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湖北省武汉市武昌区2012届高三5月调研考试数学(理)试题


武昌区 2012 届高三年级五月调研考试
理科数学试卷
本试卷共 5 页,共 22 题,其中第 15、16 题为选考题。满分 150 分。考试用时 120 分钟。 ★祝考试顺利★ 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.已知 i 是虚数单位,复数 z ? A. 1 B. 2

? 1 ? 2i 2 ,则 z ? ? 2?i 1? i
C.

[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

5

D. 2 2

2.设 A, B 是非空集合,定义 A ? B ={ x x ? A ? B 且 x ? A ? B },己知集合 A ? x 0 ? x ? 2 ,

?

?

B ? ?y y ? 0?,则 A ? B 等于
A. ?0? ? ?2,?? ? B. ?0,1? ? ?2,??? C. ?0,1? ? ?2,??? D. ?0? ? ?2,?? ?

3.下列选项中,说法正确的是
2 A.命题“ ?x0 ? R, x0 ? x0 ? 0 ”的否定是“ ?x ? R, x ? x ? 0 ”
2

B.命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的充分不必要条件 C.命题“若 am ? bm ,则 a ? b ”是假命题
2 2

D.命题“若 sin x ? sin y ,则 x ? y ”的逆否命题为真命题 4.等边三角形 ABC 的边长为 1 ,如果 BC ? a, CA ? b, AB ? c, 那么 a ? b ? b ? c ? c ? a 等于 A. ?

??? ?

? ??? ?

? ??? ?

?

? ? ? ? ? ?

1 2

B.

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

5 . 已 知 随 机 变 量 X 服 从 正 态 分 布 N ?,?

?

2

? , 且 P?? ? 2? ? X ? ? ? 2? ? ? 0.9 5 4 4 ,
D.0.2718

P?? ? ? ? X ? ? ? ? ? ? 0.6826 ,若 ? ? 4, ? ? 1 , 则 P?5 ? X ? 6? ?
A.0.1358 B.0.1359 C.0.2716 6.已知 ?ABC , A 、 B 、 C 所对的边分别为 a 、 b 、 c ,且

??? ??? ? ? ac sin A ? BA ? BC ,则
A. ?ABC 是钝角三角形 B. ?ABC 是锐角三角形 C. ?ABC 可能为钝角三角形,也可能为锐角三角形 D.无法判断

l
C

O

l0

7.如图,直线 l 和圆 C,当 l 从 l0 开始在平面上绕点 O 按逆时针方向匀速转动(转动角度不超过 90 )时, 它扫过的圆内阴影部分的面积 S 是时间 t 的函数,这个函数的图象大致是

?

S

S

S

S

t O t 8.平面区域 D 由以点 A(1,3),O (5,2), C (3,1) 为顶点的三角形内部及边界组成,若在 D 上有无穷多个点 B tO t O A. D. B. C.
( x, y ) 使目标函数 z ? x ? my 取得最大值,则 m ?
A. 4 B. ?2

1 1 C. ? 或 2 4

t
D. ?2 或 4

9.设 A1、A2 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点,若在椭圆上存在异于 A1、A2 的点 P ,使 a 2 b2

得 PO ? PA2 ? 0 ,其中 O 为坐标原点,则椭圆的离心率 e 的取值范围是

??? ???? ? ?

A. (

2 ,1) 2

B. [

2 ,1) 2

C. (0,

2 ) 2

D. (0,

2 ] 2

x 2 x3 x 4 x 2013 x 2 x3 x 4 x 2013 10.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? ? ? ? ??? ? , g ( x) ? 1 ? x ? ? ? ????? ,设函数 2 3 4 2013 2 3 4 2013 F ( x) ? f ( x ? 3) ? g ( x ? 4) ,且函数 F ( x) 的零点均在区间 [a, b](a ? b, a, b ? Z) 内,则 b ? a 的最小值为 A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
二、填空题:本大题共 6 小题,考生共需作答 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题 号的位置上.答错位置,书写不清,摸棱两可均不得分. (一)必考题(11—14 题) 11.下图给出的是计算

1 1 1 1 ? ? ? ? ? 的值的一个程序框图,其中判 2 4 6 18

断框内应填入的条件是________. 中点 3 4 正视图 4 侧视图 中点

12. 一个空间几何体 如上图所示, 则这个 体 积 为

俯视图

的三视图 几何体的

. 13. 已知 (2 x ? x
lg x 8

) 的展开式中,二项式系数最大的项的值等于 1120 ,则实数 x 的值为

.

14. 为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,中间小圆部分种植草 坪, 周围的圆环分为 n?n ? 3, n ? N ? 等份种植红、 蓝三色不同的花. 要求相邻两部分种植不同颜色 的 黄、 花. 如图①,圆环分成的 3 等份分别为 a1 , a2 , a3 ,有 6 种不同的种植方法. (1)如图②,圆环分成的 4 等份分别为 a1 , a2 , a3 , a4 ,有 种不同的种植方法; 种不同的种植

(2)如图③,圆环分成的 n?n ? 3, n ? N ? 等份分别为 a1 , a2 , a3 , ? , an , 有 方法.

a1 a2
a3


a1

a2
??

a1
an

a2
a3
? ③

a4


a3

(二)选考题(请考生在第 15、16 两题 中任选一题作答,请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后 的方框用 2B 铅笔涂黑.如果全选,则按第 15 题作答结果记分.) 15. (选修 4—1:几何证明选讲) 如图,已知 AB 是⊙ O 的直径, AC 是⊙ O 的弦, ?BAC 的平分 E 线 AD 交⊙ O 于 D ,过点 D 作 DE ? AC 交 AC 的延长线于点 E ,

OE 交 AD 于点 F .若

AC 3 AF 的值为 ? ,则 AB 5 FD

.

C F A O

D

16. (选修 4—4:坐标系与参数方程) 在直角坐标系中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建极坐标系,两种坐 标系取相同的单位长度. 已知曲线 C : ? sin ? ? 2a cos ? (a ? 0) ,过点
2

B

P(?2, ?4) 的直线 l 的参数方程为
? ? x ? ?2 ? ? ? ? y ? ?4 ? ? ?


2 t, 2 直线 l 与曲线 C 分别交于 M、N .若 | PM | 、MN | 、PN | 成等比数列 ,则实数 a 的值 | | 2 t. 2
.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x ? ? 2 cos x ? sin? 2 x ?
2

? ?

7? ? ?. 6 ?

(Ⅰ)求函数 f (x) 的最大值,并写出 f (x) 取最大值时 x 的取值集合; (Ⅱ)已知 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c. 若 f ( A) ?

3 , b ? c ? 2. 求实数 a 的最小值. 2

18. (本小题满分 12 分) 在平面 xoy 内, 不等式 x
2

?x ? 2 y ? 0 ? y 2 ? 4 确定的平面区域为 U , 不等式组 ? 确定的平面区域为 V . ?x ? 3y ? 0

(Ⅰ)定义横、纵坐标为整数的点为“整点”. 在区域 U 任取 3 个整点,求这些整点中恰有 2 个整点在区 .. .. .. .. 域 V 的概率; (Ⅱ)在区域 U 每次任取1 个点,连续取 3 次,得到 3 个点,记这 3 个点在区域 V 的个数为 X ,求 X 的 . . . 分布列和数学期望.
[来源:学科网]

19. (本小题满分 12 分) 已知数列 ?an ? ,?bn ? 满足:a1 ? 3 ,当 n ? 2 时,a n ?1 ? a n ? 4n ;对于任意的正整数 n ,b1 ? 2b2 ? ?

? 2 n ?1 bn ? nan .设数列 ?bn ? 的前 n 项和为 S n .
(Ⅰ)计算 a2 、 a3 ,并求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)求满足 13 ? S n ? 14 的正整数 n 的集合.

20. (本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是矩形, PA ? 平面 ABCD , PA ? AD ,

AB ? 2 AD , E 是线段 PD 上的点, F 是线段 AB 上的点,且
(Ⅰ)当 ? ? 1 时,证明 DF ? 平面 PAC ;
?

PE BF ? ? ? (? ? 0). ED FA

(Ⅱ)是否存在实数 ? ,使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60 ?若存在,试求出 ? 的值;若不存在, 请说明理由. P

E

A F B C

D

21. (本小题满分 13 分) 如图,已知抛物线 C : y ? 4 x ,过点 A(1, 2) 作抛物线 C 的弦 AP , AQ .
2

(Ⅰ)若 AP ? AQ ,证明直线 PQ 过定点,并求出定点的坐标; (Ⅱ)假设直线 PQ 过点 T (5, ?2) ,请问是否存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ ? 若存在,求出

?APQ 的个数?如果不存在,请说明理由.


P A


T
Q



22. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ?

px ? p ? ln x ( p ? 0) .

(Ⅰ)若函数 f ( x) 在定义域内为增函数,求实数 p 的取值范围; (Ⅱ)当 n ? N 时,试判断

2k ? 1 与 2ln(n ? 1) 的大小关系,并证明你的结论; k k ?1 n 1 (Ⅲ) 当 n ? 2 且 n ? N ? 时,证明: ? ? ln n . k ? 2 ln k
?

?

n

武昌区 12 届高三 5 月调考数学参考答案 一、选择题: 1.C 2.D 3.C 二、填空题: 11. i ? 9? 14.18 ; 2 ? 2 ? (?1)
n n?3

4.A

5.B

6.A

7.D

8.D

9.A

10.C

12. 8?

13. x ? 1或x ? 16.1

1 10

(n ? 3 且 n ? N )

15.

8 5

三、解答题: 17.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ) f ( x) ? 2cos 2 x ? sin(2 x ?

7? 7? 7? ) ? (1 ? cos 2 x) ? (sin 2 x cos ? cos 2 x sin ) 6 6 6

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1+sin(2 x ? ) . 2 2 6 ∴函数 f (x) 的最大值为 2 . ? 1+
要 使 f (x) 取最大值,则 sin(2 x ?

?
6

) ? 1,

? 2x ?

?
6

3 ? 1 ,化简得 sin(2 A ? ) ? . 6 2 6 2 ? ? 13? ? 5? ? ? A ? ?0, ? ? ,? 2 A ? ? ( , , ∴A? . ) , ∴ 2A ? ? 3 6 6 6 6 6
(Ⅱ)由题意, f ( A) ? sin(2 A ?

2 ? ? ? 故 x 的取值集合为 ? x x ? k? ? , k ? Z ? . 6 ? ?

? 2 k? ?

?

(k ? Z ) ,解得 x ? k? ?

?
6

,k ?Z .

……………………………………………(6 分)

?

) ?1 ?

在 ?ABC 中,根据余弦定理,得 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos 由 b ? c ? 2 ,知 bc ? (

?

b?c 2 ) ? 1 ,即 a 2 ? 1 . 2 ∴当 b ? c ? 1时,实数 a 取最小值 1. ………………………………………………(12 分)
18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)依题可知平面区域 U 的整点为: (0,0),(0, ?1),(0, ?2),(?1,0),(?2,0),(?1, ?1) 共有 13 个,上述 整点在平面区域 V 的为: (0, 0), (1, 0), (2, 0) 共有 3 个, ∴P ?
1 C32C10 15 ? . 3 C13 143

3

? (b ? c) 2 ? 3bc .

……………………………………………………………(4 分)

(Ⅱ)依题可得,平面区域 U 的面积为 ? ? 22 ? 4? ,

1 ? 2 . 8 2 1 1 ? ? ? ,则 tan ? ? 2 3 ? 1, 得 ? ? ,也可用向量的夹角公式求 ? ). (设扇形区域中心角为 1 1 4 1? ? 2 3 ? 1 ? ,随机变量 X 的可能取值为: 0,1, 2,3 . 在区域 U 任取 1 个点,则该点在区域 V 的概率为 8? 8
平面区域 V 与平面区域 U 相交部分的面积为 ? ? ? 2 ?

1 343 1 1 147 1 P( X ? 0) ? (1 ? )3 ? P( X ? 1) ? C3 ? ( )(1 ? ) 2 ? , , 8 512 8 8 512 1 1 21 1 1 3 P( X ? 2) ? C32 ? ( ) 2 (1 ? ) ? P( X ? 3) ? C3 ? ( )3 ? , , 8 8 512 8 512 ∴ X 的分布列为 0 1 2 3 X 343 147 21 1 P 512 512 512 512 343 147 21 1 3 ? 1? ? 2? ? 3? ? . ………………………(12 分) ∴ X 的数学期望: E ( X ) ? 0 ? 512 512 512 512 8 1 3 ? 1? (或者: X ~ B ? 3, ? ,故 E ( X ) ? np ? 3 ? ? ). 8 8 ? 8?
19.(本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)在 a n ?1 ? a n ? 4n 中,取 n ? 2 ,得 a1 ? a 2 ? 8 ,又 a1 ? 3 ,故 a2 ? 5. 同样取 n ? 3 ,可得 a3 ? 7. 由 a n ?1 ? a n ? 4n 及 a n ?1 ? a n ? 4(n ? 1) 两式相减,可得 a n ?1 ? a n ?1 ? 4 , 故 ?an ? 是公差为 2 的等差数列,? a n ? 2n ? 1. 所以数列 ?an ? 的奇数项和偶数项 各自成等差数列,公差为 4 ,而 a 2 ? a1 ? 2 , ……………………………………………… (6 分) (注:猜想 a n ? 2n ? 1而未能证明的扣 2 分;用数学归纳法证明不扣分.) (Ⅱ)在 b1 ?2b2 ? ? ? 2 n ?1 bn ? nan 中,令 n ? 1,得 b1 ? a1 ? 3. 由 b1 ?2b2 ? ? ? 2 n ?1 bn ? 2 n bn ?1 ? ?n ? 1?a n ?1 与 b1 ? 2b2 ? L ? 2n ?1 bn ? nan (n ? 2) 两式相减,可得

2 n bn ?1 ? (n ? 1)an ?1 ? nan ? (n ? 1)( 2n ? 3) ? n(2n ? 1) ? 4n ? 3 , 4n ? 3 化简,得 bn ?1 ? . 2n 4n ? 1 即当 n ? 2 时, bn ? . 2 n ?1 4n ? 1 经检验 b1 ? 3 也符合该式,所以 ?bn ? 的通项公式为 bn ? . 2 n ?1 1 1 ∴ S n ? 3 ? 7 ? ? ? ? ?4n ? 1? ? ( ) n ?1 . 2 2 1 1 1 2 1 1 S n ? 3 ? ? 7 ? ( ) ? ? ? ?4n ? 5? ? ( ) n?1 ? ?4n ? 1?( ) n . 2 2 2 2 2 1 1 1 2 1 n?1 1 两式相减,得 S n ? 3 ? 4[ ? ( ) ? ? ? ( ) ] ? ?4n ? 1?( ) n . 2 2 2 2 2 4n ? 7 利用等比数列求和公式并化简,得 S n ? 14 ? . 2 n ?1 27 31 可见,对 ?n ? N ? , S n ? 14 .经计算, S 5 ? 14 ? ? 13, S 6 ? 14 ? ? 13 , 16 32 注意到数列 ?bn ? 的各项为正,故 S n 单调递增,
所以满足 13 ? S n ? 14 的正整数 n 的集合为 n n ? 6, n ? N . 20.(本小题满分 12 分) 证明: (Ⅰ)当 ? ? 1 时,则 F 为 AB 的中点.

?

?

……………………………… (12 分)

又 AB ?

2 AD , AF ?

1 AB 2
AD ? AF AD 2 AD 2 ? 2,

∴在 Rt?FAD 与 Rt?ACD Rt? ACD 中, tan ?AFD ?

CD 2 AD ? ? 2 , ?AFD ? ?CAD ,∴ AC ? DF . AD AD 又∵ PA ? 平面 ABCD , DF ? 平面 ABCD , ∴ PA ? DF . ∴ DF ? 平面 PAC ………………………………………………………… (6 分) (Ⅱ)设 PA ? AD ? 1 , 则 AB ? PD ? 2 .连结 AE ,则 FA ? 面 APD . ∴ FA ? AE . PE BF 1 ? ∵ ? ? ? (? ? 0) ,∴ AF ? 2 , PE ? 2. ED FA 1? ? 1? ? ? ? 2 在 ?APE 中, AE 2 ? PA2 ? PE 2 ? 2PA ? PE cos 450 ? 1 ? ( , 2) 2 ? 2 ?1? 2? 1? ? 1? ? 2 设异面直线 EF 与 CD 所成的角为 600 ,则 ?AFE ? 60 0 , AE ∴ ? tan 60 0 , ∴ AE 2 ? 3AF 2 . AF 2 ? ? 2 ∴1 ? ( . ?3 2) 2 ? 2 ?1? 2? 1? ? 1? ? 2 (1 ? ? ) 2 tan ?CAD ?
解得 ? ?

5.

∴存在实数 ? ? 5 ,使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60 ? . ……………………………… (12 分) 方法二: (坐标法) 以 A 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系. (Ⅰ)当 ? ? 1 时,则 F 为 AB 的中点,设 PA ? AD ? 1 , 则 AB ? PD ? , , , A(0,0,0) C ( 2,1, 0) P(0, 0,1 , D(0,1,0) F ( )

2 ,则

2 . , 0, 0) 2

???? ???? ??? ? 2 1, ? DF ? ( , 1, 0) , AC ? ( 2,0) , AP ? (0, 0,1) . ? ???? ????2 ???? ??? ? ???? ???? ???? ??? ? ? DF ? AC ? 0, ? AP ? 0 ,? DF ? AC , DF ? AP . DF ∴ DF ? 平面 PAC . ………………………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)设 PA ? AD ? 1 , 则 AB ? PD ? 2 , z ∴ A(0, 0, 0) C ( 2,1, 0) P(0, 0,1 , D(0,1, 0) , , . ) PE BF P ∵ ? ? ? (? ? 0) , ED FA 2 ? 1 ∴ F( , . , 0, 0) E (0, , ) E ? ?1 1? ? 1? ? ??? ? ??? ? 2 ? 1 , ? FE ? (? , , )CD ? (? 2, 0, 0) . 1? ? 1? ? 1? ? D A ??? ??? ? ? 2 y ? FE ? CD ? , 1? ? F ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? 1 FE ? CD B 依题意,有 = cos ? FE, CD ?? ??? ??? , C ? ? 2 FE CD
x



? ? 0 ,∴ ?

1 2

2

?2 ? 3

,

∴? ?

5.
……………………………… (12 分)

∴存在实数 ? ?

5 使异面直线 EF 与 CD 所成的角为 60 ? .

21.(本小题满分 13 分) 证明(Ⅰ)设直线 PQ 的方程为 x ? my ? n ,点 P 、 Q 的坐标分别为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) . 由?

? x ? my ? n
2 ? y ? 4x

消 x ,得 y ? 4my ? 4n ? 0 .
2

由 ? ? 0 ,得 m2 ? n ? 0 , y1 ? y2 ? 4m, y1 ? y2 ? ?4n . ∵ AP ? AQ ,∴ AP ? AQ ? 0 ,∴ ( x1 ? 1)( x2 ? 1) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 .

??? ???? ?

? x1 ?

y12 y2 , x2 ? 2 4 4 ∴ ( y1 ? 2)( y2 ? 2)[( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 16] ? 0 ,
∴ ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 0 或 ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? 16 ? 0 . ∴ n ? 2m ?1 或 n ? 2m ? 5 ,∵ ? ? 0 恒成立. ∴ n ? 2m ? 5 . ∴直线 PQ 的方程为 x ? 5 ? m( y ? 2) ,∴直线 PQ 过定点 (5, ?2) . ………………………………(6 分) (Ⅱ)假设存在以 PQ 为底边的等腰三角形 APQ ,由第(Ⅰ)问可知,将 n 用 2m ? 5 代换得 直线 PQ 的方程为 x ? my ? 2m ? 5 .设点 P 、 Q 的坐标分别为 P( x1 , y1 ), Q( x2 , y2 ) . 由?

? x ? my ? 2m ? 5
2

? y ? 4x ∴ y1 ? y2 ? 4m,

消 x ,得 y ? 4my ? 8m ? 20 ? 0 .
2

y1 ? y2 ? ?8m ? 20 .
2 y 2 ? y2 y1 ? y2 x1 ? x2 y1 ? y2 , ), , ) ,即 ( 1 8 2 2 2

∵ PQ 的中点坐标为 (

( y1 ? y2 ) 2 ? 2 y1 y2 ? 2m2 ? 2m ? 5 , ∴ PQ 的中点坐标为 (2m2 ? 2m ? 5, 2m) . ∵ 8 2m ? 2 由已知得 ? ?m ,即 m3 ? m2 ? 3m ? 1 ? 0 . 2 2m ? 2 m ? 5 ? 1 3 2 2 设 g (m) ? m ? m ? 3m ? 1 ,则 g ?(m) ? 3m ? 2m ? 3 ? 0 , ? g (m) 在 R 上是增函数. 又 g (0) ? ?1 ? 0, g (1) ? 4 ? 0 ,? g (m) 在 (0,1) 内有一个零点. 函数 g (m) 在 R 上有且只有一个零 点,即方程 m3 ? m2 ? 3m ? 1 ? 0 在 R 上有唯一实根.
所以满足条件的等腰三角形有且只有一个.……………………………………………………… (13 分) 22. (本小 题满分 14 分)
[来源:学+科+网 Z+X+X+K]

解: (Ⅰ) p ? 0 ,函数 f ( x) ?

px ? p ? ln x 的定义域为 [1, ??) .

p 1 ? . 2 px ? p x p 1 4( x ? 1) ? 在 x ? (1, ??) 恒成立,? p ? 依题意, 在 x ? (1, ??) 恒成立. x2 2 px ? p x 4( x ? 1) 1 1 1 ? ? 4[?( ? )2 ? ] ? 1 , 2 x x 2 4 ? p ? 1 ,∴ p 的取值范围为 [1, ??) . ……………………………………………………… (4 分) f ?( x) ?

(Ⅱ)当 n ? N * 时,

?
k ?1

n

2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) . k

2k ? 1 2k ? 1 ? 2[ln(k ? 1) ? ln k ](k ? N * ) . ? 2ln(n ? 1) ,只需证 k k k ?1 由(Ⅰ)可知:取 p ? 1 ,则 f ( x) ? f (1) ( x ? 1) ,
证明:当 n ? N * 时,欲证

?

n

而 f ?1? ? 0 ,? x ? 1 ? ln x (当 x ? 1 时,等号成立). 用(

x ?1 2 x ?1 2 2x ?1 x ?1 2 ) ? 1 ? ln( ) ( x ? 0) ,即 ? 2[ln( x ? 1) ? ln x]( x ? 0) , ) 代换 x ,得 ( x x x x 2k ? 1 ∴ ? 2[ln(k ? 1) ? ln k ](k ? N * ) . k n 2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) . 在上式中分别取 k ? 1, 2,3,?, n ,并将同向不等式相加,得 ? k k ?1
∴当 n ? N * 时,

?
k ?1

n

2k ? 1 ? 2ln(n ? 1) . k

………………………………………… (9 分)

(Ⅲ)由(Ⅱ)可知 x ? 1 ? ln x ( x ? 1 时,等号成立). 而当 x ? 2 时: x ? 1 ?

x ? 1 ,∴ 当 x ? 2 时, x ? 1 ? ln x . 1 x ?1 设 g ( x) ? x ? 1 ? ln x, x ? (0, 2) ,则 g ?( x) ? 1 ? ? , x x ∴ g ( x) 在 (0,1) 上递减,在 (1, 2) 上递增, ∴ g ( x) ? g (1) ? 0 ,即 x ? 1 ? ln x 在 x ? (0, 2) 时恒成立. 故当 x ? (0, ??) 时, x ? 1 ? ln x (当且仅当 x ? 1 时,等号成立). …… ① 用 x 代换 x ? 1 得: x ? ln(1 ? x) (当且仅当 x ? 0 时,等号成立). …… ② 1 1 * 当 k ? 2, k ? N 时,由①得 k ?1 ? ln k ? 0 ,? . ? ln k k ? 1 1 1 1 * 当 k ? 2, k ? N 时,由②得 k ? ln(1 ? k ) ,用 代换 k ,得 ? ln(1 ? ). k ?1 k ?1 k ?1 1 1 1 * ∴当 k ? 2, k ? N 时, ? ln(1 ? ) ,即 ? ln k ? ln(k ? 1) . ln k k ?1 ln k n 1 在上式中分别取 k ? 2,3, 4,?, n ,并将同向不等式相加,得 ? ? ln n ? ln1 . k ? 2 ln k n 1 故当 n ? 2 且 n ? N * 时, ? …………………………………………………(14 分) ? ln n . k ? 2 ln k
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