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高考题(2,3)

(11)(20)解: (Ⅰ)设 M(x,y),由已知得 B(x,-3),A(0,-1).所以 MA = (-x,-1-y) , MB =(0,-3-y),

AB =(x,-2).再由愿意得知( MA + MB )? AB =0,即(-x,-4-2y)? (x,-2)=0.
所以曲线 C 的方程式为 y=

1 2 x -2. 4 1 2 1 ' 1 x -2 上一点,因为 y = x,所以 l 的斜率为 x 0 4 2 2

(Ⅱ)设 P(x 0 ,y 0 )为曲线 C:y= 因此直线 l 的方程为 y ? y0 ? 则 O 点到 l 的距离 d ?

1 x0 ( x ? x0 ) ,即 x0 x ? 2 y ? 2 y0 ? x2 ? 0 。 2
.又 y0 ?

2 | 2 y0 ? x0 |

x ?4
2 0

1 2 x0 ? 2 ,所以 4

1 2 x0 ? 4 1 4 2 2 d? ? ( x0 ?4? ) ? 2, 2 2 x0 ? 4 2 x0 ? 4
2 当 x0 =0 时取等号,所以 O 点到 l 距离的最小值为 2.

(10) (13)(20)(本小题满分 12 分) 2 2 2 2 已知圆 M:(x+1) +y =1,圆 N:(x-1) +y =9,动圆 P 与圆 M 外切并与圆 N 内切,圆心 P 的轨迹为曲线 C (Ⅰ)求 C 的方程; (Ⅱ)l 是与圆 P,圆 M 都相切的一条直线,l 与曲线 C 交于 A,B 两点,当圆 P 的半径最 长时,求|AB|. 【解析】 由已知得圆 M 的圆心为 M (-1, 0) ,半径 r1 =1, 圆 N 的圆心为 N (1,0),半径 r2 =3. 设动圆 P 的圆心为 P ( x , y ),半径为R. (Ⅰ)∵圆 P 与圆 M 外切且与圆 N 内切,∴|PM|+|PN|= ( R ? r 1 ? r2 =4, 1 ) ? (r 2 ? R) = r 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左右焦点,场半轴长为2,短半轴长为 3 的椭

圆(左顶点除外),其方程为

x2 y 2 ? ? 1( x ? ?2) . 4 3

(Ⅱ)对于曲线C上任意一点 P ( x , y ),由于|PM|-|PN|= 2 R ? 2 ≤2,∴R≤2, 当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. ∴当圆P的半径最长时,其方程为 ( x ? 2) ? y ? 4 ,
2 2

当 l 的倾斜角为 90 时,则 l 与 y 轴重合,可得|AB|= 2 3 . 当 l 的倾斜角不为 90 时, 由 r1 ≠R知 l 不平行 x 轴, 设 l 与 x 轴的交点为Q, 则
0

0

| QP | R = , | QM | r1

可求得Q (-4, 0) , ∴设 l :y ? k ( x ? 4) , 由 l 于圆M相切得

| 3k | 1? k
2

解得 k ? ? ?1,

2 . 4

当k =

x2 y 2 2 2 ? 1( x ? ?2) 并整理得 7 x 2 ? 8x ? 8 ? 0 , 时,将 y ? x ? 2 代入 ? 4 3 4 4
18 ?4 ? 6 2 2 ,∴|AB|= 1 ? k | x1 ? x2 | = . 7 7

解得 x1,2 =

当 k =-

18 2 时,由图形的对称性可知|AB|= , 7 4 18 或|AB|= 2 3 . 7

综上,|AB|=

(12)19. (本小题满分 12 分) 如图,直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,AC=BC= (1)证明:DC1⊥BC; (2)求二面角 A1-BD-C1 的大小。 【解析】 (1)在 Rt ?DAC 中, AD ? AC , 得: ?ADC ? 45 ,
? ? 同理: ?A 1DC1 ? 45 ? ?CDC 1 ? 90 ,
?

1 AA1,D 是棱 AA1 的中点,DC1⊥BD。 2 C1
A1

B1

D C A B

得: DC1 ? DC 。 又 DC1⊥BD, DC

BD ? D ,

所以 DC1 ? 平面 BCD 。 而 BC ? 平面 BCD ,所以 DC1 ? BC 。 (2)解法一: (几何法) 由 DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1

? BC ? AC 。
取 A1B1 的中点 O ,连接 C1O , OD 。 因为 AC 1 1 ?B 1C1 ,所以 C1O ? A 1B 1, 因为面 A1 B1C1 ? 面 A 1BD ,所以 C1O ? 面 A 1BD ,从而 C1O ? BD ,

又 DC1⊥BD,所以 BD ? 面 DC1O ,因为 OD ? 平面 DC1O ,所以 BD ? OD 。 由 BD ? OD ,BD⊥DC1,所以 ?C1DO 为二面角 A1-BD-C1 的平面角。 设 AA1 ? 2a , AC ? BC ? a ,则 C1O ? 在直角△ C1OD , C1O ? OD , C1O ? 所以 ?C1DO ? 30? 。 解法二: (向量法) 由 DC1 ? BC, CC1 ? BC ? BC ? 面 ACC1 A 1

2a , C1D ? 2a , 2

1 C1D , 2
?

因此二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 。

? BC ? AC 。又 C1C ? 平面 ABC ,
所以 C1C ? AC , C1C ? BC , 以 C 点为原点,CA、CB、CC1 所在直线分别为

x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 C ? xyz 。 1 不妨设 AA1=2,则 AC=BC= AA1=1, 2
从而 A1(1,0,2) ,D(1,0,1) , B(0,1,0) ,C1(0,0,2) , 所以 DA 1 ? (0,0,1) , DB ? (?1,1, ?1) ,

DC1 ? (?1,0,1) 。
设平面 A 1BD 的法向量为 n 1 ? ( x1 , y1 , z1 ) , 则 n1 ? DA 1 , n1 ? DB , 所以 ?

? z1 ? 0 ? z1 ? 0 ,即 ? ,令 y1 ? 1 ,则 n1 ? (1,1,0) 。 ?? x1 ? y1 ? z1 ? 0 ? x1 ? y1

设平面 C1BD 的法向量为 n2 ? ( x2 , y2 , z2 ) ? ,则 n2 ? DC1 , n2 ? DB , 所以 ?

?? x2 ? z2 ? 0 ? x2 ? z2 ,即 ? ,令 z2 ? 1 ,则 n2 ? (1,2,1) 。 ?? x2 ? y2 ? z2 ? 0 ? y2 ? 2 z2
n1 ? n2 ? | n1 | ? | n2 | 3 3 ? ,解得 ? n1 , n2 ?? 30? 。 2 2? 6
?

所以 cos ? n1 , n2 ??

因为二面角 A1 ? BD ? C1 为锐角,因此二面角 A1 ? BD ? C1 的大小为 30 。 【点评】本小题主要考察空间线面垂直,线线垂直的判定与性质及二面角的求法。


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