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幂函数教学案例

§2.3 幂函数教学案例
教学目标: 知识与技能 简单的应用. 过程与方法 能够类比研究一般函数、指数函数、对数函数的过 通过具体实例了解幂函数的图象和性质,并能进行

程与方法,来研究幂函数的图象和性质. 情感、态度、价值观 性. 教学重点: 重点 难点 从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质. 画五个具体幂函数的图象并由图象概括其性质,体会图象 体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称

的变化规律. 教学程序与环节设计:
创设情境 问题引入.

组织探究

幂函数的图象和性质.

尝试练习

幂函数性质的初步应用.

巩固反思

复述幂函数的图象规律及性质.

作业回馈

幂函数性质的初步应用.

课外活动

利用图形计算器或计算机探索一 般幂函数的图象规律.

教学过程与操作设计: 环节 教学内容设计 师生双边互动

阅读教材 P90 的具体实例 (1) ~ (5) , 生:独立思考完 思考下列问题: 1.它们的对应法则分别是什么? 创 2.以上问题中的函数有什么共同特 征? 设 (答案) 情 求立方; (4)开方; (5)取倒数(或 求-1 次方) . 境 2.上述问题中涉及到的函数,都是 师生:共同辨析 形如 y ? x ? 的函数, 其中 x 是自变量, 这种新函数与指 是 ? 常数. 数函数的异同. 析归纳概括得出 1. (1)乘以 1; (2)求平方; (3) 结论. 师:引导学生分 成引例.

材料一:幂函数定义及其图象. 一般地,形如
y ? x ? (a ? R)

师:说明: 幂函数的定 义来自于实践,

的函数称为幂函数,其中 ? 为常 它同指数函数、 数. 对数函数一样,

下面我们举例学习这类函数的一 也是基本初等函 组 些性质. 作出下列函数的图象:
1

数,同样也是一 种“形式定义”

(1)y ? x ; (2)y ? x 2 ; (3)y ? x 2 ; 的函数,引导学 织 (4) y ? x ?1 ; (5) y ? x 3 . 生注意辨析.

1 列表(略) [解] ○ 探 2 图象 ○

生:利用所学知 识和方法尝试作 出五个具体幂函 数的图象,观察



所图象,体会幂 函数的变化规 律.

师:引导学生应 用画函数的性质

画图象,如:定 义域、奇偶性.

师生共同分析, 强调画图象易犯 的错误.

环节 组

教学内容设计 材料二:幂函数性质归纳.

师生双边互动 师:引导学生观

(1)所有的幂函数在(0,+∞)都 察图象,归纳概 有定义,并且图象都过点(1,1) ; 织 原点, 并且在区间 [0,??) 上是增函数. 特 律. 别地,当 ? ? 1时,幂函数的图象下凸; 当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; 探 ( 3 ) ? ? 0 时,幂函数的图象在区 生:观察图象, 间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内, 分组讨论,探究 当 x 从右边趋向原点时,图象在 y 轴右 幂函数的性质和 究 方无限地逼近 y 轴正半轴, 当 x 趋于 ? ? 图 象 的 变 化 规 括幂函数的的性

( 2 ) ? ? 0 时,幂函数的图象通过 质及图象变化规

时,图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正 律,并展示各自 半轴. 的结论进行交流 评析,并填表.

材料三:观察与思考

观察图象,总结填写下表:

y?x

y ? x2

y ? x3

1

y ? x2

y ? x ?1

定义 域 值域 奇偶 性 单调 性 定点 师:引导学生回 [例 1] 比较下列两个代数值的大小: (1) (a ? 1)1.5 , a1.5 顾讨论函数性质 的方法,规范解 题格式与步骤.

(2) (2 ? a ) , 2
2

?

2 3

?

2 3

并指出函数 单调性是判别大

[例 2] 讨论函数 y ? x 3 的定义域、 奇 小的重要工具, 偶性,作出它的图象,并根据图象说明 幂函数的图象可 函数的单调性. 以在单调性、奇 偶性基础上较快 描出.

2

生:独立思考, 给出解答,共同 讨论、评析. 环节 呈现教学材料 1.利用幂函数的性质,比较下列各 题中两个幂的值的大小: 尝 试 练 习 (1) 2.3 , 2.4 ; (2) 0.31 , 0.35 5 ; (3) ( 2 ) 2 , ( 3) 2 ; (4)1.1 2 , 0.9 2 . 2.作出函数 y ? x 的图象,根据图 象讨论这个函数有哪些性质, 并给出证
3 2 ? 3

师生互动设计

3 4

3 4

6 5

6

?

3

?

1

?

1

明. 3 . 作 出 函 数 y ? x ?2 和 函 数
y ? ( x ? 3) ?2 的图象,求这两个函数的定

义域和单调区间. 4.用图象法解方程: (1) x ? x ? 1 ; (2) x3 ? x 2 ? 3 .

规律 1: 在第一象 1. 如图所示, 曲线 是幂函数 y ? x ? 在第一 象限内的图象, 已知 ? 探 究 与 发 现 2.在同一坐标系内,作出下列函数 的图象,你能发现什么规律? (1) y ? x ?3 和 y ? x 3 ;
5

限 , 作 直 线
x ? a(a ? 1) ,它同

各幂函数图象相 交,按交点从下

分 别 取 ? 1,1, ,2 四 个

1 2

值 , 则 相 应 图 象 依 次 到上的顺序,幂 为: . 指数按从小到大 的顺序排列.

规律 2: 幂指数互 为倒数的幂函数 在第一象限内的 图象关于直线

?

1

(2) y ? x 4 和 y ? x 5 .

4

y ? x 对称.

1
y?









1 , y ? 2 x 2 , y ? x 2 ? x, y ? 1 中,幂函数 2 x

作业 的个数为: 回馈 A.0 D.3 B.1 C.2

环节

呈现教学材料 2.已知幂函数 y ? f ( x) 的图象过点
(2, 2 ) ,试求出这个函数的解析式.

师生互动设计

3.在固定压力差(压力差为常数) 下,当气体通过圆形管道时,其流量速 率 R 与管道半径 r 的四次方成正比. (1)写出函数解析式; (2)若气体在半径为 3cm 的管道 中,流量速率为 400cm3/s,求该气体通 过半径为 r 的管道时, 其流量速率 R 的 表达式; (3)已知(2)中的气体通过的管 道半径为 5cm,计算该气体的流量速 率.

4.1992 年底世界人口达到 54.8 亿,若人口的平均增长率为 x%,2008 年底世界人口数为 y(亿) ,写出: (1)1993 年底、1994 年底、2000 年底的世界人口数; (2) 2008 年底的世界人口数 y 与 x 的函数解析式.

课 外 活 动 1. 谈谈五个基本幂函数的定义域与 收 对应幂函数的奇偶性、 单调性之间的关 获 系? 与 体 2. 幂函数与指数函数的不同点主要 会 表现在哪些方面? 利用图形计算器探索一般幂函数
y ? x ? 的图象随 ? 的变化规律.


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