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立体几何知识点总结123[1]


高中数学第九章-立体几何
考试内容
一、 平面. 1. 经过不在同一条直线上的三点确定一个面. 注:两两相交且不过同一点的四条直线必在同一平面内. 2. 两个平面可将平面分成 3 或 4 部分.(①两个平面平行,②两个平面相交) 3. 过三条互相平行的直线可以确定 1 或 3 个平面.(①三条直线在一个平面内平行,②三 条直线不在一个平面内平行) [注]:三条直线可以确定三个平面,三条直线的公共点有 0 或 1 个. 4. 三个平面最多可把空间分成 8 部分.(X、Y、Z 三个方向) 二、 空间直线. 1. 空间直线位置分三种:相交、平行、异面. 相交直线—共面有反且有一个公共点;平行 直线—共面没有公共点;异面直线—不同在任一平面内 [注]:①两条异面直线在同一平面内射影一定是相交的两条直线.(×) (可能两条直线平 行,也可能是点和直线等) ②直线在平面外,指的位置关系:平行或相交 ③若直线 a、b 异面,a 平行于平面 ? ,b 与 ? 的关系是相交、平行、在平面 ? 内. ④两条平行线在同一平面内的射影图形是一条直线或两条平行线或两点. ⑤在平面内射影是直线的图形一定是直线.(×) (射影不一定只有直线,也可以是其他图 形) ⑥在同一平面内的射影长相等,则斜线长相等.(×) (并非是从平面外一点向这个平面所 .. 引的垂线段和斜线段) ⑦ a, b 是夹在两平行平面间的线段,若 a ? b ,则 a, b 的位置关系为相交或平行或异面. 2. 异面直线判定定理: 过平面外一点与平面内一点的直线和平面内不经过该点的直线是异 面直线.(不在任何一个平面内的两条直线) 3. 平行公理:平行于同一条直线的两条直线互相平行. 4. 等角定理:如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行并且方向相同,那么这两个角 相等(如下图).

1 2 方向相同

1

2

方向不相同

(二面角的取值范围 ? ? ?0? ,180 ? ? ) (直线与直线所成角 ? ? ?0? ,90 ? ?)
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(斜线与平面成角 ? ? ?0 ? ,90 ? ? ) (直线与平面所成角 ? ? ?0 ? ,90 ? ?) (向量与向量所成角 ? ? [0 ? ,180? ]) 推论: 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行, 那么这两组直线所成锐角 (或直角) 相等. 5. 两异面直线的距离:公垂线的长度. 空间两条直线垂直的情况:相交(共面)垂直和异面垂直. 则过 l1 ,l 2 外一点 P, 过点 P 且与 l1 ,l 2 都平行平面有一个或没有, 但与 l1 ,l 2 l1 ,l 2 是异面直线, 距离相等的点在同一平面内. ( L 1 或 L 2 在这个做出的平面内不能叫 L 1 与 L 2 平行的平面) 三、 直线与平面平行、直线与平面垂直. 1. 空间直线与平面位置分三种:相交、平行、在平面内. 2. 直线与平面平行判定定理:如果平面外一条直线和这个平面内一条直线平行,那么这条 直线和这个平面平行.( “线线平行,线面平行” ) [注]:①直线 a 与平面 ? 内一条直线平行,则 a ∥ ? . (×) (平面外一条直线) ②直线 a 与平面 ? 内一条直线相交,则 a 与平面 ? 相交. (×) (平面外一条直线) ③若直线 a 与平面 ? 平行, ? 内必存在无数条直线与 a 平行. (√) 则 (不是任意一条直线, 可利用平行的传递性证之) ④两条平行线中一条平行于一个平面,那么另一条也平行于这个平面. (×) (可能在此平 面内) ⑤平行于同一直线的两个平面平行.(×) (两个平面可能相交) ⑥平行于同一个平面的两直线平行.(×) (两直线可能相交或者异面) ⑦直线 l 与平面 ? 、 ? 所成角相等,则 ? ∥ ? .(×) ? 、 ? 可能相交) ( 3. 直线和平面平行性质定理:如果一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这个 平面相交,那么这条直线和交线平行.( “线面平行,线线平行” ) 4. 直线与平面垂直是指直线与平面任何一条直线垂直, 过一点有且只有一条直线和一个平 P 面垂直,过一点有且只有一个平面和一条直线垂直.
O A a

? 三垂线定理的逆定理亦成立. 直线与平面垂直的判定定理一:如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么 这两条直线垂直于这个平面.( “线线垂直,线面垂直” ) 直线与平面垂直的判定定理二:如果平行线中一条直线垂直于一个平面,那么另一条也垂 直于这个平面. 推论:如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行. [注]:①垂直于同一平面的两个平面平行.(×) (可能相交,垂直于同一条直线的两个平 .... ..... 面平行) ②垂直于同一直线的两个平面平行.(√) (一条直线垂直于平行的一个平面,必垂直于另
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一个平面) ③垂直于同一平面的两条直线平行.(√) 5. ⑴垂线段和斜线段长定理:从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中,①射影 .. 相等的两条斜线段相等,射影较长的斜线段较长;②相等的斜线段的射影相等,较长的斜 线段射影较长;③垂线段比任何一条斜线段短. [注]:垂线在平面的射影为一个点. [一条直线在平面内的射影是一条直线.(×)] ⑵射影定理推论:如果一个角所在平面外一点到角的两边的距离相等,那么这点在平面内 的射影在这个角的平分线上 四、 平面平行与平面垂直. 1. 空间两个平面的位置关系:相交、平行. 2. 平面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,哪么这两个 平面平行.( “线面平行,面面平行” ) 推论:垂直于同一条直线的两个平面互相平行;平行于同一平面的两个平面平行. [注]:一平面间的任一直线平行于另一平面. 3. 两个平面平行的性质定理:如果两个平面平行同时和第三个平面相交,那么它们交线平 行.( “面面平行,线线平行” ) 4. 两个平面垂直性质判定一:两个平面所成的二面角是直二面角,则两个平面垂直. 两个平面垂直性质判定二:如果一个平面与一条直线垂直,那么经过这条直线的平面垂直 于这个平面.( “线面垂直,面面垂直” ) 注:如果两个二面角的平面对应平面互相垂直,则两个二面角没有什么关系. 5. 两个平面垂直性质定理:如果两个平面垂直,那么在一个平面内垂直于它们交线的直线 也垂直于另一个平面. 推论:如果两个相交平面都垂直于第三平面,则它们交线垂直于第三平面. 证明:如图,找 O 作 OA、OB 分别垂直于 l 1,l 2 , P 因为 PM ? ? , OA ? ? , PM ? ? , OB ? ? 则 PM ? OA, PM ? OB . ? ? B M A
θ

O

6. 两异面直线任意两点间的距离公式:l ? m 2 ? n 2 ? d 2 ? 2m ncos? ( ? 为锐角取加,? 为
? ?? 钝取减,综上,都取加则必有 ? ? ? 0, ? ) 2 ? ?

7.最小角定理: cos? ? cos?1 cos? 2 ( ? 1 为最小角,如图)
θ

1. 棱柱. 图2 图1 ⑴①直棱柱侧面积: S ? Ch ( C 为底面周长, h 是高)该公式是利用直棱柱的侧面展开图 为矩形得出的. ②斜棱住侧面积: S ? C1l ( C1 是斜棱柱直截面周长, l 是斜棱柱的侧棱长)该公式是利用 斜棱柱的侧面展开图为平行四边形得出的.
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θ1 θ2

⑵{四棱柱} ? {平行六面体} ? {直平行六面体} ? {长方体} ? {正四棱柱} ? {正方体}. {直四棱柱} ? {平行六面体}={直平行六面体}.
四棱柱 底面是 平行四边形 平行六面体 侧棱垂直 底面 直平行六面体 底面是 矩形 长方体 底面是 正方形 正四棱柱 侧面与 正方体 底面边长相等

⑶棱柱具有的性质: ①棱柱的各个侧面都是平行四边形,所有的侧棱都相等;直棱柱的各个侧面都是矩形;正 ........ 棱柱的各个侧面都是全等的矩形. ..... ②棱柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等多边形. .. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 注:①棱柱有一个侧面和底面的一条边垂直可推测是直棱柱. (×) (直棱柱不能保证底面是钜形可如图) ②(直棱柱定义)棱柱有一条侧棱和底面垂直. ⑷平行六面体: 定理一:平行六面体的对角线交于一点,并且在交点处互相平分. ............. [注]:四棱柱的对角线不一定相交于一点. 定理二:长方体的一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和. 推 论 一 : 长 方 体 一 条 对 角 线 与 同 一 个 顶 点 的 三 条 棱 所 成 的 角 为 ?, ? ,? , 则
c o 2 ? ? c o 2 ? ? c o 2 ? ?1. s s s

推 论 二 : 长 方 体 一 条 对 角 线 与 同 一 个 顶 点 的 三 各 侧 面 所 成 的 角 为 ?, ? ,? , 则
2 2 2 c o s? ?c o s ? ?c o s ? ? 2 .

[注]:①有两个侧面是矩形的棱柱是直棱柱.(×) (斜四面体的两个平行的平面可以为矩 形) ②各侧面都是正方形的棱柱一定是正棱柱.(×) (应是各侧面都是正方形的直棱柱才行) . ③对角面都是全等的矩形的直四棱柱一定是长方体.(×) (只能推出对角线相等,推不出 底面为矩形) ④棱柱成为直棱柱的一个必要不充分条件是棱柱有一条侧棱与底面的两条边垂直. (两条 边可能相交,可能不相交,若两条边相交,则应是充要条件) 2. 棱锥:棱锥是一个面为多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形. [注]:①一个棱锥可以四各面都为直角三角形. ②一个棱柱可以分成等体积的三个三棱锥;所以 V 棱柱 ? Sh ? 3V棱柱 . ⑴①正棱锥定义:底面是正多边形;顶点在底面的射影为底面的中心. [注]:i. 正四棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形.(不是等边三角形) ii. 正四面体是各棱相等,而正三棱锥是底面为正△侧棱与底棱不一定相等 iii. 正棱锥定义的推论:若一个棱锥的各个侧面都是全等的等腰三角形(即侧棱相等) ;底 面为正多边形.
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②正棱锥的侧面积: S ?

1 Ch ' (底面周长为 C ,斜高为 h ' ) 2
a l b

c

③棱锥的侧面积与底面积的射影公式: S 侧 ? 附:

S底 cos?

(侧面与底面成的二面角为 ? )

以知 c ⊥ l , cos? ? a ? b , ? 为二面角 a ? l ? b . 则 S1 ?
1 1 a ? l ① , S 2 ? l ? b ② , cos? ? a ? b ③ 2 2

? ①②③得

S侧 ?

S底 cos?

.

注:S 为任意多边形的面积(可分别多个三角形的方法). ⑵棱锥具有的性质: ①正棱锥各侧棱相等,各侧面都是全等的等腰三角形,各等腰三角形底边上的高相等(它 叫做正棱锥的斜高). ②正棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影组成一个直角三角形,正棱锥的高、侧棱、侧 棱在底面内的射影也组成一个直角三角形. ⑶特殊棱锥的顶点在底面的射影位置: ①棱锥的侧棱长均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ②棱锥的侧棱与底面所成的角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形的外心. ③棱锥的各侧面与底面所成角均相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ④棱锥的顶点到底面各边距离相等,则顶点在底面上的射影为底面多边形内心. ⑤三棱锥有两组对棱垂直,则顶点在底面的射影为三角形垂心. ⑥三棱锥的三条侧棱两两垂直,则顶点在底面上的射影为三角形的垂心. ⑦每个四面体都有外接球,球心 0 是各条棱的中垂面的交点,此点到各顶点的距离等于球 半径; ⑧每个四面体都有内切球,球心 I 是四面体各个二面角的平分面的交点,到各面的距离等 于半径. [注]:①. 各个侧面都是等腰三角形,且底面是正方形的棱锥是正四棱锥.(×) (各个侧面 的等腰三角形不知是否全等) ②. 空间四边形 OABC 且四边长相等,则顺次连结各边的中点的四边形一定是矩形. ③. 若是四边长与对角线分别相等,则顺次连结各边的中点的四边是一定是正方形. 简证: AC 中点 O' , oo? ? AC, BO? ? AC ? AC ? 平面 OO?B ? AC ? BO ? ?FGH ? 90° 取 则 易知 EFGH 为平行四边形 ? EFGH 为长方形.若对角线等,则 EF ? FG ? EFGH 为正方形. 3. 球:⑴球的截面是一个圆面. ⑵.球面的距离 在球面上,两点之间的最短连线的长度,就是经过这两点大圆在这两点间的一段劣弧 的长度,这个弧长叫做两点的球面距离.
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D

①球的表面积公式: S ? 4?R 2 . ②球的体积公式: V ? ?R 3 .
4 3
A

E

F

O' H G

C

⑵纬度、经度: B ①纬度:地球上一点 P 的纬度是指经过 P 点的球半径与赤道面所成的角的度数. ②经度:地球上 A, B 两点的经度差,是指分别经过这两点的经线与地轴所确定的二个半平 面的二面角的度数,特别地,当经过点 A 的经线是本初子午线时,这个二面角的度数就是 B 点的经度. 4. ①内切球:当四面体为正四面体时,设边长为 a, h ? 得
3 2 3 2 6 a , S 侧? a a , S 底? 4 4 3

3 2 6 3 2 1 3 2 2 4 2 6 a ? a? a ?R ? ? a ?R ? R ? a/ 3? a? 3 ? a. 4 3 4 3 4 4 3 4 4

注:球内切于四面体: V B? ACD ? ?S侧 ?R ? 3 ? S 底 ?R ?S 底 ?h ②外接球:球外接于正四面体,可如图建立关系式.
R O

1 3

1 3

O

r

六. 空间向量. 1. (1)共线向量:共线向量亦称平行向量,指空间向量的有向线段所在直线互相平行或 重合. 注:①若 a 与 b 共线, b 与 c 共线,则 a 与 c 共线.(×) [当 b ? 0 时,不成立] ②向量 a, b, c 共面即它们所在直线共面.(×) [可能异面] ③若 a ∥ b ,则存在小任一实数 ? ,使 a ? ? b .(×)[与 b ? 0 不成立] ④若 a 为非零向量,则 0 ? a ? 0 .(√)[这里用到 ? b(b ? 0) 之积仍为向量] (2) 共线向量定理: 对空间任意两个向量 a,b(b ? 0) ,a ∥ b 的充要条件是存在实数 ? (具 有唯一性) ,使 a ? ? b .
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(3)共面向量:若向量 a 使之平行于平面 ? 或 a 在 ? 内,则 a 与 ? 的关系是平行,记作
a ∥? .

(4)①共面向量定理:如果两个向量 a, b 不共线,则向量 P 与向量 a, b 共面的充要条件是 存在实数对 x、y 使 P ? xa ? yb . ②空间任一点 O 和不共线三点 A、B、C,则 OP ? xOA ? yOB ? zOC( x ? y ? z ? 1) 是 PABC ... . ...... ..... 四点共面的充要条件.(简证:OP ? (1 ? y ? z )OA ? yOB ? zOC ? AP ? y AB ? z AC ? P、A、B、 C 四点共面) 注:①②是证明四点共面的常用方法. 2. 空间向量基本定理:如果三个向量 a, b, c 不共面,那么对空间任一向量 P ,存在一个唯 .... ... 一的有序实数组 x、y、z,使 p ? x a ? yb ? z c . 推论:设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P, 都存在唯一的有序实数组 x、 y、z 使 OP ? xOA ? yOB ? zOC (这里隐含 x+y+z≠1). 注:设四面体 ABCD 的三条棱, AB ? b, AC ? c, AD ? d , 其
B M 1 中 Q 是△BCD 的重心,则向量 AQ ? (a ? b ? c) 用 AQ ? AM ? MQ 即证. 3 G C A

D

3. (1)空间向量的坐标:空间直角坐标系的 x 轴是横轴(对应为横坐标) 轴是纵轴(对 ,y 应为纵轴) 轴是竖轴(对应为竖坐标). ,z ①令 a =(a1,a2,a3), b ? (b1 , b2 , b3 ) ,则
a ? b ? (a 1 ?b1 ,a 2 ?b 2 ,a 3 ?b 3 )

? a ? (?a 1 , ?a 2 , ?a 3 )(? ? R)
a1 a 2 a 3 ? ? b1 b 2 b 3

a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a ? b ?a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 ? 0

a ∥ b ? a 1 ? ?b 1 , a 2 ? ? b 2 , a 3 ? ? b 3 ( ? ? R ) ?

a ? a ? a ? a 1 2 ?a 2 2 ?a 3
? ? ? ? a ?b cos ? a , b ?? ? ? ? | a |?|b |

2

(用到常用的向量模与向量之间的转化:a 2 ? a ? a ? a ? a ? a )
a1b1 ? a 2 b2 ? a 3 b3

2 2 2 2 2 a1 ? a 2 ? a 3 ? b12 ? b2 ? b3

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②空间两点的距离公式: d ? ( x 2 ? x1 ) 2 ? ( y 2 ? y1 ) 2 ? ( z 2 ? z1 ) 2 . (2)法向量:若向量 a 所在直线垂直于平面 ? ,则称这个向量垂直于平面 ? ,记作 a ? ? , 如果 a ? ? 那么向量 a 叫做平面 ? 的法向量. (3)用向量的常用方法: ①利用法向量求点到面的距离定理:如图,设 n 是平面 ? 的法向量,AB 是平面 ? 的一条射 线,其中 A ?? ,则点 B 到平面 ? 的距离为
| AB? n | |n|

.

②利用法向量求二面角的平面角定理:设 n 1 , n 2 分别是二面角 ? ? l ? ? 中平面 ? , ? 的法向 量, n 1 , n 2 所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小 n 1 , n 2 方向相同, 则 ( 则为补角,
n 1 , n 2 反方,则为其夹角).

③证直线和平面平行定理:已知直线 a ?? 平面 ? , A ? B ? a, C ? D ?? ,且 CDE 三点不共线, 则 a∥ ? 的充要条件是存在有序实数对 ? ? ? 使 AB ? ? CD ? ? CE .(常设 AB ? ? CD ? ? CE 求 解 ?, ? 若 ?, ? 存在即证毕,若 ?, ? 不存在,则直线 AB 与平面相交).
A n


B

B

?
C A



n1

C

D E

? n2

?

?

二、常用结论、方法和公式 1.从一点 O 出发的三条射线 OA、 OB、 OC, 若∠AOB=∠AOC, 则点 A 在平面∠BOC 上的射影在∠BOC 的平分线上; 2. 已知:直二面角 M-AB-N 中,AE ? M,BF ? N,∠EAB= ? 1 ,∠ABF= ? 2 ,异面 直线 AE 与 BF 所成的角为 ? ,则 cos? ? cos?1 cos? 2; 3.三余弦公式:如图,AB 和平面所成的角是 ? 1 ,AC 在平面内, BC 和 AB 的射影 BA1 成 ? 2 ,设∠ABC= ? 3 ,则
B ? D C A1

A

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cos ? 1 cos ? 2 =cos ? 3 ; 4.异面直线所成角的求法: (1)平移法:在异面直线中的一条直线中选择一特殊点,作另一条的平行线; (2)补形法:把空间图形补成熟悉的或完整的几何体,如正方体、平行六面体、长 方体等,其目的在于容易发现两条异面直线间的关系; 5.直线与平面所成的角 斜线和平面所成的是一个直角三角形的锐角,它的三条边分别是平面的垂线段、斜 线段及斜线段在平面上的射影。通常通过斜线上某个特殊点作出平面的垂线段, 垂足 和斜足的连线,是产生线面角的关键; 6.二面角的求法 (1)定义法:直接在二面角的棱上取一点(特殊点) ,分别在两个半平面内作棱的垂 线,得出平面角,用定义法时,要认真观察图形的特性; (2)三垂线法:已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线,用三垂线定理或逆 定理作出二面角的平面角; (3)垂面法:已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个半平面 的交线所成的角即为平面角,由此可知,二面角的平面角所在的平面与棱垂直; (4)射影法:利用面积射影公式 S 射=S 原 cos ? ,其中 ? 为平面角的大小,此法不必在 图形中画出平面角; 特别:对于一类没有给出棱的二面角,应先延伸两个半平面,使之相交出现棱,然 后再选用上述方法(尤其要考虑射影法) 。 7.空间距离的求法 (1)两异面直线间的距离,高考要求是给出公垂线,所以一般先利用垂直作出公垂 线,然后再进行计算; (2)求点到直线的距离,一般用三垂线定理作出垂线再求解; (3)求点到平面的距离,一是用垂面法,借助面面垂直的性质来作,因此,确定已 知面的垂面是关键;二是不作出公垂线,转化为求三棱锥的高,利用等体积法列方程 求解; 8.正棱锥的各侧面与底面所成的角相等,记为 ? ,则 S 侧 cos ? =S 底; 9.已知:长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为 ? , ? , ? , 因此有 cos2 ? +cos2 ? +cos2 ? =1; 若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为
? , ? , ? , 则有 cos
2

? +cos2 ? +cos2 ? =2;

10.正方体和长方体的外接球的直径等与其体对角线长; 11.欧拉公式:如果简单多面体的顶点数为 V,面数为 F,棱数为 E.那么 V+F-E=2;并且 棱数 E=各顶点连着的棱数和的一半=各面边数和的一半; 12.柱体的体积公式:柱体(棱柱、圆柱)的体积公式是 V 柱体=Sh.其中 S 是柱体的底面积, h 是柱体的高.
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13.直棱柱的侧面积和全面积 S 直棱柱侧= c ? (c 表示底面周长, ? 表示侧棱长)

S 棱柱全=S 底+S 侧

1 14.棱锥的体积:V 棱锥= Sh ,其中 S 是棱锥的底面积,h 是棱锥的高。 3
15.球的体积公式 V= ?R 3 ,表面积公式 S ? 4?R ;
2

4 3

掌握球面上两点 A、B 间的距离求法: (1)计算线段 AB 的长, (2)计算球心角 ∠AOB 的弧度数;(3)用弧长公式计算劣弧 AB 的长;

方法总结
1.位置关系: (1) .两条异面直线相互垂直 证明方法:○证明两条异面直线所成角为 90?;○证明两条异面直线的方向量相互垂 1 2 直。 (2) .直线和平面相互平行 证明方法:○证明直线和这个平面内的一条直线相互平行;○证明这条直线的方向向 1 2 量和这个平面内的一个向量相互平行;○证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相 3 互垂直。 (3) .直线和平面垂直 证明方法:○证明直线和平面内两条相交直线都垂直,○证明直线的方向量与这个平 1 2 面内不共线的两个向量都垂直;○证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行。 3 (4) .平面和平面相互垂直 证明方法:○证明这两个平面所成二面角的平面角为 90?;○证明一个平面内的一条 1 2 直线垂直于另外一个平面;○证明两个平面的法向量相互垂直。 3 2.求距离: 求距离的重点在点到平面的距离,直线到平面的距离和两个平面的距离可以转化成点 到平面的距离,一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离。
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(1) .两条异面直线的距离

求法:利用公式 d

?

| AB· | n |n|

(其中 A、B 分别为两条异面直线上的一点, n 为这

两条异面直线的法向量) (2) .点到平面的距离 求法:○“一找二证三求” 1 ,三步都必须要清楚地写出来。○等体积法。○向量法, 2 3

利用公式 d

?

| AB· | n |n|

(其中 A 为已知点,B 为这个平面内的任意一点, n 这个平面的

法向量) 3.求角 (1) .两条异面直线所成的角 求法:○先通过其中一条直线或者两条直线的平移,找出这两条异面直线所成的角, 1 然后通过解三角形去求得;○通过两条异面直线的方向量所成的角来求得,但是注意到异 2 面直线所成角得范围是 (0, 转化成相应的锐角。 (2) .直线和平面所成的角 求法:○“一找二证三求” 1 ,三步都必须要清楚地写出来。○向量法,先求直线的方 2 向量于平面的法向量所成的角α ,那么所要求的角为 (3) .平面与平面所成的角 求法:○“一找二证三求” 1 ,找出这个二面角的平面角,然后再来证明我们找出来的 这个角是我们要求的二面角的平面角,最后就通过解三角形来求。 ○通过射影面积来求 2

?
2

] ,向量所成的角范围是 [0, ? ] ,如果求出的是钝角,要注意

?
2

? ? 或? ?

?
2



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cos? ?

S 射影 S原

(在其中一个平面内找出一个三角形,然后找这个三角形在另外一个平面

的射影,那么这个三角形的射影面积与原三角形面积之比即为 cosα ,注意到我们要求的 角为α 或π -α ) ○向量法,先求两个平面的法向量所成的角为α ,那么这两个平面所 ;3 成的二面角的平面角为α 或π -α 。 我们现在来解决立体几何的有关问题的时候,注意到向量知识的应用,如果可以比较 容易建立坐标系,找出各点的坐标,那么剩下的问题基本上就可以解决了,如果建立坐标 系不好做的话,有时求距离、角的时候也可以用向量,运用向量不是很方便的时候,就用 传统的方法了! 4.解立体几何题应注意 (1) .我们现在提倡用向量法来解决立体几何的有关问题,但是当运用向量不是很方 便的时候,传统的几何法我们也要能够运用自如。 (2) .我们如果是通过解三角形去求角、距离的时候,做到“一找二证三求” ,解题 的过程中一定要出现这样一句话, “∠α 是我们所要求的角”“线段 AB 的长度就是我们所 、 要求的距离”等等。让人看起来一目了然。 (3) .用向量来求两条异面直线所成角时,若求出 cosα =x,则这两条异面直线所成 的角为α =arccos|x| (4) .在求直线与平面所成的角的时候,法向量与直线方向量所成的角或者法向量与 直线的方向量所成角的补交与我们所要求的角互余, 所以要 为锐角,就用

?
2

? ? 或? ?

?
2

, 若求出的角

?
2

? ? ,若求出的钝角,就用 ? ?

?
2



(5) .求二面角时,若用第○、○种方法,先要去判断这个二面角的平面角是钝角还 2 3 是锐角,然后再根据我们所作出的判断去取舍。

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