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高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 学业分层测评12 数学归纳法 新人教A版选修4-5


【课堂新坐标】 2016-2017 学年高中数学 第四讲 数学归纳法证明不 等式 学业分层测评 12 数学归纳法 新人教 A 版选修 4-5
(建议用时:45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1 1 1 1.设 f(n)=1+ + +?+ (n∈N+),则 f(n+1)-f(n)等于( 2 3 3n-1 A. C. 1 3n+2 1 1 + 3n+1 3n+2 B. D. 1 1 + 3n 3n+1 1 1 1 + + 3n 3n+1 3n+2 )

1 1 1 1 1 1 1 【解析】 因为 f(n)=1+ + +?+ , 所以 f(n+1)=1+ + +?+ + 2 3 3n-1 2 3 3n-1 3n + 1 1 1 1 1 + ,所以 f(n+1)-f(n)= + + .故选 D. 3n+1 3n+2 3n 3n+1 3n+2 【答案】 D 1 2.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步检验第一个值 n0 2 等于( A.1 C.3 ) B.2 D.0

【解析】 边数最少的凸 n 边形是三角形. 【答案】 C 1 3an 3.已知 a1= ,an+1= ,猜想 an 等于( 2 an+3 ) 【导学号:32750066】 A. C. 3 n+2 3 B. D. 3a1 3 = , a1+3 7 3 n+3 3

n+4

n+5

【解析】 a2= 3a2 3 a3= = , a2+3 8

3a3 1 3 a4= = = , a3+3 3 9

1

猜想 an=

3 . n+5

【答案】 D 4.用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)?·(n+n)=2 ×1×3?(2n-1)时,从“k 到 k +1”左边需增乘的代数式是( A.2k+1 C.2(2k+1) ) B. D. 2k+1 k+1 2k+2 k+1
n

【解析】 当 n=k+1 时, 左边=(k+1+1)(k+1+2)?·(k+1+k+1)=(k+1)·(k ?2k+1??2k+2? +2)·(k+3)?(k+k)· =(k+1)(k+2)(k+3)?(k+k)·2(2k+1). k+1 【答案】 C 5. 记凸 k 边形的内角和为 f(k), 则凸 k+1 边形的内角和 f(k+1)等于 f(k)加上( A. π 2 B.π 3 D. π 2 )

C.2π 【解析】 从 n=k 到 n=k+1 时, 内角和增加 π . 【答案】 B 二、填空题

6.观察式子 1=1,1-4=-(1+2),1-4+9=1+2+3,?,猜想第 n 个式子应为 ________. 【答案】 1-4+9-16+?+(-1) =(-1)
n+1 n-1 2

n

·

n?n+1?
2
2

7.用数学归纳法证明“1+2+2 +?+2

n-1

=2 -1(n∈N+)”的过程中,第二步假设 n

n

=k 时等式成立,则当 n=k+1 时应得到________. 【解析】 ∵n=k 时,命题为“1+2+2 +?+2 ∴n=k+1 时为使用归纳假设, 应写成 1+2+2 +?+2
2 2 2

k-1

=2 -1”,

k

k-1

+2 =2 -1+2 =2
k-1

k

k

k

k+1

-1.

【答案】 1+2+2 +?+2 8.用数学归纳法证明 3 +5
2(k+1)+1 4n+1

+2 =2

k

k+1

-1
4(k+1)+1

+5

2n+1

(n∈N+)能被 14 整除,当 n=k+1 时,对于 3

应变形为________. 3
4(k+1)+1

【解析】

+5

2(k+1)+1

=3

4k+5

+5

2k+3

=81×3

4k + 1

+25×5

2k + 1

=81×3

4k + 1

+81×5

2k+1

2

-56×5

2k+1

=81×(3

4k+1

+5

2k+1

)-56×5

2k+1

.

【答案】 81×(3 三、解答题

4k+1

+5

2k+1

)-56×5

2k+1

9.用数学归纳法证明:

?1-1??1-1??1- 1 ???1- 12?=n+1(n≥2,n∈N ). ? 4?? 9?? 16? ? n ? 2n + ? ?? ?? ? ? ?
1 3 2+1 3 【证明】 (1)当 n=2 时,左边=1- = ,右边= = . 4 4 2×2 4 ∴等式成立. (2)假设当 n=k(k≥2,k∈N+)时,等式成立, 1? ? 1 ? k+1 ? 1?? 1?? 即?1- ??1- ??1- ???1- 2?= (k≥2,k∈N+). ? 4?? 9?? 16? ? k ? 2k 当 n=k+1 时, 1 ?1-1??1-1??1- 1 ???1- 12??1- ? ? 4?? 9?? 16? ? k ?? ?k+1?2? ? ?? ?? ? ? ?? ? = =

k+1 ?k+1?2-1 ?k+1?k·?k+2? · 2 = 2 2k ?k+1? 2k·?k+1? k+2 ?k+1?+1 = , 2?k+1? 2?k+1?

∴当 n=k+1 时,等式成立. 根据(1)和(2)知,对 n≥2,n∈N+时,等式成立. 10.用数学归纳法证明:对于任意正整数 n,整式 a -b 都能被 a-b 整除. 【证明】 (1)当 n=1 时,a -b =a-b 能被 a-b 整除. (2)假设当 n=k(k∈N+,k≥1)时,a -b 能被 a-b 整除,那么当 n=k+1 时,a
+1

n

n

n

n

k

k

k+1

-b

k

=a

k+1

-a b+a b-b
k

k

k

k+1

=a (a-b)+b(a -b ).因为(a-b)和 a -b 都能被 a-b 整除,所
k k k+1

k

k

k

k

k

以上面的和 a (a-b)+b(a -b )也能被 a-b 整除.这也就是说当 n=k+1 时,a 能被 a-b 整除. 根据(1)(2)可知对一切正整数 n,a -b 都能被 a-b 整除. [能力提升] 1.设 f(n)= 1
n n

-b

k+1

n+1 n+2 n+3



1



1

1 +?+ (n∈N+),那么 f(n+1)-f(n)等于( 2n

)

【导学号:32750067】 A. C. 1 2n+1 1 1 + 2n+1 2n+2 B. D. 1 2n+2 1 1 - 2n+1 2n+2

3

【解析】 因为 f(n)= 所以 f(n+1)= 1 +

1 1 1 + +?+ , n+1 n+2 2n 1 1 1 1 +?+ + + , 2n 2n+1 2n+2

n+2 n+3

1 1 1 1 1 所以 f(n+1)-f(n)= + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 【答案】 D 2.某同学回答“用数学归纳法证明 n +n<n+1(n∈N+)的过程如下: 证明:(1)当 n=1 时,显然命题是正确的: (2)假设 n=k 时有 k?k+1?<k+1,那么当 n=k+1 时, ?k+1? +?k+1?=
2 2

k2+3k+2< k2+4k+4=(k+1)+1,所以当 n=k+1 时命题是正确的.由(1)(2)可知对
于 n∈N+,命题都是正确的.以上证法是错误的,错误在于( A.从 k 到 k+1 的推理过程没有使用归纳假设 B.归纳假设的写法不正确 C.从 k 到 k+1 的推理不严密 D.当 n=1 时,验证过程不具体 【解析】 证明 ?k+1? +?k+1?<(k+1)+1 时进行了一般意义的放大.而没有 使用归纳假设 k?k+1?<k+1. 【答案】 A 3.用数学归纳法证明 2 +3 +?+n =
2 2 2 2

)

n?n+1??2n+1?
6

-1(n∈N+,且 n>1)时,

第一步应验证 n=________,当 n=k+1 时,左边的式子为________. 【解析】 ∵所证明的等式为 2 +3 +?+n =
2 2 2

n?n+1??2n+1?
6

-1(n∈N+,n>1).

又∵第一步验证的值应为第一个值(初始值), ∴n 应为 2. 又∵当 n=k+1 时,等式左边的式子实际上是将左边式子中所有的 n 换成 k+1, 即 2 +3 +?+k +(k+1) . 【答案】 2 2 +3 +?+k +(k+1)
2 2 2 2 2 2 2 2 2

4.是否存在常数 a,b,c 使等式(n -1 )+2(n -2 )+?+n(n -n )=an +bn +c 对 一切正整数 n 成立?证明你的结论.

2

2

2

2

2

4

2

【解】

a+b+c=0, ? ? 存 在 . 分 别 用 n = 1,2,3 代 入 , 解 方 程 组 ?16a+4b+c=3, ? ?81a+9b+c=18,



4

a= , ? ? 41 ?b=-4, ? ?c=0,
1 故原等式右边= - . 4 4 下面用数学归纳法证明. (1)当 n=1 时,由上式可知等式成立. 1 4 2 2 2 2 2 2 (2)假设当 n=k(k∈N+, k≥1)时等式成立, 即(k -1 )+2(k -2 )+?+k(k -k )= k 4 1 2 - k. 4 则当 n=k+1 时, 左边=[(k+1) -1 ]+2[(k+1) -2 ]+?+k[(k+1) -k ]+(k+1)·[(k+1) -(k 1 4 2 2 2 2 2 2 2 +1) ]=(k -1 )+2(k -2 )+?+k(k -k )+(2k+1)+2(2k+1)+?+k(2k+1)= k - 4 1 2 k?k+1? 1 1 4 2 k +(2k+1)· = (k+1) - (k+1) ,故 n=k+1 时,等式成立. 4 2 4 4 由(1)(2)得等式对一切 n∈N+均成立.
2 2 2 2 2 2 2

n4 n2

5


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