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2014北京高考文科数学word版


2014 年普通高等学校招生全国统一考试北京卷 文科数学
本试卷共 6 页,150 分。考试时长 120 分钟, 。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上 作答无效。考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第一部分(选择题

共 40 分)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的 4 个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.若集合 A ? ?0,1, 2, 4? , B ? ?1,2,3? ,则 A A. ?0,1, 2,3, 4? B. ?0, 4? ) C. y ? ln x ) C. ? 3, 7 ? ) C. 7 D. 15 D. ? 3,9 ? D. y ? x

B?(

) C. ?1, 2? D. ?3?

2.下列函数中,定义域是 R 且为增函数的是( A. y ? e? x B. y ? x

3.已知向量 a ? ? 2, 4 ? , b ? ? ?1,1? ,则 2a ? b ? ( A. ? 5, 7 ? B. ? 5,9 ?

4.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( A. 1 B. 3

开始

否 是

输出

结束
2 2 5.设 a 、 b 是实数,则“ a ? b ”是“ a ? b ”的(

) B.必要而不必要条件 D.既不充分学科网不必要条件 )

A.充分而不必要条件 C.充分必要条件 6.已知函数 f ? x ? ?

6 ? log 2 x ,在下列区间中,包含 f ? x ? 零点的区间是( x

A. ? 0,1?
2

B. ?1, 2 ?
2

C. ? 2, 4 ?

D. ? 4, ???

7.已知圆 C : ? x ? 3? ? ? y ? 4 ? ? 1 和两点 A? ?m,0? , B ? m,0? ? m ? 0? ,若圆 C 上存在点

P ,使得 ?APB ? 90 ,则 m 的最大值为(



A. 7 B. 6 C. 5 D. 4 8.加工爆米花时,爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”.咋特定条件下,可食用率

p 与加工时间 t (单位:分钟)学 科网满足的函数关系 p ? at 2 ? bt ? c ( a 、 b 、 c 是常
数) ,下图 记录了三次实验的数据.根据上述函数模型和实验数据,可以得到最佳加工时间为( A. 3.50 分钟 B. 3.75 分钟 C. 4.00 分钟 )

D. 4.25 分钟

p 0.8 0.7 0.5

O

3

4

5

t

第 2 部分(非选择题
二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。 9.若 ? x ? i ? i ? ?1 ? 2i ? x ? R ? ,则 x ? 10.设双曲线 C 的两个焦点为 ? 2, 0 , .

共 110 分)

?

? ?

2, 0 ,一个顶点式 ?1,0 ? ,则 C 的方程为
.

?

. 11.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的最长棱的棱长为

2

2 正(主)视图 1 1

1 侧(左)视图

俯视图

12.在 ?ABC 中, a ? 1 , b ? 2 , cos C ?

1 ,则 c ? 4

; sin A ?

.

?y ?1 ? 13.若 x 、 y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,则 z ? 3x ? y 的最小值为 ? x ? y ?1 ? 0 ?

.

14.顾客请一位工艺师把 A 、 B 两件玉石原料各制成一件工艺品,工艺师带一位徒弟完成这 项任务,每件颜料先由徒弟完成粗加工,学科 网再由工艺师进行精加工完成制作,两件工 艺品都 完成后交付顾客,两件原料每道工序所需时间(单位:工作日)如下: 工序 时间 原料 原料 A 原料 B 粗加工 精加工

9 6

15
21

则最短交货期为 工作日. 三、解答题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 15. (本小题满分 13 分) 已知 ?an ? 是等差数列, 满足 a1 ? 3 , 数列 ?bn ? 满足 b1 ? 4 , a4 ? 12 ,

b4 ? 20 ,且 ?bn ? an ? 是等比数列.
(1)求数列 ?an ? 和 ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?bn ? 的前 n 项和.

16.(本小题满分 13 分)函数 f ? x ? ? 3sin ? 2 x ?

? ?

??

? 的部分图象如图所示. 6?

(1)写出 f ? x ? 的最小正周期及图中 x0 、 y0 的值; (2)求 f ? x ? 在区间 ? ?

?? ? ? , ? ? 上的最大值和最小值. ? 2 12 ?

y y0

O

x0

x

AB ? BC , 17.(本小题满分 14 分)如图,在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧棱垂直于底面, BC 的中点. AA1 ? AC ? 2 , E 、 F 分别为 AC 1 1、
(1)求证:平面 ABE ? 平面 B1BCC1 ; (2)求证: C1F // 平面 ABE ; (3)求三棱锥 E ? ABC 的体积.

A1

E B1

C1

A B F

C

18. (本小题满分 13 分) 从某校随机抽取 100 名学生,获得了他们一周课外阅读时间(单位:小时)的数据,整理得 到数据分组及频数分布表和频率分布直方图:

(1)从该校随机选取一名学生,试估计这名学生该周课外阅读时间少于 12 小时的概率; (2)求频率分布直方图中的 a,b 的值; (3)假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替,试估计样本中的 100 名学生该 周课外阅读时间的平均数在第几组(只需写出结论) 19. (本小题满分 14 分) 已知椭圆 C: x 2 ? 2 y 2 ? 4 . (1) 求椭圆 C 的离心率; (2)设 O 为原点,若点 A 在直线 y ? 2 ,点 B 在椭圆 C 上,且 OA ? OB ,求线段 AB 长 度的最小值. 20. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? 3x .
3

(1)求 f ( x ) 在区间 [?2,1] 上的最大值; (2)若过点 P(1, t ) 存在 3 条直线与曲线 y ? f ( x) 相切,求 t 的取值范围; (3)问过点 A(?1, 2), B(2,10), C (0, 2) 分别存在几条直线与曲线 y ? f ( x) 相切?(只需写 出结论)


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