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【5年高考3年模拟】(新课标版)高考数学真题分类汇编 5.3 解三角形 理

§5.3 解三角形
考点一 正弦、余弦定理 1.(2014 课标Ⅰ,16,5 分)已知 a,b,c 分别为△ABC 三个内角 A,B,C 的对边,a=2,且(2+b)(sin A-sin B)=(c-b)sin C,则△ABC 面积的最大值为 答案 2.(2014 广东,12,5 分)在△ABC 中,角 A,B,C 所对应的边分别为 a,b,c.已知 bcos C+ccos B=2b, 则= 答案 2 3.(2014 福建,12,4 分)在△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2,则△ABC 的面积等于 答案 2 4.(2014 天津,12,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.已知 b-c=a,2sin B=3sin C,则 cos A 的值为 答案 5.(2014 江苏,14,5 分)若△ABC 的内角满足 sin A+sin B=2sin C,则 cos C 的最小值 是 答案 6.(2014 辽宁,17,12 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a>c.已知·=2,cos B=,b=3.求: (1)a 和 c 的值; (2)cos(B-C)的值. 解析 (1)由·=2 得 c·acos B=2, 又 cos B=,所以 ac=6. 由余弦定理,得 a +c =b +2accos B. 又 b=3,所以 a +c =9+2×2=13. 解得 a=2,c=3 或 a=3,c=2. 因 a>c,所以 a=3,c=2. (2)在△ABC 中,sin B===, 由正弦定理,得 sin C=sin B=×=. 因 a=b>c,所以 C 为锐角, 因此 cos C===. 于是 cos(B-C)=cos Bcos C+sin Bsin C =×+×=. 7.(2014 湖南,18,12 分)如图,在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC=. (1)求 cos∠CAD 的值; (2)若 cos∠BAD=-,sin∠CBA=,求 BC 的长.
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解析 (1)在△ADC 中,由余弦定理,得 cos∠CAD===. (2)设∠BAC=α ,则 α =∠BAD-∠CAD. 因为 cos∠CAD=,cos∠BAD=-, 所以 sin∠CAD===, sin∠BAD===. 于是 sin α =sin(∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD =×-×=. 在△ABC 中,由正弦定理,得=, 故 BC===3. 考点二 解三角形及其综合应用 8.(2014 课标Ⅱ,4,5 分)钝角三角形 ABC 的面积是,AB=1,BC=,则 AC=( A.5 B. C.2 D.1 答案 B 9.(2014 江西,4,5 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c.若 c =(a-b) +6,C=,则 △ABC 的面积是( A.3 B. C. D.3 答案 C 10.(2014 重庆,10,5 分)已知△ABC 的内角 A,B,C 满足 sin 2A+sin(A-B+C)=sin(C-A-B)+,面 积 S 满足 1≤S≤2,记 a,b,c 分别为 A,B,C 所对的边,则下列不等式一定成立的是( A.bc(b+c)>8 B.ab(a+b)>16 C.6≤abc≤12 答案 A 11.(2014 山东,12,5 分)在△ABC 中,已知·=tan A,当 A=时,△ABC 的面积为 答案 12.(2014 北京,15,13 分)如图,在△ABC 中,∠B=,AB=8,点 D 在 BC 边上,且 CD=2,cos∠ADC=. (1)求 sin∠BAD; (2)求 BD,AC 的长. . D.12≤abc≤24 ) )
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解析 (1)在△ADC 中,因为 cos∠ADC=, 所以 sin∠ADC=. 所以 sin∠BAD=sin(∠ADC-∠B) =sin∠ADCcos B-cos∠ADCsin B =×-×=. (2)在△ABD 中,由正弦定理得 BD===3. 在△ABC 中,由余弦定理得 AC =AB +BC -2AB·BC·cos B =8 +5 -2×8×5×=49. 所以 AC=7. 13.(2014 陕西,16,12 分)△ABC 的内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c. (1)若 a,b,c 成等差数列,证明:sin A+sin C=2sin(A+C); (2)若 a,b,c 成等比数列,求 cos B 的最小值. 解析 (1)∵a,b,c 成等差数列,∴a+c=2b. 由正弦定理得 sin A+sin C=2sin B. ∵sin B=sin[π -(A+C)]=sin(A+C), ∴sin A+sin C=2sin(A+C). (2)∵a,b,c 成等比数列,∴b =ac. 由余弦定理得 cos B==≥=, 当且仅当 a=c 时等号成立. ∴cos B 的最小值为. 14.(2014 安徽,16,12 分)设△ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别是 a,b,c,且 b=3,c=1,A=2B. (1)求 a 的值; (2)求 sin 的值. 解析 (1)因为 A=2B,所以 sin A=sin 2B=2sin Bcos B. 由正、余弦定理得 a=2b·. 因为 b=3,c=1,所以 a =12,a=2. (2)由余弦定理得 cos A===-. 由于 0<A<π ,所以 sin A===. 故 sin=sin Acos+cos Asin=×+×=.
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15.(2014 浙江,18,14 分)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a≠b,c=,cos A-cos B=sin Acos A-sin Bcos B. (1)求角 C 的大小; (2)若 sin A=,求△ABC 的面积. 解析 (1)由题意得 -=sin 2A-sin 2B, 即 sin 2A-cos 2A=sin 2B-cos 2B, sin=sin. 由 a≠b,得 A≠B,又 A+B∈(0,π ),得 2A-+2B-=π , 即 A+B=, 所以 C=. (2)由 c=,sin A=,=,得 a=, 由 a<c,得 A<C.从而 cos A=, 故 sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C=, 所以,△ABC 的面积为 S=acsin B=. 16.(2014 大纲全国,17,10 分)△ABC 的内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c,已知 3acos C=2ccos A,tan A=,求 B. 解析 由题设和正弦定理得 3sin Acos C=2sin Ccos A. 故 3tan Acos C=2sin C, 因为 tan A=,所以 cos C=2sin C, tan C=.(6 分) 所以 tan B=tan[180°-(A+C)] =-tan(A+C) =(8 分) =-1, 即 B=135°.(10 分)
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