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高考数学创新题型精选


高考数学创新题型精选
一、选择题(共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1. (06 年山东)定义集合运算:A⊙B={z︳z= xy(x+y),z∈A,y∈B} ,设集合 A={0,1} ,B= {2,3} ,则集合 A⊙B 的所有元素之和为( ) A.0 B.6 C.12 D.18 + 是 R 上的一个运算, A 是 R 的非空子集,若对任意 a, b ? A 有 a ○ + b ? A ,则 2. (06 年辽宁卷)设○ + 封闭,下列数集对加法、 称 A 对运算○ 减法、 乘法和除法(除数不等于零)四则运算都封闭的是 ( ) A.自然数集 B.整数集 C.有理数集 D.无理数集 x2 y 2 3.(05 天津)从集合{1,2,3,?,11}中的任意取两个元素作为椭圆 2 ? 2 ? 1 方程中的 m 和 n , m n 则能组成落在矩形区域 B ? ?? x, y ? | | x | ? 11, | y | ? 9? 内的椭圆的个数是( ) A. 43 B. 72 C. 86 D. 90 4. (05 福建) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的偶函数,且 f (2) ? 0 ,则方程 f ( x) =0 在区间 (0,6)内解的个数的最小值是 ( ) A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 5.(06 上海卷)如果一条直线与一个平面垂直,那么,称此直线与平面构成一个“正交线面对” 。 在一个正方体中,由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对”的个数是 ( ) A.48 B. 18 C. 24 D.36 6.点 P 到点 A(

1 1 ,0),B( a ,2)及到直线 x=- 的距离都相等,如果这样的点恰好只有一个, 2 2
) C.
2

那么 a 的值是 ( A.

1 2

B.

3 2

1 3 或 2 2

D.-

1 1 或 2 2

7.如果二次方程 x -px-q=0(p,q∈N*) 的正根小于 3, 那么这样的二 次方程有( ) A. 5 个 B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个 8. 设四棱锥 P-ABCD 的底面不是平行四边形, 用平面 α 去截此四棱锥 (如右图) , 使得截面四边形是平行四边形, 则这样的平面 α ( ) A. 不存在 B. 只有 1 个 C. 恰有 4 个 D. 有无数多个 9。 (05 全国Ⅲ)计算机中常用的十六进制是逢 16 进 1 的记数制,采 用数字 0-9 和字母 A-F 共 16 个记数符号;这些符号与十进制的数的对应关系如下表: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F 十六进制 十进制 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 例如,用十六进制表示:E+D=1B,则 A ? B ? ( ) A .6E B. 72 C .5F D. B0 10.设 P 是△ABC 内任意一点,S△ABC 表示△ABC 的面积,λ 1= λ 3=

S ?PAB S ?ABC

S ?PBC S , λ 2= ?PCA , S ?ABc S ?ABC 1 1 1 ,定义 f(P)=(λ 1, λ , λ 3),若 G 是△ABC 的重心,f(Q)=( , , ) ,则 2 3 6
) B. 点 Q 在△GBC 内 D. 点 Q 与点 G 重合

( A. 点 Q 在△GAB 内 C. 点 Q 在△GCA 内

二、填空题(共 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.在平面几何中有如下特性:从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边 的距离之比为定值。类比上述性质,请叙述在立体几何中相应地特性,并画出图 形。不必证明。 类比性质叙述如下 :________________ 12 .规 定记号 “ ? ” 表示一 种运 算,即 a ? b ? a b ? a ? b, a、 b ? R ? . 若 1? k ? 3 , 则函 数

f ? x ? ? k ? x 的值域是________. 13.一个正整数数表如下(表中下一行中的数的个数是上一行中数的个数的 2 倍) : 1 第1行 2 3 第2行 4 5 6 7 第3行 ? ? 则第 9 行中的第 4 个数是________ A.132 B.255 C.259 D.260 14.某保险公司新开设了一项保险业务,若在一年内事件 E 发生,该公司要赔偿 a 元.设在一年 内 E 发生的概率为 p,为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十,公司应要求顾客交保险金为 _________________ 15. (05 年湖南)设函数 f (x)的图象与直线 x =a,x =b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在
[a,b]上的面积,已知函数 y=sinnx 在[0, (i)y=sin3x 在[0,

2? ]上的面积为 ; 3 ? 4? (ii) y=sin (3x-π ) +1 在[ , ]上的面积为 3 3

? 2 ]上的面积为 (n∈N*) , n n

. D1 C1 A1 D C B A 第 16 题图 B1

16. (06 年安徽卷)多面体上,位于同一条棱两端的顶点称 为相邻的,如图,正方体的一个顶点 A 在平面 ? 内,其余顶 点在 ? 的同侧,正方体上与顶点 A 相邻的三个顶点到 ? 的 距离分别为 1, 2 和 4, P 是正方体的其余四个顶点中的一个, 则 P 到平面 ? 的距离可能是:①3; ②4; ③5; ④6; ⑤7 以上结论正确的为______________。 (写出所有正确结 论的编号 ) ..

?
A1

三、解答题(共 4 小题,10+12+12+12=46,共 46 分) (17).(本题满分 10 分) (05 年全国Ⅰ)设函数 f ( x) ? sin(2 x ? ? ) (?π ? ? ? 0) 。y=f(x)图像 的一条对称轴是直线 x ?

(Ⅱ)求函数 y ? f ( x) 的单调增区间; (Ⅲ)证明直线 5x ? 2 y ? c ? 0 于函数 y ? f ( x) 的图像不相切.

π . 8

(Ⅰ)求 ? ;

18.(本题 12 分)某人玩硬币走跳棋的游戏,已知硬币出现正、反面的概率都是

1 .棋盘上标有 2

第 0 站、第 1 站、第 2 站、??、第 100 站.一枚棋子开始在第 0 站,棋手每掷一次硬币,棋子 向前跳动一次,若掷出正面,棋子向前跳一站;若掷出反面,则棋子向前跳两站,直到棋子跳到 第 99 站(胜利大本营)或第 100 站(失败大本营)时,该游戏结束.设棋子跳到第 n 站的概率为 Pn . (I)求 P0,Pl,P2;(II)求证: Pn ? Pn ?1 ? ? (Ⅲ)求玩该游戏获胜的概率.

1 ( Pn ?1 ? Pn ? 2 ) 2

19. (本题 12 分)(05 年北京)如图,直线 l1: y ? kx(k ? 0) 与直线 l2: y ? ?kx 之间的阴影区域(不含边界)记为 W, 其左半部分记为 W1,右半部分记为 W2. (Ⅰ)分别用不等式组表示 W1 和 W2; (Ⅱ)若区域 W 中的动点 P(x,y)到 l1,l2 的距离之 积等于 d2,求点 P 的轨迹 C 的方程; (Ⅲ)设不过原点 O 的直线 l 与(Ⅱ)中的曲线 C 相交 于 M1,M2 两点,且与 l1,l2 分别交于 M3,M4 两点. 求证△ OM1M2 的重心与△OM3M4 的重心重合. y l1

O l2

x

y 轴正方向上的单位向量分别是 i 、j , 20. (本题 12 分)设 x 轴、 坐标平面上点 An 、 Bn (n ? N * )
分别满足下列两个条件: ① OA 且 An An?1 = i + j ; ② OB1 ? 3i 且 Bn Bn ?1 = ( ) ? 3i 。 (Ⅰ) 1 ? j
n

? ?

2 3

求 OAn 及 OB n 的坐标; (Ⅱ)若四边形 An Bn Bn?1 An?1 的面积是 an ,求 an (n ? N * ) 的表达式; (Ⅲ)对于(Ⅱ)中的 an ,是否存在最小的自然数 M,对一切 (n ? N * ) 都有 an <M 成立?若存在, 求 M;若不存在,说明理由.

参考答案: 一、选择题(每题 3 分,共 30 分) 1.D 提示:当 x=0 时,z=0,当 x=1,y=2 时,z=6,当 x=1,y=3 时,z=12,故所有 元素之和为 18,选 D 2.C 提示: A 中 1-2=-1 不是自然数,即自然数集不满足条件;B 中 1 ? 2=0.5 不是整数, 即整数集不满足条件;C 中有理数集满足条件;D 中 2 ? 2 ? 2 不是无理数,即无理数集不满 足条件,故选择答案 C。 3.B 提示:根据题意, m 是不大于 10 的正整数、 n 是不大于 8 的正整数。但是当 m ? n 时

x2 y 2 ? ? 1 是圆而不是椭圆。先确定 n , n 有 8 种可能,对每一个确定的 n , m 有 10 ? 1 ? 9 种 m2 n2 可能。故满足条件的椭圆有 8 ? 9 ? 72 个。选 B
4.D 提示:由题意至少可得 f(0)=f(2)=f(-2)=f(3)=f(-3)=f(-5)=f(5)=f(1)=f(4)=0,即在区间(0,6) 内 f(x)=0 的解的个数的最小值是 5,选(D) 5.D 提示:正方体中,一个面有四条棱与之垂直,六个面,共构成 24 个“正交线面对” ;而 正方体的六个对角截面中,每个对角面又有两条面对角线与之垂直,共构成 12 个“正交线面对” , 所以共有 36 个“正交线面对” ;选 D。

y2 y2 1 2 y2 6.D 提示: (思路一)点 P 在抛物线 y =2x 上,设 P( ,y),则有( + ) =( - 2 2 2 2 1 15 1 a )2+(y-2)2,化简得( - a )y2-4y+ a 2+ =0, 当 a = 时, 符合题意; 2 4 2 2 1 1 17 1 a 15a 17 2 3 当 a≠ 时,?=0,有 a - + + =0,( a + )( a - a + )=0, a =- 。选 D. 2 4 2 2 8 4 2 1 2 (思路二) 由题意有点 P 在抛物线 y =2x 上,B 在直线 y=2 上,当 a=- 时,B 为直线 y=2 与 2 1 准线的交点,符合题意;当 a= 时,B 为直线 y=2 与抛物线通径的交点,也符合题意,故选 D. 2
2

答案:D

7.C 提 示 : 由 △=p +4q>0,-q<0, 知 方 程 的 根 为 一 正 一 负 . 设 f(x)=x -px-q , 则 2 f(3)=3 -3p-q>0, 即 3p+q<9.由于 p,q∈N*,所以 p=1,q≤5 或 p=2,q≤2. 于是共有 7 组(p,q) 符合题意.故选 C. 8.D 提示:设四棱锥的两组不相邻的侧面的交线为 m、n, 直线 m、n 确定了一个平面 β .作 与 β 平行的平面 α , 与四棱锥的各个侧面相截, 则截得的四边形必为平行四边形. 而这样的平 面 α 有无数多个.故选 D. 答案:D 9。A 提示:∵A=10,B=11,又 A×B=10×11=110=16×6+14,∴在 16 进制中 A×B=6E,∴选(A) 10.A 提示:由题 f(p)= (?1 , ?2 , ?3 ). 若 G 为 ?ABC 的重心 , 则f (G ) ? ( , , ) .

2

2

1 1 1 3 3 3

而 f (Q ) ? ( , , ) 与之比较知。 Q在?GAB中 。故选 A。 二、填空题 11. (下列答案中任一即可,答案不唯一) (1)从二面角的棱出发的一个半平面内任意一点到二面角的两 B β 个面的的距离之比为定值。 γ P (2)从二面角的棱上一点出发的一条射线上任意一点到二面角 O 的两个面的的距离之比为定值。 A α (3)在空间,从角的顶点出发的一条射线上任意一点到角两边 的距离之比为定值。 (4)在空间,射线 OD 上任意一点 P 到射线 OA 、 OB 、 OC 的距离之比不变。 (5)在空间,射线 OD 上任意一点 P 到平面 AOB 、 BOC 、 COA 的距离之比不变。 f(x)在(0,+∞)内是增函数,故 f(x)>1,即 f(x)的值域为 ?1, ? ?? 13.259
2 0 9 ?1

1 1 1 2 3 6

?1, ? ?? 12.

提示: 由 1? k ? 3 得 1? k ? 1 ? k ? 3 , 解得 k=1, 所以 f(x)= x ? 1 ? x( x ? 0) ,
1

提示:第 1 行第 1 个数为 1= 2 ,第 2 行第 1 个数为 2= 2 ,第 3 行第 1 个数为 4

= 2 ,?,第 9 行第 1 个数为 2 =256,所以第 9 行第 4 个数为 256+3=259。 14.(0.1+p)a 提示:设保险公司要求顾客交 x 元保险金,若以?表示公司每年的收益额,则? 是一个随机变量,其分布列为: x x-a ? p P 1-p 因此,公司每年收益的期望值为 E?=x(1-p)+(x-a)·p=x-ap. 为使公司收益的期望值等于 a 的百分之十, 只需 E?=0.1a,即 x-ap=0.1a, 故可得 x=(0.1+p)a. 即顾客交的保险金为(0.1+p)a 时,可使公司期望获益 10%a. 15. , ? ?

4 3

2 2? 2 4 提示: 由题意得: y=sin3x 在 [0, ] 上的面积为 ? 2 ? ,y ? sin(3x ? ? ) ? 1 3 3 3 3 ? 4? 2 在 [ , ] 上的图象为一个半周期结合图象分析其面积为 ? ? 。 3 3 3
16.①③④⑤

提示:如图,B、D、A1 到平面 ? 的距离分别为 1、2、4,则 D、A1 的中点到

平面 ? 的距离为 3,所以 D1 到平面 ? 的距离为 6;B、A1 的中点到平面 ? 的距离为 平面 ? 的距离为 5;则 D、B 的中点到平面 ? 的距离为 中点到平面 ? 的距离为 ①③④⑤。 三、解答题

5 ,所以 B1 到 2

3 ,所以 C 到平面 ? 的距离为 3;C、A1 的 2

7 ,所以 C1 到平面 ? 的距离为 7;而 P 为 C、C1、B1、D1 中的一点,所以选 2

(17) 。 (Ⅰ)解:∵ x ? ∴

?
8

是函数 y=f(x)的图象的对称轴,∴ sin( 2 ?

?
8

? ? ) ? ?1 ,

?
4

? ? ? k? ?

?
2

, k ? Z ,∵ ? ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? 3? 4

3? ) 。 由 题 意 得 4 ? 3? ? 3? 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , k ? Z , 所 以 函 数 y ? s i n 2( x? ) 的 单 调 增 区 间 为 2 4 2 4 ? 5? [k? ? , k? ? ], k ? Z 。 8 8 3? / 3? )) |=| 2 cos( 2 x ? ) |≤2 (Ⅲ)证明:∵| y / |=|( sin( 2 x ? 4 4 5 所以曲线 y=f(x)的切线的斜率取值范围是[-2,2], 而直线 5x-2y+c=0 的斜率为 >2,所以直线 2 3? ) 的图象不相切。 5x-2y+c=0 与函数 y ? sin( 2 x ? 4 1 1 1 1 18.解:(I)依题意,得 P0=1,P1= , P2 ? ? ? . 2 2 2 2
( Ⅱ ) 由 ( Ⅰ ) 知 ??? , 因 此

3? 。 4

y ? sin( 2 x ?

(II)依题意,棋子跳到第 n 站(2≤n≤99)有两种可能:第一种,棋子先到第 n-2 站,又掷出反面,

1 1 Pn ? 2 ;第二种,棋子先到第 n-1 站,又掷出正面,其概率为 Pn ?1 2 2 1 1 ∴ Pn ? Pn ?1 ? Pn ? 2 2 2 1 1 1 1 ∴ Pn ? Pn ?1 ? Pn ?1 ? Pn ? 2 ? Pn ?1 ? ? Pn ?1 ? Pn ? 2 2 2 2 2 1 1 即 Pn ? Pn ?1 ? ?( Pn ?1 ? Pn ? 2 )( 2 ? n ? 99) 2 2 1 1 (III)由(II)可知数列{ Pn ? Pn?1 }(1≤n≤99)是首项为 P 公比为 的等比数列, 1 ?P 0 ? ? 2 2 于是有 P ? P ? ( P ? P ) ? ( P ? P ) ? ( P ? P ) ? ? ? ( P ? P ) 99 0 1 0 2 1 3 2 99 98 1 1 2 1 3 1 99 2 1 100 = 1 ? (? ) ? (? ) ? (? ) ? ? ? (? ) ? [1 ? ( ) ] 2 2 3 2 3 2 2 1 100 因此,玩该游戏获胜的概率为 [1 ? ( ) ] . 3 2 W1 ? {( x, y) | kx ? y ? ?kx, x ? 0},
其概率为 19.解: (I)

W2 ? {( x, y) | ?kx ? y ? kx, x ? 0}. (II)直线 l1 : kx ? y ? 0, 直线 l2 : kx ? y ? 0 ,由题意得
| k 2 x2 ? y 2 | | kx ? y | | kx ? y | ? d 2. . ? d 2, 即 2 2 2 k ? 1 k ?1 k ?1 2 2 2 由 P( x, y ) ?W , 知 k x ? y ? 0, k 2 x2 ? y 2 ? d 2 , 即 k 2 x2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0. 所以 2 k ?1

所以动点 P 的轨迹方程为 k 2 x2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0. (III) 当直线 l 与 x 轴垂直时,可设直线 l 的方程为 x ? a(a ? 0). 由于直线 l 、 曲线 C 关于 x 轴对称, 且 l1 与 l2 关 于 x 轴 对 称 , 于 是 M1 M 2 , M 3 M的 4 中 点 坐 标 都 为 ( a , 0) , 所 以

?O M ,? O M M 1 M 2 3 4 2a , 0) ,即它们的重心重合. 的重心坐标都为 ( 3 当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y ? mx ? n(n ? 0).
由?

?k 2 x 2 ? y 2 ? (k 2 ? 1)d 2 ? 0

? y ? mx ? n 2 2 由直线 l 与曲线 C 有两个不同交点,可知 k ? m ? 0 ,且 ? (2mn)2 ? 4(k 2 ? m2 ) ? (n2 ? k 2d 2 ? d 2 ) ? 0. 设 M 1 , M 2 的坐标分别为 ( x1 , y1 ),( x2 , y2 ). 2mn , y1 ? y2 ? m( x1 ? x2 ) ? 2n. 则 x1 ? x2 ? 2 k ? m2 设 M3 , M 4 的坐标分别为 ( x3 , y3 ),( x4 , y4 ). ? y ? kx ? y ? ?kx n ?n 由? 及? 得x3 ? , x4 ? , k ?m k ?m ? y ? mx ? n ? y ? mx ? n 2mn ? x1 ? x2 . 从而 x3 ? x4 ? 2 k ? m2 所以 y3 ? y4 ? m( x3 ? x4 ) ? 2n ? m( x1 ? x2 ) ? 2n ? y1 ? y2 , 0 ? x1 ? x2 0 ? x3 ? x4 0 ? y1 ? y2 0 ? y3 ? y4 ? , ? . 所以 3 3 3 3 于是 ?OM1M 2 的重心与 ?OM 3 M 4 的重心也重合.
20.解答: (Ⅰ) OAn ? OA 1? A 1A 2 ?

,得 (k 2 ? m2 ) x2 ? 2mnx ? n2 ? k 2 d 2 ? 0.

? An ?1 An ? j ? (n ? 1)(i ? j ) ? (n ? 1)i ? nj ? (n ? 1, n) 2 2 2 OBn ? OB1 ? B1B2 ? ? Bn?1Bn ? 3i ? ( )1 ? 3i ? ( ) 2 ? 3i ? ? ( ) n ?1 ? 3i 3 3 3 2 1 ? ( )n 3 ? 3i ? ? 9 ? 9 ? ( 2 ) n ,0 ? . ? ? ? 2 3 ? ? 1? 3 1 2 n ?1 1 2 n (Ⅱ) an ? S△PAn?1 Bn?1 ? S△PAn Bn ? [10 ? 9 ? ( ) ] ? ( n ? 1) ? [10 ? 9 ? ( ) ] ? n 2 3 2 3 2 ? 5 ? (n ? 2) ? ( ) n ?1 , 3 2 n ?1 2 n (Ⅲ) an ? an ?1 ? [5 ? 3(n ? 2) ? ( ) ] ? [5 ? 3( n ? 1) ? ( ) ] 3 3 2 n ?1 2 2 ? 3 ? ( ) [(n ? 2) ? (n ? 1) ? ( )] ? ( n ? 4) ? ( ) n ?1 3 3 3 ∴ a1 ? a2 ? 0 , a2 ? a3 ? 0 , a3 ? a4 ? 0 。 a4 ? a5 ? 0 , a5 ? a6 ? 0 , a6 ? a7 ? 0 ,等

即在数列 {an } 中,a4 ? a5 ? 5 ?

8 是数列的最大项,所以存在最小的自然数 M ? 6 ,对一切 9

(n ? N * ) 都有 an <M 成立.


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