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2014高考数学总复习 第9章解析几何单元检测 新人教A版


第九章

单元测试

一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.每小题中只有一项符合题目要求) 1. (2012?浙江)设 a∈R, 则“a=1”是“直线 l1: ax+2y-1=0 与直线 l2: x+(a+1)y+4=0 平行” 的 A.充分不必要条件 C.充分必要条件 答案 A 解析 由 a=1 可得 l1∥l2,反之,由 l1∥l2 可得 a=1 或 a=-2,故选 A. 2.(2012?湖北)过点 P(1,1)的直线,将圆形区域{(x,y)|x +y ≤4|}分为两部分,使得这两部分的 面积之差最大,则该直线的方程为 A.x+y-2=0 C.x-y=0 答案 A 解析 两部分面积之差最大,即弦长最短,此时直线垂直于过该点的直径.因 为过点 P(1,1)的直径所 在直线的斜率为 1,所以所求直线的斜率为-1,方程为 x+y-2=0. 3.经过抛物线 y =4x 的焦点且平行于直线 3x-2y=0 的直线 l 的方程是 ( A.3x-2y-3=0 C.2x+3y-2=0 答案 A 3 3 2 解析 ∵抛物线 y =4x 的焦点是(1,0),直线 3x-2y=0 的斜率是 ,∴直线 l 的方程是 y= (x-1), 2 2 即 3x-2y-3=0,故选 A. 4.已知圆 C 的半径为 2,圆心在 x 轴的正半轴上,直线 3x+4y+4=0 与圆 C 相切,则圆 C 的方程为 A.x +y -2x-3=0 C.x +y +2x-3=0 答案 D 3a+4 2 2 2 2 解析 设圆心 C(a,0)(a>0),由 =2 得,a=2,故圆的方程为(x-2) +y =4,即 x +y -4x=0. 5 5.(2012?江西)椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别是 A,B,左、右焦点分别是 F1,F2.若|AF1|, |F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为( A. 1 4 B. 5 5 )
2 2 2 2 2 2 2

( B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

( B.y-1=0 D.x+3y-4=0

)

)

B.6x-4y-3=0 D.2x+3y-1=0

B.x +y +4x=0 D.x +y -4x=0
2 2

2

2

x2 y2 a b

1

C.

1 2

D. 5-2

答案 B 解析 由等比中项的性质得到 a,c 的一个方程,再进一步转化为关于 e 的方程,解之即得所求.依 题意得|F1F2| =|AF1|?|F1B|,即 4c =(a-c)(a+c)=a -c ,整理得 5c =a ,∴e= =
2 2 2 2 2 2

c a

5 . 5

6.(2012?浙江)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲线的两顶点.若 M,

O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是

A.3 C. 3 答案 B

B .2 D. 2

解析 设焦点为 F(±c,0),双曲线的实半轴长为 a,则双曲线的离心率 e1= ,椭圆的离心率 e2= , a 2a 所以 =2.选 B. → → → → y2 2 7.设 F1、F2 分别是双曲线 x - =1 的左、右焦点.若点 P 在双曲线上,且PF1?PF2=0,则|PF1+PF2 9 |等于 A. 10 C. 5 答案 B 解析 F1(- 10,0),F2( 10,0),2c=2 10,2a=2. → → → 2 → 2 2 2 ∵PF1?PF2=0,∴|PF1| +|PF2| =|F1F2| =4c =40. → → 2 → 2 → 2 → → ∴(PF1+PF2) =|PF1| +|PF2| +2PF1?PF2=40. → → ∴|PF1+PF2|=2 10. 1 2 8.过抛物线 y= x 准线上任一点作抛物线的两条切线,若切点分别为 M,N,则直线 MN 过定点 4 A.(0,1) C.(0,-1) 答案 A B.(1,0) D.(-1,0) B.2 10 D .2 5 ( )

c

c

e1 e2

2

1 2 1 2 解析 特殊值法,取准线上一点(0,-1).设 M(x1, x1),N(x2, x2),则过 M、N 的切线方程分别为 4 4
2 2 2 y- x2 1= x1(x-x1),y- x2= x2(x-x2).将(0,-1)代入得 x1=x2=4,∴MN 的方程为 y=1,恒过(0,1)

1 4

1 2

1 4

1 2

点. 9.如图,过抛物线 x =4py(p>0)焦点的直线依次交抛物线与圆 x +(y-p) =p 于点 A、B、C、D,则 →
2 2 2 2

AB?CD的值是



(

)

A.8p C.2p

2

B.4p D .p
2

2

2

答案 D → → → → → → 2 解析 |AB|=|AF|-p=yA,|CD|=|DF|-p=yB,|AB|?|CD|=yAyB=p .因为AB,CD的方向相同,所以 →

AB?CD=|AB|?|CD|=yAyB=p2.
10.已知抛物线 y=x 上有一定点 A(-1,1)和两动点 P、Q,当 PA⊥PQ 时,点 Q 的横坐标取值范围是 A.(-∞,-3] C.[-3,1] 答案 D 解析 设 P(x1,x1),Q(x2,x2), ∴kAP=
2 x2 x2 1-1 2-x1 =x1-1,kPQ= =x2+x1. x1+1 x2-x1 2 2 2







B.[1,+∞) D.(-∞,-3]∪[1,+∞)

由题意得 kPA?kPQ=(x1-1)(x2+x1)=-1, 1 1 ∴x2= -x1= +(1-x1)-1.利用函数性质知 x2∈(-∞,-3]∪[1,+∞),故选 D. 1-x1 ? 1-x1? 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分,把答案填在题中横线上) π 11.设 l1 的倾斜角为 α ,α ∈(0, ),l1 绕其上一点 P 逆时针方向旋转 α 角得直线 l2,l2 的纵截距 2 π 为-2,l2 绕点 P 逆时针方向旋转 -α 角得直线 l3:x+2y-1=0,则 l1 的方程为________. 2 答案 2x-y+8=0 解析 ∵l1⊥l3,

3

2tanα 4 ∴k1=tanα =2,k2=tan2α = =- . 2 1-tan α 3 4 ∵l2 的纵截距为-2,∴l2 的方程为 y=- x-2. 3 4 ? ?y=- x-2, 3 由? ? ?x+2y-1=0,

∴P(-3,2),l1 过 P 点.

∴l1 的方程为 2x-y+8=0. 12 .过直线 2x+y+4=0 和圆 x +y +2x-4y+1=0 的交点且面积最小的圆的方程是________. 13 2 6 2 4 答案 (x+ ) +(y- ) = 5 5 5 解析 因为通过两个定点的动圆中,面积最小的是以这两个定点为直径端点的圆,于是解方程组
2 2

? ?2x+y+4=0, ? 2 2 ?x +y +2x-4y+1=0, ?

11 2 得交点 A(- , ),B(-3,2). 5 5 13 6 因为 AB 为直径,其中点为圆心,即为(- , ), 5 5

r= |AB|=

1 2

2 5, 5

13 2 6 2 4 所以圆的方程为(x+ ) +(y- ) = . 5 5 5 13.(2012?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的方程为 x +y -8x+15=0,若直线 y=kx-2 上 至少存在一点,使得以该点为圆心,1 为半径的圆与圆 C 有公共点,则 k 的最大值是________. 答案 4 3
2 2

|4k-2| 解析 设圆心 C(4,0)到直线 y=kx-2 的距离为 d,则 d= 2 ,由题意知问题转化为 d≤2,即 d k +1 = |4k-2| 4 4 ≤2,得 0≤k≤ ,所以 kmax= . 2 3 3 k +1 14.若椭圆 2+ 2=1 过抛物线 y =8x 的焦点,且与双曲线 x -y =1 有相同的焦点,则该椭圆的方程 是________. 答案

x2 y2 a b

2

2

2

x2 y2
4

+ =1 2
2

解析 抛物线 y =8x 的焦点坐标为(2,0),则依题意知椭圆的右顶点的坐标为(2,0),又椭圆与双曲线

x -y =1 有相同的焦点,∴a=2,c= 2.∵b =a -c ,∴b =2,∴椭圆的方程为 + =1.
4 2
4

2

2

2

2

2

2

x2 y2

→ → → → 15. 已知两点 M(-3,0), N(3,0), 点 P 为坐标平面内一动点, 且|MN|?|MP|+MN?NP=0, 则动点 P(x,

y)到点 A(-3,0)的距离的最小值为________.
答案 3 → → → → 解析 因为 M(-3,0),N(3,0),所以MN=(6,0),|MN|=6,MP=(x+3,y),NP=(x-3,y). → → → → 由|MN|?|MP|+MN?NP=0,得 6 ? x+3?
2

+y +6(x-3)=0,化简整理得 y =-12x.
2

2

2

所以点 A 是抛物线 y =-12x 的焦点,所以点 P 到 A 的距离的最小值就是原点到 A(-3,0)的距离,所 以 d=3. 16.已知以 y=± 3x 为渐近线的双曲线 D: 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,若 P |PF1|-|PF2| 为双曲线 D 右支上任意一点,则 的取值范围是________. |PF1|+|PF2|

x2 y2 a b

? 1? 答案 ?0, ? ? 2?
解析 依题意,|PF1|-|PF2|=2a,|PF1|+|PF2|≥2c, |PF1|-|PF2| a 1 b 所以 0< ≤ = .又双曲线的渐近线方程 y=± 3x,则 = 3. |PF1|+|PF2| c e a

c |PF1|-|PF2| 1 因此 e= =2,故 0< ≤ . a |PF1|+|PF2| 2
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. (本题满分 10 分)已知 O 为平面直角坐标系的原点, 过点 M(-2,0)的直线 l 与圆 x +y =1 交于 P,
2 2

Q 两点.
→ → 1 (1)若OP?OQ=- ,求直线 l 的方程; 2 (2)若△OMP 与△OPQ 的面积相等,求直线 l 的斜率. 解析 (1)依题意知直线 l 的斜率存在, 因为直线 l 过点 M(-2,0), 故可设直线 l 的方程为 y=k(x+2). → → 2 2 因为 P,Q 两点在圆 x +y =1 上,所以|OP|=|OQ|=1. → → → → 1 1 因为OP?OQ=- ,即|OP|?|OQ|?cos∠POQ=- . 2 2 1 所以∠POQ=120°,所以点 O 到直线 l 的距离等于 . 2

5

所以

|2k|
2

1 15 = ,解得 k=± . 2 15 k +1

所以直线 l 的方程为 x- 15y+2=0 或 x+ 15y+2=0. → → (2)因为△OMP 与△OPQ 的面积相等,所以 MP=PQ,即 P 为 MQ 的中点,所以MQ=2MP. → → 设 P(x1,y1),Q(x2,y2),所以MQ=(x2+2,y2),MP=(x1+2,y1). 所以?
? ?x2+2=2? ?y2=2y1, ?
2 2

x1+2? ,

即?

? ?x2=2?

x1+1? ,

?y2=2y1. ? ?x1+y1=1, ? ? ?x2+y2=1.
2 2 2 2



因为 P,Q 两点在圆 x +y =1 上,所以?



? ?x +y =1, 由①及②得? 2 2 ?4? x1+1? +4y1=1, ?

2 1

2 1

7 x =- , ? 8 ? 解得? 15 ? ?y =± 8 .
1 1

故直线 l 的斜率 k=kMP=±

15 . 9

18.(本题满分 12 分)(2012?北京文)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个顶点为 A(2,0),离心率为 2 .直线 y=k(x-1)与椭圆 C 交于不同的两点 M,N. 2 (1)求椭圆 C 的方程; (2)当△AMN 的面积为 10 时,求 k 的值. 3

x2 y2 a b

解析

a=2, ? ?c 2 (1)由题意得? = , a 2 ? ?a =b +c ,
2 2 2

解得 b= 2. 所以椭圆 C 的方程为 + =1. 4 2

x2 y2

y=k? x-1? , ? ? 2 2 (2)由?x y + =1, ? ?4 2

得(1+2k )x -4k x+2k -4=0.

2

2

2

2

设点 M,N 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则

y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=

4k 2k -4 2,x1x2= 2. 1+2k 1+2k
6

2

2

所以|MN|= ? = ? 1+k ? 2 ? =
2 2

x2-x1?

2

+?
2

y2-y1?
-4x1x2]

2

[? x1+x2?
2

1+k ? ? 4+6k ? . 2 1+2k |k| 1+k
2

又因为点 A(2,0)到直线 y=k(x-1)的距离 d= 所以△AMN 的面积为



S= |MN|?d=
2

1 2

|k| 4+6k . 2 1+2k

2

|k| 4+6k 10 4 2 由 = ,化简得 7k -2k -5=0,解得 k=±1. 2 1+2k 3

x2 y2 19.(本题满分 12 分)(2012?天津理)设椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右顶点分别为 A、B,点 P 在椭圆 a b
上且异于 A,B 两点,O 为坐标原点. 1 (1)若直线 AP 与 BP 的斜率之积为- ,求椭圆的离心率; 2 (2)若|AP|=|OA|,证明直线 OP 的斜率 k 满足|k|> 3. 解析 (1)设点 P 的坐标为(x0,y0). 由题意,有 2+ 2=1.① 由 A(-a,0),B(a,0),得 kAP=

x2 y2 0 0 a b

y0 y0 ,kBP= . x0+a x0-a

1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 由 kAP?kBP=- ,可得 x0=a -2y0,代入①并整理得(a -2b )y0=0.由于 y0≠0,故 a =2b .于是 e = 2

a2-b2 1 2 = ,所以椭圆的离心率 e= . a2 2 2
(2)方法一

y0=kx0, ? ? 2 2 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,设点 P 的坐标为(x0,y0).由条件得?x0 y0 2+ 2=1. ? ?a b
消去 y0 并整理得 x0=
2

a2b2 .② k2a2+b2
2 2 2 2 2 2

由|AP|=|OA|,A(-a,0)及 y0=kx0,得(x0+a) +k x0=a .整理得(1+k )x0+2ax0=0. -2a 而 x0≠0,于是 x0= 2,代入②,整理得 1+k (1+k ) =4k ( ) +4.由 a>b>0,故(1+k ) >4k +4,即 k +1>4.因此 k >3,所以|k|> 3.
2 2 2

a b

2

2 2

2

2

2

7

方法二 依题意,直线 OP 的方程为 y=kx,可设点 P 的坐标为(x0,kx0).由点 P 在椭圆上,有 2+ =1.因为 a>b>0,kx0≠0,所以 2+

x2 k2x2 0 0 a b2

x2 k2x2 0 0 2 2 2 2 <1,即(1+k )x0<a .③ a a

-2a 2 2 2 2 2 2 由|AP|=|OA|,A(-a,0),得(x0+a) +k x0=a ,整理得(1+k )x0+2ax0=0,于是 x0= 2.代入③, 1+ k 4a 得(1+k )? 2 ? 1+k ?
2 2 2

<a ,解得 k >3,所以|k|> 3.

2

2

20. (本题满分 12 分)如图,点 A,B 分别是椭圆 + =1 长轴的左,右端点,点 F 是椭圆的右焦点, 36 20 点 P 在椭圆上,且位于 x 轴上方,PA⊥PF. (1)求点 P 的坐标; (2)设 M 是椭圆长轴 AB 的一点 , M 到直线 AP 的距离等于|MB|, 求椭圆上的点到点 M 的距离 d 的最小值. 解析 (1)由已知可得点 A(-6,0),F(4,0), 设点 P 的坐标是(x,y), → → 则AP=(x+6,y),FP=(x-4,y).

x2

y2

x y ? ? + = 1, 由已知得?36 20 ? ?? x+6? ? x-4? +y2=0,
3 2 则 2x +9x-18=0,x= 或 x=-6. 2 ∵点 P 位于 x 轴上方,∴x=-6 舍去, 3 5 只能取 x= .由于 y>0,于是 y= 3. 2 2 3 5 ∴点 P 的坐标是( , 3). 2 2 (2)直线 AP 的方程是 x- 3y+6=0. 设点 M 的坐标是(m,0)(-6≤m≤6), 则 M 到直线 AP 的距离是 于是

2

2

m+6
2

.

m+6
2

=6-m,解得 m=2.

椭圆上的点(x,y)到点 M 的距离 d 有
8

d2=(x-2)2+y2=x2-4x+4+20- x2
4 9 2 = (x- ) +15. 9 2 由于-6≤x≤6, 9 ∴当 x= 时,d 取得最小值 15. 2 21.(本题满分 12 分)已知椭圆

5 9

x2

m+1

+y =1 的两个焦点是 F1(-c,0),F2(c,0)(c>0).

2

(1)设 E 是直线 y=x+2 与椭圆的一个公共点,求|EF1|+|EF2|取得最小值时椭圆的方程; → (2)已知点 N(0, -1), 斜率为 k(k≠0)的直线 l 与条件(1)下的椭圆交于不同的两点 A, B, 点 Q 满足AQ → → → =QB,且NQ?AB=0,求直线 l 在 y 轴上的截距的取值范围. 解析 (1)由题意,知 m+1>1,即 m>0.

y=x+2, ? ? 2 由? x 2 +y =1, ? ?m+1
2

得(m+2)x +4(m+1)x+3(m+1)=0.

2

又由 Δ =16(m+1) -12(m+2)(m+1)=4(m+ 1)(m-2)≥0, 解得 m≥2 或 m≤-1(舍去),∴m≥2. 此时|EF1|+|EF2|=2 m+1≥2 3. 当且仅当 m=2 时,|EF1|+|EF2|取得最小值 2 3, 此时椭圆的方程为 +y =1. 3
? ?x +3y =3, (2)设直线 l 的方程为 y=kx+t.由方程组? ?y=kx+t, ?
2 2

x2

2

消去 y 得(1+3k )x +6ktx+3t -3=0. ∵直线 l 与椭圆交于不同的两点 A,B, ∴Δ =(6kt) -4(1+3k )(3t -3)>0, 即 t <1+3k .① 6kt 设 A(x1,y1),B(x2,y2),Q(xQ,yQ),则 x1+x2=- 2. 1+3k → → 由AQ=QB,得 Q 为线段的 AB 的中点, 则 xQ=
2 2 2 2 2

2

2

2

x1+x2
2

3kt t =- 2,yQ=kxQ+t= 2. 1+3k 1+3k

9

2+1 → → 1+3k ∵NQ?AB=0,∴直线 AB 的斜率 kAB 与直线 QN 的斜率 kQN 乘积为-1,即 kQN?kAB=-1,∴ ?k 3kt - 2 1+3k

t

=-1. 化简得 1+3k =2t,代入①式得 t <2t, 解得 0<t<2. 1 2 2 又 k≠0,即 3k >0,故 2t=1+3k >1,得 t> . 2 1 综上,直线 l 在 y 轴上的截距 t 的取值范围是( ,2). 2 22.(本题满分 12 分)(2012?浙江文)
2 2

1 5 2 如图,在直角坐标系 xOy 中,点 P(1, )到抛物线 C:y =2px(p>0)的准线的距离为 .点 M(t,1)是 C 2 4 上的定点,A,B 是 C 上的两动点,且线段 AB 被直线 OM 平分. (1)求 p,t 的值; (2)求△ABP 面积的最大值. 2pt=1, ? ? 解析 (1)由题意知? p 5 1+ = , ? ? 2 4 1 ? ?p= , 得? 2 ? ?t=1.

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),线段 AB 的中点为 Q(m,m).

由题意知,设直线 AB 的斜率为 k(k≠0).
? ?y1=x1, 由? 2 ?y2=x2, ?
2

得(y1-y2)(y1+y2)=x1-x2.

故 k?2m=1. 1 所以直线 AB 的方程为 y-m= (x-m). 2m 即 x-2my+2m -m=0.
10
2

由?
2

?x-2my+2m -m=0, ? ? ?y =x,
2

2

消去 x,整理得 y -2my+

2

2m -m=0. 所以 Δ =4m-4m >0,y1+y2=2m,y1?y2=2m -m. 从而|AB|= 1 2 2 1+ 2?|y1-y2|= 1+4m ? 4m-4m .
2 2

k

|1-2m+2m | 设点 P 到直线 AB 的距离为 d,则 d= . 2 1+4m 设△ABP 的面积为 S,则

2

S= |AB|?d=|1-2(m-m2)|? m-m2.
由 Δ =4m-4m >0,得 0<m<1. 1 2 2 令 u= m-m ,0<u≤ ,则 S=u(1-2u ). 2 1 2 2 设 S(u)=u(1-2u ),0<u≤ ,则 S′(u)=1-6u . 2 由 S′(u)=0,得 u= 所以[S(u)]max=S( 6 1 ∈(0, ]. 6 2
2

1 2

6 6 )= . 6 9 6 . 9

故△ABP 面积的最大值为

1.(2012?辽宁文)将圆 x +y -2x-4y+1=0 平分的直线是 ( A.x+y-1=0 C.x-y+1=0 答案 C B.x+y+3=0 D.x-y+3=0

2

2

)

解析 要使直线平分圆,只要直线经过 圆的圆心即可,由题知圆心坐标为(1,2).A,B,C,D 四个选 项中,只有 C 选项中的直线经过圆心,故选 C. 3 2 2 2.(2012?孝感统考)若直线过点 P(-3,- )且被圆 x +y =25 截得的弦长是 8,则该直线的方程为 2 ( A.3x+4y+15=0 C.x=-3 3 B.x=-3 或 y=- 2 D.x=-3 或 3x+4y+15=0
11

)

答案 D 解析 若直线的斜率不存在,则该直线的方程为 x=-3,代入圆的方程解得 y=±4,故该直线被圆 3 3 截得的弦长为 8, 满足条件; 若直线的斜率存在, 不妨设直线的方程为 y+ =k(x+3), 即 kx-y+3k- = 2 2 0,因为该直线被圆截得的弦长为 8,故半弦长为 4,又圆的半径为 5,则圆心(0,0)到直线的距离为 5 -4 3 |3k- | 2 3 = ,解得 k=- ,此时该直线的方程为 3x+4y+15=0.综上可知答案为 D. 2 4 k +1 1 2 3.直线 4kx-4y-k=0 与抛物线 y =x 交于 A、B 两点,若|AB|=4,则弦 AB 的中点到直线 x+ =0 2 的距离等于 A. C. 7 4 9 4 B .2 D .4 ( )
2 2

答案 C 1 1 2 解析 直线 4kx-4y-k=0, 即 y=k(x- ), 可知直线 4kx-4y-k=0 过抛物线 y =x 的焦点( , 0). 设 4 4

A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+ =4,故 x1+x2= ,则弦 AB 的中点的横坐标是 ,弦 AB 的中点到
1 7 1 9 直线 x+ =0 的距离是 + = . 2 4 2 4 4.已知 l1 和 l2 是平面内互相垂直的两条直线,它们的交点为 A,动点 B、C 分别在 l1 和 l2 上,且 BC =3 2,则过 A、B、C 三点的动圆所形成的区域的面积为 A.6π C.16π 答案 D 解析 当 A 与 B 或 C 重合时,此时圆的面积最大,且圆的半径 r=BC=3 2,所以圆的面积 S=π r =π (3 2) =18π ,则过 A、B、C 三点的动圆所形成的区域的面积为 18π .
2 2

1 2

7 2

7 4

B.8π D.18π

x2 y2 x2 y2 5.已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)与双曲线 2- 2=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c,0)和(c,0).若 c 是 a a b m n
与 m 的等比中项,n 是 m 与 c 的等差中项,则椭圆的离心率等于 A. C. 1 3 1 2 B. D. 3 3 2 2
2 2 2

答案 B
12

解析 ∵c =am,2n =c +m ,又 n =c -m , 1 2 3 3 c 3 2 2 ∴m = c ,即 m= c.∴c = ac,则 e= = . 3 3 3 a 3 6.椭圆 + =1 离心率为 e,点(1,e)是圆 x +y -4x-4y+4=0 的一条弦的中点,则此弦所在直 4 3 线的方程是 A.3x+2y-4=0 C.3x-2y-2=0 答案 B 1 2- 2 3 1 1 解析 依题意得 e= ,圆心坐标为(2,2),圆心(2,2)与点(1, )的连线的斜率为 = ,所求直线 2 2 2-1 2 2 1 2 的斜率等于- ,所以所求直线方程是 y- =- (x-1),即 4x+6y-7=0,选 B. 3 2 3 7.已知圆 x +y =1 与 x 轴的两个交点为 A、B,若圆内的动点 P 使|PA|、|PO|、|PB|成等比数列,则 →
2 2

2

2

2

2

2

2

2

x2 y2

2

2

( B.4x+6y-7=0 D.4x-6y-1=0

)

PA?PB的取值范围为



(

)

? 1? A.?0, ? ? 2?
1 C.(- ,0) 2 答案 C

? 1 ? B.?- ,0? ? 2 ?
D.[-1,0)

解析 设 P(x,y),∴|PO| =|PA||PB|, 即 x +y = ?
2 2 2

2

x-1?
2

2

+y ? ?

2

x+1?

2

+y ,

2

整理得 2x -2y =1. → → 2 2 ∴PA?PB=(1-x,-y)?(-1-x,-y)=x +y -1 3 2 =2x - . 2 1 2 2 ∴P 为圆内动点且满足 x -y = . 2 ∴ 2 3 2 3 <|x|< ,∴1<2x < . 2 2 2

1 2 3 ∴- <2x - <0,选 C. 2 2 8.(2012?新课标全国)等轴双曲线 C 的中心在原点,焦点在 x 轴上,C 与抛物线 y =16x 的准线交于
2

A,B 两点,|AB|=4 3,则 C 的实轴长为
A. 2

(

)

B .2 2
13

C.4 答案 C

D .8

解析 抛物线 y =16x 的准线方程是 x=-4, 所以点 A(-4,2 3)在等轴双曲线 C: x -y =a (a>0)上, 将点 A 的坐标代入得 a=2,所以 C 的实轴长为 4. 9.已知正方形 ABCD,则以 A、B 为焦点,且过 C、D 两点的椭圆的离心率为________. 答案 2-1

2

2

2

2

解析 令 AB=2,则 AC=2 2. ∴椭圆中 c=1,2a=2+2 2? a=1+ 2. 可得 e= =

c a

1 2+1

= 2-1.
2

10.(2012?北京理)在直角坐标系 xOy 中,直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F,且与该抛物线相交于 A,

B 两点,其中点 A 在 x 轴上方.若直线 l 的倾斜角为 60°,则△OAF 的面积为________.
答案 3 3 4 3 y+1,代入抛物线方程得 y2- y-4=0,解得 yA 3 3

解析 直线 l 的方程为 y= 3(x-1),即 x= 4 3 + 3



16 +16 3 1 =2 3(yB<0,舍去),故△OAF 的面积为 ?1?2 3= 3. 2 2

→ → x2 y2 11.设椭圆 C: 2+ =1(a>0)的左、右焦点分别为 F1、F2,A 是椭圆 C 上的一点,且AF2?F1F2=0,坐 a 2 1 标原点 O 到直线 AF1 的距离为 |OF1|. 3 (1)求椭圆 C 的方程; → → (2)设 Q 是椭圆 C 上的一点,过点 Q 的直线 l 交 x 轴于点 P(-1,0),交 y 轴于点 M,若MQ=2QP,求直 线 l 的方程. 解析 (1)由题设知 F1(- a -2,0),F2( a -2,0). → → → → → 2 2 由于AF2?F1F2=0,则有AF2⊥F1F2,所以点 A 的坐标为( a -2,± ),故AF1所在直线方程为
2 2

a

x 1 y=±( + ). 2 a a -2 a
所以坐标原点 O 到直线 AF1 的距离为 又|OF1|= a -2,所以 解得 a=2(a> 2).
14
2

a2-2 (a> 2). a2-1

a2-2 1 2 = a -2, a2-1 3

所求椭圆的方程为 + =1. 4 2 (2)由题意可知直线 l 的斜率存在,设直线 l 斜率为 k, 直线 l 的方程为 y=k(x+1),则有 M(0,k). → → 设 Q(x1,y1),∵MQ=2QP, ∴(x1,y1-k)=2(-1-x1,-y1). 2 x =- , ? ? 3 ∴? k y= . ? ? 3
1 1

x2 y2

2 ? - ? 3 又 Q 在椭圆 C 上,得 4 解得 k=±4.

2

? ? 3 + 2

k

2

=1,

故直线 l 的方程为 y=4(x+1)或 y=-4(x+1), 即 4x-y+4=0 或 4x+y+4=0. 12.椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左、右焦点为 F1、F2,过 F1 的直线 l 与椭圆交于 A、B 两点. (1)如果点 A 在圆 x +y =c (c 为椭圆的半焦距)上,且|F1A|=c,求椭圆的离心率; → → (2)若函数 y= 2+logmx(m>0 且 m≠1)的图像,无论 m 为何值时恒过定点(b,a),求F2B?F2A的取值范 围. 解析 (1)∵点 A 在圆 x +y =c 上, ∴△AF1F2 为一直角三角形. ∵|F1A|=c,|F1F2|=2c, ∴|F2A|= |F1F2| -|AF1| = 3c. 由椭圆的定义,知|AF1|+|AF2|=2a,
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

c 2 ∴c+ 3c=2a.∴e= = = 3-1. a 1+ 3
(2)∵函数 y= 2+logmx 的图像恒过点(1, 2),由已知条件知还恒过点(b,a),∴a= 2,b=1,c =1. 点 F1(-1,0),F2(1,0), ①若 AB⊥x 轴,则 A(-1, 2 2 ),B(-1,- ). 2 2

→ → 2 2 ∴F2A=(-2, ),F2B=(-2,- ). 2 2
15

→ → 1 7 ∴F2A?F2B=4- = . 2 2 ②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k,则 AB 的 方程为 y=k(x+1). 由?
? ?y=k?
2

x+1? ,
2

?x +2y -2=0, ?
2 2 2 2

消去 y,得(1+2k )x +4k x+2(k -1)=0.(*) ∵Δ =8k +8>0,∴方程(*)有两个不同的实根. 设点 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1,x2 是方程(*)的两个根. 4k 2? k -1? x1+x2=- . 2,x1x2= 2 1+2k 1+2k → → ∴F2A=(x1-1,y1),F2B=(x2-1,y2). → → ∴F2A?F2B=(x1-1)(x2-1)+y1y2 =(1+k )x1x2+(k -1)(x1+x2)+1+k
2 2? =(1+k ) 2 2 2 2 2 2

2 k2-1? 4k 2 2 +(k -1)(- 2 2)+1+k 1+2k 1+2k

7k -1 7 = 2= - 1+2k 2 2? ∵1+2k ≥1,
2

2

9 . 2 1+2k ?

1 ∴0< 2≤1,0< 1+2k 2?

9 9 ≤ . 2 1+2k ? 2 9 7 < . 2 1+2k ? 2

→ → 7 ∴-1≤F2A?F2B= - 2 2?

→ → 7 综上,由①②,知-1≤F2A?F2B≤ . 2

x y 1 13.(2013?衡水调研)已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的一个焦点是 F(1,0),且离心率为 . a b 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)设经过点 F 的直线交椭圆 C 于 M,N 两点,线段 MN 的垂直平分线交 y 轴于点 P(0,y0),求 y0 的取 值范围. 解析 (1)设椭圆 C 的半焦距是 c.依题意,得 c=1. 1 因为椭圆 C 的离心率为 , 2 所以 a=2c=2,b =a -c =3. 故椭圆 C 的方程为 + =1. 4 3 (2)当 MN⊥x 轴时,显然 y0=0.
16
2 2 2

2

2

x2 y2

当 MN 与 x 轴不垂直时,可设直线 MN 的方程为 y=k(x-1)(k≠0).

y=k? x-1? , ? ? 2 2 由?x y + =1, ? ?4 3
2 2 2 2

消去 y 并整理得

(3+4k )x -8k x+4(k -3) =0. 设 M(x1,y1),N(x2,y2),线段 MN 的中点为 Q(x3,y3), 8k 则 x1+x2= 2. 3+4k 所以 x3=
2

x1+x2
2

4k -3k = 2,y3=k(x3-1)= 2. 3+4k 3+4k
2

2

3k 1 4k 线段 MN 的垂直平分线的方程为 y+ 2=- (x- 2). 3+4k k 3+4k

k 1 在上述方程中,令 x=0,得 y0= . 2= 3+4k 3 +4k k
3 3 当 k<0 时, +4k≤-4 3;当 k>0 时, +4k≥4 3.

k

k

所以-

3 3 ≤y0<0 或 0<y0≤ . 12 12 3 3 , ]. 12 12 3 ,Q 为椭圆 C 的 2

综上,y0 的取值范围是[-

14.(2013?北京海淀区期末)已知焦点在 x 轴上的椭圆 C 过点(0,1),且离心率为 左顶点. (1)求椭圆 C 的标准方程; 6 (2)已知过点(- ,0)的直线 l 与椭圆 C 交于 A,B 两点. 5 ①若直线 l 垂直于 x 轴,求∠AQB 的大小;

②若直线 l 与 x 轴不垂直,是否存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形?若存在,求直线 l 的方程;若 不存在,请说明理由. 解析 (1)设椭圆 C 的标准方程为 2+ 2=1(a>b>0),且 a =b +c . 由题意可知:b=1, =
2

x2 y2 a b

2

2

2

c a

3 . 2

解得 a =4,所以椭圆 C 的标准方程为 +y =1. 4 (2)由(1)得 Q(-2,0).设 A(x1,y1),B(x2,y2).

x2

2

17

6 ①当直线 l 垂直于 x 轴时,直线 l 的方程为 x=- . 5 6 x=- , ? ? 5 由? x ? ? 4 +y =1,
2 2

6 x=- , ? ? 5 解得? 4 y= ? ? 5

6 x=- , ? ? 5 或? 4 y=- . ? ? 5

6 4 6 4 即 A(- , ),B(- ,- )(不妨设点 A 在 x 轴上方), 5 5 5 5 4 -0 5 -2? 4 - -0 5 -2?

则 kAQ= 6 - -? 5

=1,kBQ= 6 - -? 5

=-1.

因为 kAQ?kBQ=-1,所以 AQ⊥BQ. π π 所以∠AQB= ,即∠AQB 的大小为 . 2 2 6 ②当直线 l 与 x 轴不垂直时,由题意可设直线 AB 的方程为 y=k(x+ )(k≠0). 5 6 ? ?y=k? x+5? 由? x ? ? 4 +y =1,
2 2

, 消去 y 得(25+100k )x +240k x+144k -100=0.
2 2 2 2

6 因为点(- ,0)在椭圆 C 的内部,显然 Δ >0. 5

? ? ? 144k -100 ? ?x x = 25+100k .
2 1 2 2

240k x1+x2=- 2, 25+100k

2

→ → 6 6 因为QA=(x1+2,y1),QB=(x2+2,y2),y1=k(x1+ ),y2=k(x2+ ), 5 5 → → 所以QA?QB=(x1+2)(x2+2)+y1y2 6 6 =(x1+2)(x2+2)+k(x1+ )?k(x2+ ) 5 5 6 2 36 2 2 =(1+k )x1x2+(2+ k )(x1+x2)+4+ k 5 25 6 2 240k 36 2 2 144k -100 =(1+k ) k =0. 2 +(2+ k )(- 2)+4+ 25+100k 5 25+100k 25 → → 所以QA⊥QB.所以△QAB 为直角三角形.
18
2 2

假设存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形,则|QA|=|QB|. 如图,取 AB 的中点 M,连接 QM,则 QM⊥AB.

6 记点(- ,0)为 N. 5 因为 xM=

x1+x2
2

120k 24k =- 2=- 2, 25+100k 5+20k

2

2

6 6k 所以 yM=k(xM+ )= 2, 5 5+20k -24k 6k 即 M( 2, 2). 5+20k 5+20k → 10+16k2 → 6k 6 6k 所以QM=( 2 , 2),NM=( 2, 2). 5+20k 5+20k 5+20k 5+20k
2 → → 10+16k2 6 6k 6k 60+132k 所以QM?NM= 2 ? 2+ 2? 2= 2 2≠0. 5+20k 5+20k 5+20k 5+20k ? 5+20k ? 2

→ → → → 所以QM与NM不垂直,即QM与AB不垂直,矛盾. 所以假设不成立,故当直线 l 与 x 轴不垂直时,不存在直线 l 使得△QAB 为等腰三角形. 15.设椭圆 M: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率与双曲线 x -y =1 的离心率互为倒数,且内切于圆 x +y =4. (1)求椭圆 M 的方程; (2)若直线 y= 2x+m 交椭圆于 A、B 两点,椭圆上一点 P(1, 2),求△PAB 面积的最大值. 解析 (1)双曲线的离心率为 2,则椭圆的离心率为

y2 x2 a b

2

2

2

2

c 2 e= = ,圆 x2+y2=4 的直径为 4,则 2a=4, a 2
2a=4, ? ?c 2 得? = , a 2 ? ?b =a -c
2 2

2

?a=2, ? ?c= 2, ?b= 2.
y2 x2

所求椭圆 M 的方程为 + =1. 4 2 (2)直线 AB 的直线方程为 y= 2x+m.

19

? ?y= 2x+m, 由?x2 y2 + =1, ? ?2 4
2

得 4x +2 2mx+m -4=0.

2

2

由 Δ =(2 2m) -16(m -4)>0,得-2 2<m<2 2. 2 m -4 ∵x1+x2=- m,x1x2= . 2 4 ∴|AB|= 1+2|x1-x2|= 3? ? = 3? 1 2 m -m2+4= 3 2
2

2

x1+x2? m2

2

-4x1x2

4- . 2

|m| 又 P 到 AB 的距离为 d= . 3 1 1 则 S△ABC= |AB|d= 3 2 2 1 = 2 ≤ 1 4-

m2|m|
2 3

m ? 4- ? =
2

2

m2

1

2 2

m2? 8-m2?

? 2 2

m +? 8-m ?
2

2

2

= 2,

当且仅当 m=±2∈(-2 2,2 2)取等号. ∴(S△ABC)max= 2. 16.设椭圆 C:x +2y =2b (常数 b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,M,N 是直线 l:x=2b 上的两个 → → 动点,F1M?F2N=0.
2 2 2

→ → (1)若|F1M|=|F2N|=2 5,求 b 的值; (2)求|MN|的最小值. 解析 设 M(2b,y1),N(b,y2), → → 则F1M=(3b,y1),F2N=(b,y2). → → 2 由F1M?F2N=0,得 y1y2=-3b .① → → (1)由|F1M|=|F2N|=2 5,得 ? 3b?
2

+y1=2 5.②
20

2

b2+y2 2=2 5.③
由①、②、③三式,消去 y1,y2,并求得 b= 2. (2)易求椭圆 C 的标准方程为 + =1. 4 2 方法一 |MN| =(y1-y2) =y1+y2-2y1y2≥ -2y1y2-2y1y2=-4y1y2=12b , 所以,当且仅当 y1=-y2= 3b 或 y2=-y1= 3b,|MN|取最小值 2 3b. 方法二 |MN| =(y1-y2) =y1+
2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

9b

4

y

2 1

+6b ≥12b ,

2

2

所以,当且仅当 y1=-y2= 3b 或 y2=-y1= 3b 时,|MN|取最小值 2 3b. 17.(2013?武汉)如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM|=2|DP|.当点 P 在圆 x +y =1 上 运动时. (1)求点 M 的轨迹 C 的方程; (2)过点 T(0,t)作圆 x +y =1 的切线 l 交曲线 C 于 A,B 两点,求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点
2 2 2 2

T 的坐标.

解析 (1)设点 M 的坐标为(x,y),点 P 的坐标为(x0,y0),则 x=x0,y=2y0,所以 x0=x,y0= .① 2 因为 P(x0,y0)在圆 x +y =1 上,所以 x0+y0=1.② 将①代入②,得点 M 的轨迹 C 的方程为 x + =1. 4 (2)由题意知,|t|≥1.当 t=1 时,切线 l 的方程为 y=1,点 A、B 的坐标分别为(- 3 3 ,1)、( , 2 2
2 2 2 2 2

y

y2

1),此时|AB|= 3,当 t=-1 时,同理可得|AB|= 3;当|t|>1 时,设切线 l 的方程为 y=kx+t,k∈ R.

y=kx+t, ? ? 由? 2 y2 x + =1, ? 4 ?

得(4+k )x +2ktx+t -4=0.③

2

2

2

设 A,B 两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则由③得

x1+x2=-

2kt t -4 2,x1x2= 2. 4+k 4+k

2

21

又由 l 与圆 x +y =1 相切,得 所以|AB|= ? = ? 1+k ?
2

2

2

|t|

k2+1
2

=1,即 t =k +1.

2

2

x2-x1?

2

+?
2

y2-y1?
- 4?

4k t [ 2 ? 4+k ?

2 2

t2-4? 4 3|t| ]= 2 . 2 4+k t +3

4 3|t| 因为|AB|= 2 = t +3

≤2,且当 t=± 3时,|AB|=2,所以|AB|的最大值为 2. 3 |t|+ |t|

4 3

1 2 2 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x +y =1 的半径,所以△AOB 面积 S= |AB|?1≤1,当且仅当 2

t=± 3时,△AOB 面积 S 的最大值为 1,相应的 T 的坐标为(0,- 3)或(0, 3).
18.已知焦点在 y 轴上的椭圆 C1: 2+ 2=1 经过 A(1 ,0)点,且离心率为 (1)求椭圆 C1 的方程; (2)过抛物线 C2:y=x +h(h∈R)上 P 点的切线与椭圆 C1 交于两点 M、N,记线段 MN 与 PA 的中点分别 为 G、H,当 GH 与 y 轴平行时,求 h 的最小值. =1, ? ?b (1)由题意可得?c 3 = , a 2 ? ?a =b +c . 1
2 2 2 2 2 2

y2 x2 a b

3 . 2

解析

解得 a=2,b=1,所以椭圆 C1 的方程为 x + =1. 4 (2)设 P(t,t +h),由 y′=2x,抛物线 C2 在点 P 处的切线的斜率为 k=y′ 所以 MN 的方程为 y=2tx-t +h. 代入椭圆方程得 4x +(2tx-t +h) -4=0, 化简得 4(1+t )x -4t(t -h)x+(t -h) -4=0. 又 MN 与椭圆 C1 有两个交点, 故 Δ =16[-t -2(h+2)t -h +4]>0.① 设 M(x1,y1),N(x2,y2),MN 中点横坐标为 x0,则 x0= 1+t 设线段 PA 的中点横坐标为 x3= . 2 由已知得 x0=x3,即
4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

y2

|

x=t

=2t,

x1+x2 t? t2-h? = . 2 2 2? 1+t ?

t? t2-h? 1+t = .② 2 2? 1+t ? 2 t

1 显然 t≠0,h=-(t+ +1).③
22

1 当 t>0 时,t+ ≥2,当且仅当 t=1 时取得等号,此时 h≤-3 不符合①式,故舍去;

t

1 当 t<0 时,(-t)+(- )≥2,当且仅当 t=-1 时取得等号,此时 h≥1,满足①式.综上,h 的最小

t

值为 1. 19.已知△ABC 中,点 A、B 的坐标分别为(- 2,0),B( 2,0),点 C 在 x 轴上方. (1)若点 C 坐标为( 2,1),求以 A、B 为焦点且经过点 C 的椭圆的方程; 3 (2)过点 P(m,0)作倾斜角为 π 的直线 l 交(1)中曲线于 M、N 两点,若点 Q(1,0)恰在以线段 MN 为直径 4 的圆上,求实数 m 的值. 解析 (1)设椭圆方程为 2+ 2=1,c= 2,2a=|AC|+|BC|=4,b= 2,所以椭圆方程为 + =1. a b 4 2 (2)直线 l 的方程为 y=-(x-m),令 M(x1,y1),N(x2,y2),联立方程解得 3x -4mx+2m -4=0, 4m ? ?x +x = 3 , ? 2m -4 ?x x = 3 ?
1 2 2 1 2 2 2

x2 y2

x2 y2

若 Q 恰在以 MN 为直径的圆上,



y2 2± 19 2 2 ? =-1,即 m +1-(m+1)(x1+x2)+2x1x2=0,3m -4m-5=0,解得 m= . x1-1 x2-1 3

y1

x2 y2 2 20.已知椭圆 C: 2+ 2=1(a>b>0)的离心率为 ,其中左焦点 F(-2,0). a b 2
(1)求椭圆 C 的方程; (2)若直线 y=x+m 与椭圆 C 交于不同的两点 A,B,且线段 AB 的中点 M 关于直线 y=x+1 的对称点在 圆 x +y =1 上,求 m 的值.
2 2

? ?c= 2, 解析 (1)?a 2 ? ?c=2

? + =1. 8 4

x2 y2

(2)设 A(x1,y1),B(x2,y2),M(x3,y3),V(x4,y4).

x y ? ? + =1, 由? 8 4 ? ?y=x+m
2

2

2

? 3x +4mx+2m -8=0.

2

2

∴Δ =96-8m >0? -2 3<m<2 3. ∴x3=

x1+x2
2

2m m =- ,y3=x3+m= . 3 3

23

y +y x +x ? ? 2 = 2 +1, 又? y -y ? ?x -x =-1
3 4 3 4 4 4 3 3 2

m x = - 1, ? ? 3 ?? 2m ? ?y =1- 3 ,
4 4 2

在 x +y =1 上.

2

2

m 2m 2 m 2m 4m 4m 2 ∴( -1) +(1- ) =1? - + - +1=0. 3 3 9 3 1 3
∴5m -18m+9=0? (5m-3)(m-3)=0. 3 ∴m= 或 m=3 经检验成立. 5 3 ∴m= 或 m=3. 5 21.(2012?浙江宁波市期末)已知抛物线 C:x =2py(p>0)的焦点为 F,抛物线上一点 A 的横坐标为
2 2

p x1(x1>0),过点 A 作抛物线 C 的切线 l1 交 x 轴于点 D,交 y 轴于点 Q,交直线 l:y= 于点 M,当|FD|=2
2 时,∠AFD=60°. (1)求证:△AFQ 为等腰三角形,并求抛物线 C 的方程; (2)若 B 位于 y 轴左侧的抛物线 C 上,过点 B 作抛物线 C 的切线 l2 交直线 l1 于点 P,交直线 l 于点 N, 求△PMN 面积的最小值,并求取到最小值时的 x1 的值. 解析 (1)设 A(x1,y1),则切线 AD 的方程为 y= x-

x1 p

x2 1 . 2p

所以 D( ,0),Q(0,-y1),|FQ|= +y1,|FA|= +y1,所以|FQ|=|FA|. 2 2 2 所以△AFQ 为等腰三角形, 且 D 为 AQ 中点,所以 DF⊥AQ. ∵|DF|=2,∠AFD=60°, ∴∠QFD=60°, =1,得 p=2,抛物线方程为 x =4y. 2 (2)设 B(x2,y2)(x2<0), 则 B 处的切线方程为 y= x- . 2 4

x1

p

p

p

2

x2

x2 2

? ?y= 2 x- 4 , 由? x x ? ?y= 2 x- 4
x1
2 2 2

x2 1

? P(

x1+x2 x1x2
2 , 4

),

x1 x1 ? ?y= x- , 4 ? 2 ? ?y=1

2

x1 2 ? M( + ,1). 2 x1

24

x2 2 1 x1 2 x 2 2 x1x2 ? x2-x1? ? 4-x1x2? 同理 N( + ,1),所以面积 S= ( + - - )?(1- )= 2 x2 2 2 x1 2 x2 4 16x1x2
设 AB 的方程为 y=kx+b,则 b>0. 由?
?y=kx+b, ? ?x =4y ? ? ?x1+x2=4k, ?x1x2=-4b, ?
2 2

2

.①

? x -4kx-4b=0,

2

得?

代入①得
2

S=

16k +16b? 4+4b? 64b



?

1+b?

2

k2+b

b

? 1+b? ,使面积最小,则 k=0,得到 S=

2

b

b

.②

令 b=t, ? 1+t ? ②得 S(t)=
2 2

t

1 ? 3t -1? ? t +1? 3 =t +2t+ ,S′(t)= , 2

2

2

t

t

∴当 t∈(0, ∴当 t=

3 3 )时 S(t)单调递减;当 t∈( ,+∞)时 S(t)单调递增. 3 3

3 16 3 1 2 时,S 取最小值为 ,此时 b=t = ,k=0, 3 9 3

1 2 3 ∴y1= 即 x1= . 3 3 22.

如图,已知 M(m,m )、N(n,n )是抛物线 C:y=x 上的两个不同的点,且 m +n =1,m+n≠0,直线

2

2

2

2

2

x2 y2 l 是线段 MN 的垂直平分线,设椭圆 E 的方程为 + =1(a>0,a≠2). 2 a
(1)当 M、N 在 C 上移动时,求直线 l 的斜率 k 的取值范围; (2)已知直线 l 与抛物线 C 交于 A、B 两点,与椭圆 E 交于 P、Q 两点,设线段 AB 的中点为 R,线段 QP → → 的中点为 S,若OR?OS=0,求椭圆 E 的离心率的取值范围. 解析 (1)由题意知,直线 MN 的斜率 kMN=

m2-n2 =m+n. m-n
1 . m+n
2

又 l⊥MN,m+n≠0,∴直线 l 的斜率 k=-
2 2 2 2 2 2

∵m +n =1,由 m +n ≥2mn,得 2(m +n )≥(m+n) , 即 2≥(m+n) (当 m=n 时,等号成立),∴|m+n|≤ 2.
25
2

∵M、N 是不同的两点,即 m≠n,∴0<|m+n|< 2. ∴|k|> 2 2 2 ,即 k<- 或 k> . 2 2 2

(2)由题意易得,线段 MN 的中点坐标为( ∵直线 l 是线段 MN 的垂直平分线, ∴直线 l 的方程为 y- 又∵m +n =1,k=-
2 2

m+n m2+n2
2 , 2

).

m2+n2
2 1

=k(x-

m+n
2

).

m+n



∴直线 l 的方程为 y=kx+1. 将直线 l 的方程代入抛物线方程和椭圆方程并分别整理,得

x2-kx-1=0, ①(a+2k2)x2+4kx+2-2a=0. ②
易知方程①的判别式 Δ 1=k +4>0, 方程②的判别式 Δ 2=8a(2k +a-1).
2 1 2 由(1)易知 k > ,且 a>0,∴2k +a-1>a>0,∴Δ 2>0 恒成立. 2 2 2

设 A(xA,yA),B(xB,yB),P(xP,yP),Q(xQ,yQ),则 xA+xB=k,yA+yB=kxA+1+kxB+1=k(xA+xB)+2 =k +2. ∴线段 AB 的中点 R 的坐标为( , +1). 2 2 又 xP+xQ=- 4k ,yP+yQ=kxP+1+kxQ+1 a+2k2 2a . a+2k2 -2k a ). 2, a+2k a+2k2
2

k k2

=k(xP+xQ)+2=

∴线段 QP 的中点 S 的坐标为(

→ k k2 → → → -2k a ∴OR=( , +1),OS=( 2, 2),由OR?OS=0, 2 2 a+2k a+2k -k +a? 得 ∴a=
2 2

k2
2

+1?
2

a+2k
2k . k2+2
2

2

=0,即-k +a( +1)=0. 2

k2

1 2k 2 2 2k 4 ∵k > ,∴a= 2 = > ,a= 2 =2- 2 <2. 2 k +2 2 5 k +2 k +2 1+ 2

2

2

k

26

2 ∴ <a<2.由题易知, 椭圆 E 的离心率 e= 5

2-a 2 2 5 2 2 2 4 , ∴a=2-2e , ∴ <2-2e <2, ∴0<e < , ∴0<e< . 2 5 5 5

2 5 ∴椭圆 E 的离心率的取值范围是(0, ). 5

27


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