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高二数学文科圆锥曲线测试题1


高二文科数学(圆锥曲线)
一、选择题: 1.抛物线 y 2 ? 8x 的准线方程是( (A) x ? ?2 (B) ) (C) y ? ?2 (C) ( 0, 2 ) . (D) y ? ?4 (D) ( 2, 0 ) . )

15.已知抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M( 3,?2 3 ) ,求它的标准方程。

x ? ?4

2.抛物线 y 2 ? 4x 的焦点坐标为( ) (A) ( 0, 1 ) . (B) ( 1, 0 ) . 3.已知双曲线 5 (A) 3

4 x2 y2 _ 2 ? 1 的一条渐近线方程为 y= x,则双曲线的离心率为( 2 3 a b
4 (B) 3 5 (C) 4 3 (D) 2

18.求双曲线 x ?
2

y2 ? 1 的顶点坐标、焦点坐标,实半轴长、虚半轴长和渐近线方程,并作出草图。 4

x2 4.已知△ABC 的顶点 B、C 在椭圆 +y2=1 上,顶点 A 是椭圆的一个焦点, 3 且椭圆的另外一个焦点在 BC 边上,则△ABC 的周长是( ) (A)2 3 (B)6 (C)4 3 (D)12 5.过点(2,-1)引直线与抛物线 y ? x 只有一个公共点,这样的直线共有( A. 1 B.2 C. 3 D.4 2 6.方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根可分别作为( ) A.一椭圆和一双曲线的离心率 B.两抛物线的离心率 C.一椭圆和一抛物线的离心率 D.两椭圆的离心率 2 2 2 x y2 7.曲线 x ? y ? 1(m ? 6) 与曲线 ? ? 1(5 ? m ? 9) 的( 5?m 9?m 10 ? m 6 ? m (A)焦距相等 (B) 离心率相等 (C)焦点相同
2

2 19.当 a 为何值时,直线 y ? ax ? 1 与抛物线 y ? 8x 只有一个公共点?

)条

20.中心在原点, 焦点在 x 轴上的一个椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1,F2,且 F1 F2 ? 2 13 ,椭圆的长 ) (D)准线相同 ) 半轴与双曲线的半实轴之差为 4,离心率之比为 3:7。求这两条曲线的方程。

8.若抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点与椭圆 A. ?2
2 2

B. 2

x y ? ? 1 的右焦点重合,则 p 的值为( 6 2 C. ?4 D. 4


2

2

9.如果椭圆 A
王新敞
奎屯 新疆

x y ? ? 1 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是( 36 9 x ? 2 y ? 0 B x ? 2 y ? 4 ? 0 C 2 x ? 3 y ? 12 ? 0 D
王新敞
奎屯 新疆

王新敞
奎屯

新疆

王新敞
奎屯

新疆

x ? 2y ? 8 ? 0

10.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m ? (
2 2

) D. ?

A.

1 2

B. ?

1 3

C.

1 3

1 4
__。

21. 已知在平面直角坐标系 xOy 中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为 F (? 3,0) , 右顶点为 1? (2)若 P 是椭圆上的动点,求线段 PA 中点 M 的 D(2,0) ,设点 A ? ?1, ? .(1)求该椭圆的标准方程; ? 2? 轨迹方程; (3)已知直线 L 经过原点且与椭圆交与 B、C 两点,求 S△ABC 的最大值.

2 2 11.双曲线 2mx ? my ? 2 的一条准线是 y ? 1 ,则 m 的值是_____

12.焦点在直线 3x ? 4 y ? 12 ? 0 上的抛物线标准方程为
2

_____

___。

13. 抛物线 y ? ? x 上的点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离的最小值是 14.抛物线 C: y2=4x 上一点 Q 到点 B(4,1)与到焦点 F 的距离和最小,则点 Q 的坐标
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高二数学圆锥曲线高考题选讲答案
1.双曲线焦点在 x 轴,由渐近线方程可得 2. ( 数形结合 ) 由椭圆的定义椭圆上一点到两焦点的距离之和等于长轴长 2a, 可得 ?ABC 的周长为 4a= 4 3 ,所以选 C

b 4 c 32 ? 42 5 ? , 可得e ? ? ? ,故选 A a 3 a 3 3

|F2B|=|F2M|,又点 P 在双曲线右支上,所以|PF1|-|PF2|=2a,故|F1M|-|F2M|=2a,而|F1M|+|F2M|= 2c,设 M 点坐标为(x,0) ,则由|F1M|-|F2M|=2a 可得(x+c)-(c-x)=2a 解得 x=a,显然内 切圆的圆心与点 M 的连线垂直于 x 轴,故 A、D 正确。 15.解:因为抛物线关于 y 轴对称,它的顶点在坐标原点,并且经过点 M( 3,?2 3 ) ,所以可设它 的标准方程为: y 2 ? 2 px( p ? 0) ,又因为点 M 在抛物线上,所以 ( 3) 2 ? ?2 p( x ? 2 3)

| 4m ? 3m 2 ? 8 | 2 2 3.设抛物线 y ? ? x 上一点为(m,-m ),该点到直线 4 x ? 3 y ? 8 ? 0 的距离为 , 5
当 m=

2 4 时,取得最小值为 ,选 A. 3 3

3 3 2 ,因此所求方程是 x ? ? y。 2 4 x2 y2 16. 把方程化为标准方程 2 ? 2 ? 1 1 2
即p? 由此可知,实半轴长 a=1,虚半轴长 b=2。顶点坐标是(-1,0) , (1,0) ,

4.依题意可知 a ? 3, c ?

a2 ? b2 ? 3 ? 9 ? 2 3 , e ?
1 ,故选 A 2

c 2 3 ? ? 2 ,故选 C. a 3

2 5.方程 2 x ? 5 x ? 2 ? 0 的两个根分别为 2,

6.由

x2 y2 x2 y2 ? ? 1(m ? 6) 知该方程表示焦点在 x 轴上的椭圆,由 ? ? 1(5 ? m ? 9) 10 ? m 6 ? m 5?m 9?m

知该方程表示焦点在 y 轴上的双曲线,故只能选择答案 A。

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(2,0),所以抛物线 y 2 ? 2 px 的焦点为(2,0),则 p ? 4 ,故选 D。 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8.将 y ? 2k 代入 9k x ? y ? 18k x 得: 9k x ? 4k ? 18k x
7.椭圆

c ? a 2 ? b 2 ? 12 ? 22 ? 5 焦点的坐标是(- 5 ,0),( 5 ,0)。 x y 渐近线方程为 ? ? 0 ,即 y ? ?2 x 。 1 2 a ? 0 时,联立 y ? ax ? 1 17. 解:当 y 2 ? 8x 消去 y,得 a 2 x 2 ? (2a ? 8) x ? 1 ? 0 , 当△= (2a ? 8) 2 ? 4a 2 ? 0 ,即 a=2 时直线与抛物线有一个公共点,此时直线与抛物线相切。
当 a=0 时,直线 y=1 与抛物线有一个交点。
2 所以,当 a=0 或 2 时,直线 y ? ax ? 1 与 y ? 8x 只有一个交点。
2 x2 y x2 y2 18.设椭圆的方程为 2 ? 2 ? 1 ,双曲线得方程为 2 ? 2 ? 1 ,半焦距 c= 13 a1 b1 a 2 b2

? 9 | x |2 ?18 x ? 4 ? 0 ,显然该关于 | x| 的方程有两正解,即 x 有四解,所以交点有 4 个,故选择
答案 D。 (浙江卷)2p=8,p=4,故准线方程为 x=-2,选 A (上海春) (直接计算法)因为 p=2 ,所以抛物线 y =4x 的焦点坐标为
2
2

由已知得:a1-a2=4 .应选 B.
2

c c : ? 3 : 7 ,解得:a1=7,a2=3 a1 a 2
所以:b1 =36,b2 =4,所以两条曲线的方程分别为:
2

9.双曲线 mx ? y ? 1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,∴
2 2

m= ?

1 。 4

x m<0,且双曲线方程为 ? ? y 2 ? 1 ,∴ 4

x2 y2 x2 y2 ? ?1 , ? ?1 49 36 9 4
x2 y2 ? ? 1。 19.由于所求双曲线与已知的双曲线共焦点,从而可设所求的双曲线方程为 16 ? k 4 ? k 18 4 ? ? 1 ,整理得 k 2 ? 10k ? 56 ? 0 ,解得: 由于点 (3 2 ,2) 在所求双曲线上,所以有 16 ? k 4 ? k k ? 4, 或k ? ?14 又 16 ? k ? 0,4 ? k ? 0,所以? 4 ? k ? 16 。

x2 ? y2 ? 1 10.椭圆的标准方程为 4
11. 12. 13.双曲线中心在原点, 一个顶点的坐标为 (3, 0) ,则焦点在 x 轴上, 且 a=3, 焦距与虚轴长之比为 5 : 4 , 即 c : b ? 5 : 4 ,解得 c ? 5, b ? 4 ,则双曲线的标准方程是

x y ? ?1. 9 16

2

2

x2 y2 ? ? 1。 12 8 20.(1)由已知得椭圆的半长轴 a=2,半焦距 c= 3 ,则半短轴 b=1.
所以 k ? 4 ,故所求双曲线方程为

14.设 △PF1F2 的内切圆分别与 PF1、PF2 切于点 A、B,与 F1F2 切于点 M,则|PA|=|PB|,|F1A|=|F1M|,
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又椭圆的焦点在 x 轴上, ∴椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ? 1 4

(2)设线段 PA 的中点为 M(x,y) ,点 P 的坐标是(x0,y0), x= x0= x0 ? 1 2x-1

2



y=

得 2y-

1 y0 ? 2 2
由,点 P 在椭圆上,得

y0=

1 2

(2 x ? 1) 2 1 ? (2 y ? ) 2 ? 1 , 4 2 1 2 1 2 ∴线段 PA 中点 M 的轨迹方程是 ( x ? ) ? 4( y ? ) ? 1 . 2 4
(3)当直线 BC 垂直于 x 轴时,BC=2,因此△ABC 的面积 S△ABC=1. 当直线 BC 不垂直于 x 轴时,说该直线方程为 y=kx,代入 解得 B(

2 4k ? 1
2

,

2k 4k ? 1
2

),C(-

2 4k 2 ? 1

,-

x2 ? y2 ? 1, 4 2k
),

则 BC ? 4

1? k 2 1 ? 4k 2

,又点 A 到直线 BC 的距离 d=

4k 2 ? 1 1 k? 2
1? k 2

,

∴△ABC 的面积 S△ABC=

2k ? 1 1 AB ? d ? 2 1 ? 4k 2

于是 S△ABC= 由

4k 2 ? 4k ? 1 4k ? 1? 2 2 4k ? 1 4k ? 1

4k 1 ≥-1,得 S△ABC≤ 2 ,其中,当 k=- 时,等号成立. 2 2 4k ? 1 ∴S△ABC 的最大值是 2 .

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