ? n .

C班5 B班 7 A 班 12

小结 ① 指数与对数的关系;② 对数的基本性质. 小结+题组训练 小结+题组训练(题组见 PPt) 布置作业:A 创新作业 2.2.1

总结、训练

教学反思

高一数学

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第二章

基本初等函数

课题:§2.2.2 对数与对数运算(2)
一、学习目标 (4) (5) (6) 理解并会推导对数的运算法则,会用语言叙述该法则; 理解并能用换底公式; 能运用对数运算法则及换底公式化简求值.

二、重点:对数运算法则的推导及运用。 三、难点:对数运算法则及换底公式的理解. 四、教学思路设计:讲授、问题发现法。 五、过程设计: (A 班为竞赛班,B 班为实验班,C 班为基础班)

时间
约 2 分钟 A班 约 5 分钟 B班 约 6 分钟 C班 约 8 分钟

问题情景与设计意图
1、复习对数概念及性质(见 PPt) 2、问题探究:从指数与对数的关系以及指数运算性质,你能得 出相应的对数运算性质吗? 如果 a

教师活动
出示问题 指导学生阅读教材 P64 ——65,并引导学生仿 照教材推导对数的运算 性质。 注意: 运算性质中要求。

学生活动
回答问题 学生阅读教材 P64——65, 并仿 照教材推导对数 的运算性质。

? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0, 那么:

(1) loga ?M ? N ? ? loga M ? loga N
(2) log a M ? log a M ? log a N N

(3) loga M N ? n loga M
A班 约 12 分钟 B班 约 12 分钟 C班 约 15 分钟 A班 约 5 分钟 B班 约 6 分钟 C班 约 8 分钟 A班 约 8 分钟 B班 约 8 分钟 C班 约 8 分钟 5、公式运用(设计意图:熟练对数换底公式,加深理解对数换 底公式) 利用换底公式化简下列各式: C 教师讲评(3) B 教师分析(3) A 教师分析(1) 听课、练习 C 教师分析推导 B 教师分析 A 教师提示 3、运用公式(设计意图:熟练对数运算性质,加深理解对数运 算性质) C 班:课本 P65 例题 3、4. + 课本 P68 练习 1、2 的 1 B 班:课本 P65 例题 3、4+ 课本 P68 练习 1、2 的 1、2 A 班:阅读课本 P65 例题 3、4+ 课本 P68 练习 1、2 C 教师讲授 B 教师部分讲授 A 教师巡查辅导 C 听课、练习 B 听课、练习 A 班:1 阅读教 ○ 材 P65 例 3、4; ○ 独 立思 考 完 2 成教材 P68 练习 1、2。 4、问题探究:你能根据对数的定义推导下面的换底公式吗? C 听课、思考 B 听课、尝试推 导 A 尝试推导

logc b loga b ? (a ? 0, a ? 1; c ? 0, c ? 1; b ? 0) logc a

(1) loga c ? logc a (2) log2 3 ? log3 4 ? log4 5 ? log5 2 (3)(log4 3 ? log8 3)(log3 2 ? log9 2)
小结:对数运算性质、对数换底公式 题组训练: 课本习题 2. 2 A 组第 4、5 教师引导 教师巡查辅导 小结 练习、讨论

ABC 班 3 B班 7

高一数学

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第二章

基本初等函数 教师巡查辅导 练习、讨论

A 班 10

题组训练:

(1)对于a ? 1, a ? 1 ,下列说法中,正确的 是( )
① ② ③ ④ 若 M=N,则 loga M = log a N ; 若 loga M = log a N ,则 M = N ; 若 loga M 2 = log a N2 ,则 M = N ; 若 M = N,则 loga M 2 = log a N2。

2 (2) lg 25 ? lg 8 ? lg 5 lg 20 ? lg 2 2 ? 3 (3)已知 log18 9 ? a,18b ? 5, 试用a, b表示 log36 5
ABC2 布置作业:A 创新作业 2.2.2

教学反思

高一数学

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第二章

基本初等函数

课题:§2.2.3 对数函数及其性质(1)
一、学习目标 (1) 通过具体实例,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,体会对数函数是一类重要的 函数模型; (2) (3) 能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的单调性与特殊点; 通过比较、对照的方法,引导学生结合图象类比指数函数,探索研究对数函数的性质,培养学生数形结合的思想方 法,学会研究函数性质的方法. 二、重点:掌握对数函数的图象和性质。 三、难点:对数函数的定义,对数函数的图象和性质及应用. 四、教学思路设计:讲授、问题发现法。 五、过程设计: (A 班为竞赛班,B 班为实验班,C 班为基础班) 时间 约 5 分钟 1. (知识方法准备) ○ 学习指数函数时,对其性质研究了哪些内容,采取怎样的方法?(设计意图:结合 1 指数函数,让学生熟知对于函数性质的研究内容,熟练研究函数性质的方法——借助 图象研究性质. ) ○ 对数的定义及其对底数的限制. 2 (设计意图:为讲解对数函数时对底数的限制做准 备. ) 2. (引例)教材 P70 引例:处理建议:在教学时,可以让学生利用计算器填写下表: 碳 14 的含量 P 生物死亡年数 t 然后引导学生观察上表,体会“对每一个碳 14 的含量 P 的取值,通过对应关系 0.5 0.3 0.1 0.01 0.001 问题情景与设计意图 教师活动 1. 出 示 问 题,并做 适 当 提 示。进而 引入对数 函数的概 念 2. 指 导 学 生阅读教 材,提出 注 意 事 项。 . 学生活动 1. 回 答 问 题 2. 阅 读 教 材,听课

t ? log
5730

1 2

P ,生物死亡年数 t 都有唯一的值与之对应,从而 t 是 P 的函数”

3.对数函数的概念 定义:函数

y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 叫做对数函数(logarithmic function)

其中 x 是自变量,函数的定义域是(0,+∞) . 注意:○ 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别.如: 1

y ? 2 log2 x , y ? log 5

x 5

都不是对数函数,而只能称其为对数型函数.

○ 对数函数对底数的限制: (a 2 A班 约 15 分 钟 B班 约 18 分 钟 C班 约 20 分 钟 4、对数函数的图象和性质

? 0 ,且 a ? 1) .
1. 教 师 提 出问题, 并指导学 生研究问 题 2. 引 导 学 生根据图 像总结规 律 1. 回 答 问 题, 2. 动 手 做 函数图像 3. 在 教 师 引导下探 究规律。

问题:你能类比前面讨论指数函数性质的思路,提出研究对数函数性质的内容和 方法吗? 研究方法:画出函数的图象,结合图象研究函数的性质. 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调性、最大(小)值、奇偶性. 探索研究: ○ 在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; 1 (可用描点法,也可借助科学计算器或 计算机) (1)

y ? log2 x

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第二章 (2)

基本初等函数

y ? log 1 x
2

(3) (4)

y ? log3 x
y ? log1 x
3

2 ○ 类比指数函数图象和性质的研究, 研究对数函数的性质并填写如下表格:

图象特征

函数性质

a ?1

0 ? a ?1
函数图象都在 y 轴右侧

a ?1

0 ? a ?1
非奇非偶函数 函数的值域为 R

函数的定义域为(0,+∞)

图象关于原点和 y 轴不对称 向 y 轴正负方向无限延伸 函数图象都过定点(1,0) 自左向右看,图 象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0 自左向右看, 图象逐渐下降 第 一 象限 的 图 象 纵坐标都大于 0 第 二 象限 的 图 象 纵坐标都小于 0

loga 1 ? 0
增函数 减函数

x ? 1, loga x ? 0
0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

x ? 1, loga x ? 0

3 ○ 思考底数 a 是如何影响函数

(学生独立思考,师生共同总结) y ? loga x 的.

规律:在第一象限内,自左向右,图象对应的对数函数的底数逐渐变大. A班 约 10 分 钟 B班 约 12 分 钟 C班 约 15 分 钟 5、范例分析 例 1. (教材 P71 例 7) .解: (略) ;巩固练习: (教材 P73 练习 2) . 说明:本例主要考察学生对对数函数定义中底数和定义域的限制,加深对对数函 数的理解. 例 2. (教材 P72 例 8)解: (略) ;巩固练习: (教材 P73 练习 3) . 说明:本例主要考察学生利用对数函数的单调性“比较两个数的大小”的方法, 熟悉对数函数的性质,渗透应用函数的观点解决问题的思想方法. 注意:本例应着重强调利用对数函数的单调性比较两个对数值的大小的方法,规 范解题格式. 小结:本小节的目的要求是掌握对数函数的概念、图象和性质.在理解对数函数 的定义的基础上,掌握对数函数的图象和性质是本小节的重点. BC 讲 解 例题 指导学生 规范地做 练习 A 指导学 生阅读例 题,规范 地做练习 1.听课 2. 在 教 师 指导下规 范地做练 习 A 阅读例 7、8,独 立完成练 习。

3 B班 5 A 班 10 ABC2

教师指导学生归纳总 结。 巡视辅导 巡视辅导 练习 练习

强化训练(见 PPt) 强化训练(见 PPt) 布置作业:A P74——75 习题 2.2(A 组)7、8, 组)2、4、5 (B

教学反思

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第二章

基本初等函数

课题:§2.2.4 对数函数及其性质(2)
一、学习目标 (1) (2) (3) 进一步理解对数函数的图象和性质; 熟练应用对数函数的图象和性质,解决一些综合问题; 通过例题和练习的讲解与演练,培养学生分析问题和解决问题的能力.

二、重点:对数函数的图象和性质及其运用。 三、难点:对数函数的性质的综合运用. 四、教学思路设计:讲练结合。 五、过程设计: (A 班为竞赛班,B 班为实验班,C 班为基础班) 时间 约 10 分钟 回顾与总结: 1、函数 问题情景与设计意图 教师活动 学生活动 认真思考
1 ○ 2 ○ 3 ○

y ? log2 x, y ? log5 x, y ? lg x 的图象如图所示,回答下列问题. y ? loga x 与 y ? log 1 x (a ? 0, 且 a ? 0)
a

回答问题

(1)说明哪个函数对应于哪个图象,并解释为什么? (2)函数

有什么关系?图象之间又有什么特殊的关系? (3)以

y ? log2 x, y ? log5 x, y ? lg x 的图象为基础,在同一坐标系中 画出
y ? loga 1 x y ? loga 2 x y ? loga 3 x y ? loga 4 x
2 5 10

y ? log1 x, y ? log1 x, y ? log 1 x 的图象.
(4)已知函数

y ? loga1 x, y ? loga2 x, y ? loga3 x, y ? loga4 x

的图象,则底数之间的关系: (5)完成下表(对数函数

y ? loga x (a ? 0, 且 a ? 0) 的图象和性质)

图象特征

函数性质

a ?1
函数图象都在 图象关于原点和 向y 轴 自左向右看,图 象逐渐上升 第一象限的图象 纵坐标都大于 0 第二象限的图象 纵坐标都小于 0

0 ? a ?1
轴右侧 轴不对称

a ?1

0 ? a ?1
函数的定义域为 函数奇偶性: 函数的值域为 loga 1 =

方向无限延伸

函数图象都过定点 自左向右看, 图象逐渐下降 第 一 象限 的 图 象 纵坐标都大于 0 第 二 象限 的 图 象 纵坐标都小于 0 增函数

减函数

x ? 1, loga x ? 0
0 ? x ? 1, loga x ? 0

0 ? x ? 1, loga x ? 0

x ? 1, loga x ? 0

约 23 分钟

应用举例

BC 讲评例

BC 练 习

1②、例 4、 例 1①、 例 高一数学 Page 7 7/15/2013

第二章 例 1.比较大小:○ 1 ○ 2

基本初等函数 (约 10 分 钟) 2、例 3 (约 13 分 钟) A 讲评例 4、 5 例 (约 10 分钟) A 独立完 成例 1— —例 3、 例 6 及联系 (约 13 分 钟)

loga ?

, loga

e (a ? 0, 且 a ? 0) ;

log 2

1 2 , log2 (a ? a ? 1) (a ? R) . 2

解: (略) 例 2.已知 loga (3a ? 1) 恒为正数,求 a 的取值范围. 解: (略) [总结点评]: (由学生独立思考,师生共同归纳概括) . 例 3.求函数 解: (略) 注意:函数值域的求法. 例 4. (1)函数 (2)求函数 解: (略) 注意:利用函数单调性求函数最值的方法,复合函数最值的求法. 例 5. (2003 年上海高考题)已知函数 义域,并讨论它的奇偶性和单调性. 解: (略) 注意:判断函数奇偶性和单调性的方法,规范判断函数奇偶性和单调性的步骤. 例 6.求函数 解: (略) 注意:复合函数单调性的求法及规律: “同增异减” . 练习:求函数

f ( x) ? lg(? x 2 ? 8x ? 7) 的定义域及值域.

y ? loga x 在[2,4]上的最大值比最小值大 1,求 a 的值;

y ? log3 ( x 2 ? 6x ? 10) 的最小值.

f ( x) ?

1 1? x ? log 2 ,求函数 f (x ) 的定 x 1? x

f ( x) y ? log0.2 (?x 2 ? 4x ? 5) 的单调区间.

y ? log1 (3 ? 2x ? x 2 ) 的单调区间.
2

约 10 分钟

题组训练(分 A、B、C 三组) (题组略)

巡查辅导

独立完成

ABC2

布置作业:A 创新作业§2.2.3 教学反思

高一数学

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第二章

基本初等函数

课题:§2.2.5 对数函数及其性质(3)
一、学习目标 (1) (2) (3) 理解指数函数与对数函数的依赖关系,了解反函数的概念,加深对函数的模型化思想的理解. 通过作图,体会两种函数的单调性的异同. 对体会指数函数与对数函数内在的对称统一.

二、重点:难两种函数的内在联系,反函数的概念。 三、难点:反函数的概念.

四、教学思路设计:问题发现法。 五、过程设计: 班为竞赛班,B 班为实验班,C 班为基础班) (A
时间 约 6 分钟 材料一: 问题情景与设计意图 教师活动 引导学生分析归纳, 总结概括得 学生活动 独立思考完 成, 讨论展示 并分析自己 的结果.

当生物死亡后,它机体内原有的碳 14 会按确定的规律衰减, 出结论: 大约每经过 5730 年衰减为原来的一半, 这个时间称为 “半衰 期” .根据些规律,人们获得了生物体碳 14 含量 P 与生物死 亡年数 t 之间的关系.回答下列问题: (1)求生物死亡 t 年后它机体内的碳 14 的含量 P,并用函 数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是我们所学过的何 种函数? (2)已知一生物体内碳 14 的残留量为 P,试求该生物死亡 的年数 t,并用函数的观点来解释 P 和 t 之间的关系,指出是 我们所学过的何种函数? (3)这两个函数有什么特殊的关系? (4) 用映射的观点来解释 P 和 t 之间的对应关系是何种对应 关系? (5)由此你能获得怎样的启示? (1) 和 t 之间的对应关系是一 P 一对应; (2)P 关于 t 是指数函数

1 P ? (5730 ) x ; 2
t 关 于 P 是 对 数 函 数

t ? log
5730

1 2

x, 它们的底数相

同,所描述的都是碳 14 的衰变 过程中,碳 14 含量 P 与死亡年 数 t 之间的对应关系; (3)本问题中的同底数的指数 函数和对数函数, 是描述同一种 关系(碳 14 含量 P 与死亡年数 t 之间的对应关系)的不同数学 模型.

高一数学

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第二章 A班 约 10 分钟 B班 约 12 分钟 C班 约 14 分钟 材料二:由对数函数的定义可知,对数函数

基本初等函数

y ? log2 x 是

引导学生分析,讲评得出结论, 仿 照 材 料 一 进而引出反函数的概念. 分 析 : 与

把指数函数

y ? 2 x 中的自变量与因变量对调位置而得出

y ? 2x

的 , 在列 表画

y ? log2 x 的 图 象时 ,也 是把 指 数函 数

y ? log2 x
的关系.

y ? 2 x 的对应值表里的 x 和 y 的数值对换,而得到对数函


y ? log2 x 的对应值表,如下:表一 y ? 2 x .

x
y
表二

? ?

-3

-2

-1

0 1

1 2

2 4

3 8

? ?

1 8

1 4

1 2

y ? log2 x .
? ? -3 -2 -1 0 1 1 2 2 4 3 8 ? ?

x
y

1 8

1 4

1 2

在同一坐标系中,用描点法画出图象. A班 约 10 分钟 B班 约 12 分钟 C班 约 14 分钟 说明: (1)互为反函数的两个函 a.反函数的概念:当一个函数是一一映射时,可以把这个函 数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自 变量作为新的函数的因变量, 我们称这两个函数互为反函数. 由反函数的概念可知,同底数的指数函数和对数函数互为反 函数. b.以 数是定义域、值域相互交换,对 应法则互逆的两个函数; (2)由反函数的概念可知“单 调函数一定有反函数” ; (3)互为反函数的两个函数是
x

分组讨论 b, 选出代表阐 述各自的结 论, 师生共同 评析归纳.

y?2



y ? log2 x 为例研究互为反函数的两个函

描述同一变化过程中两个变量 关系的不同数学模型. 引导学生探索研究 b.

数的图象和性质有什么特殊的联系? 约 4 分钟

求下列函数的反函数: (1) y

? 3x ;

(2) y

? log6 x

巡视辅导

独立完成

5

从宏观性、关联性角度试着给指数函数、对数函数的定义、 图象、性质作一小结.

提示、引导

尝试总结

B班 6 A 班 10

我们知道,指数函数

y ? a x (a ? 0 ,且 a ? 1) 与对数函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1)

教师巡视辅 导; 学生练习、 讨 论

互为反函数,那么,它们的图象有什么关系呢?运用所学的数学知识,探索下面几个问题,亲 自发现其中的奥秘吧! 问题 1 在同一平面直角坐标系中,画出指数函数

y ? 2 x 及其反函数 y ? log2 x 的图象,你

B 教师给出 结论: 互 为

能发现这两个函数的图象有什么特殊的对称性吗? 问题 2 是否在 取

反函数的 两个函数 的图象关 于 直

y ? 2 x 图象上的几个点,说出它们关于直线 y ? x 的对称点的坐标,并判断它们

y ? log2 x 的图象上,为什么?
如果 P0(x0 ,y 0)在函数

y?x
称.

线 对

问题 3 高一数学

y ? 2 x 的图象上,那么 P0 关于直线 y ? x 的对称点在函数
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第二章

基本初等函数

y ? log2 x 的图象上吗,为什么?
问题 4 问题 5 由上述探究过程可以得到什么结论? 上述结论对于指数函数

y ? ax

(a ? 0 ,且 a ? 1) 及其反函数 y ? loga x(a ? 0 ,且 a ? 1) 也成立吗?为什么?
ABC2 布置作业:A 创新作业§2.2.4 教学反思

高一数学

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