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求数列通项公式的常用方法课件


求数列通项公式的 常用方法

临沂一中高二数学组

数列通项公式的求法
观察法
公式法 (利用前n项和)

累加法
累积法 构造法(等差、等比数列)

1.观察法
? 例1:根据数列的前4项,写出它的一个通项公式: ? (1)9,99,999,9999,… n an ? 10 ? 1 ? (2)
1 4 9 16 1 , 2 , 3 , 4 ,? 5 10 17 ? (3 ) 2 2 1 2 1, , , ,? 3 2 5 ? (4 ) 1 2 3 4 , ? , , ? ,? 2 3 4 5
n2 an ? n ? 2 ; n ?1
2 an ? ; n ?1
a n ? (?1) n ?1 ? n n ?1

2.公式法
? 例2:已知下列两数列{an}的前n项和 S 的公式,求 a n 的通项 公式。 3 2 ? (1) S n ? n ? n ? 1 (2) n
n

( n ? 1) ? s1 主要是公式an ? ? 的运用 ? sn ? sn?1 ( n ? 2)
n ?1 ?1, (1)an ? ? 2 ?3n ? 3n ? 2, n ? 2
?S n ???? n ? 1 an ? ? ?S n ? S n ?1 ? n ? 2

s ? n ?1
(n ? 1) (n ? 2)

?0 (2)an ? ? ? 2n ? 1

公式法:若已知数列的前项和 S n 与 a n的关系,求数列 {an } 的通项也可用公式 求解

?a n ? 的首项为a1=1,前n项和Sn满足关系 3tSn ? (2t ? 3)S n?1 ? 3t (t ? 0, n ? 2,3,4,?) 练习2:设数列 求 数列 ?a n ? 的通项公式

3.累加法 ? 例3:已知数列6,9,14,21,30,…求此 数列的一个通项。
an ? n2 ? 5 (n ? N ? )
累加法:一般地,对于型如 f (1) ? f (2) ? ? ? f (n) 类的通项公式, 只要能进行求和,则宜采用此方法求解。

练习3. 已知数列:a1 ? 1, an?1 ? an ? 2n求通项公式

an ? 2 ?1
n

4. 累积法 a n?1 =n· an a1=1, (n+1)· an, ? 例4:在数列{ }中, an 求 的表达式。
1 an ? n

累积法 :一般地,对于型如 an ?1 ? f (n) ? an 类的通项公式, 只要 f (1) ? f (2)? ? f (n)的值可以求得时 ,则宜采用此方法求解。

an ?1 ? 3 an , a1 ? 2 , 练4、已知数列 {an } 中, 求通项公式 an 。
n

an ? 2 ? 3

n ( n ?1) 2

当给出递推关系求 an 时,主要掌握通过引进辅助数列能 转化成等差或等比数列的形式。 (an?1 ? pan ? q)

5.构造法

例5.已知数列 {an} 的递推关系为 an ?1 ? 2an ? 1 ,且 a1 ? 1 求通项公式 an 。

an ? 2 ? 1
n

练习5.设数列{an }满足a1

? 2,

an an?1 ? (n ? N? ), 求an . an ? 3

2 an ? . n ?1 2 ? 3 ?1

例 6: 已 知 数 列 {an } 的 递 推 关 系 a2 ? 3 , 为 an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 4,且 a1 ? 1, 求通项公式 an 。 解:∵ an ? 2 ? 2an ?1 ? an ? 4 ∴ (an ? 2 ? an ?1 ) ? (an ?1 ? an ) ? 4
令 bn ? an?1 ? an 则数列{bn} 是以4为公差的等差数列 b1 ? a2 ? a1 ? 2 ∴ bn ? b1 ? (n ? 1)d ∴bn ? an ?1 ? an ? 4n ? 2 两边分别相加得: ∴a2 ? a1 ? 4 ? 1 ? 2 an ? a1 ? 4[1 ? 2 ? 3 ? ? ? (n ? 1)]
an ? an ?1 ? 4 ? (n ? 1) ? 2

a3 ? a ? 4 ? 2 ? 2 2 ……

a4 ? a3 ? 4 ? 3 ? 2

∴ an ? 2n2 ? 4n ? 3

? 2(n ? 1)

数列通项公式的求法
观察法
公式法

累加法
累积法 利用前n项和

构造法(等差、等比数列)


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