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2014年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷

2014 年上海市高中数学竞赛(新知杯)试卷 (2014 年 3 月 30 日 星期日 上午 8:30~10:30) 【说明】解答本试卷不得使用计算器 一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1.给定正实数 a , b ( a ? b ),两点( a ? b , 0 )、( ? a ? b , 0 )到直线 2 2 2 2 x cos ? y sin ? ? ? 1 的距离乘积是 a b . 2.已知线段 AB 、 CD 的长分别为 a 、 b ( a, b ? 0 ).若线段 AB 、 CD 分别在 x 轴、 y 轴上滑动,且使得 A, B, C, D 四点共圆,则这些圆的圆心轨迹方程是 3.若 x ? (?1,1) 时, f ( x) ? x 2 ? ax ? 4.数列 { xn } 定义如下: x1 ? . . a 恒为正值,则实数 a 的取值范围是 2 xn 2 , xn ?1 ? (n ? 1, 2,?) ,则 2(2n ? 1) xn ? 1 3 x1 ? x2 ? ? ? x2014 ? 2 . 2 5.不等式 log 1 ( x ? 2 x ? 3) ? x ? 2 x ? 16 的解集是 12 . 6.设 a1 , a2 ,? , a2014 是正整数 1, 2,?, 2014 的一个排列,记 Sk ? a1 ? ? ? ak , k ? 1, 2,?, 2014 ,则 S1 , S2 ,? , S2014 中奇数个数的最大值是 . 7.设 S ? {1, 2,?,11} ,对 S 的每一个 7 元子集,将其中的 7 个数从小到大排列,取 出中间的数,则所有取出的中间数的和等于 . 8.将 90000 个五位数 10000,10001,? ,99999 打印在卡片上,每张卡片上打印一 个五位数.有些卡片上所打印的数,如 19806 倒过来看是 90861,有两种不同的读法,会 引起混淆,则不会引起混淆的卡片共有 二、解答题 9.(本题满分 14 分)在锐角三角形 ABC 中,已知 A ? 75 , AC ? b , AB ? c , ? 张. 求三角形 ABC 的外接正三角形面积的最大值. 10.(本题满分 14 分)设 n 是给定的大于 2 的整数.有 n 个外表上没有区别的袋子, 第 k 个袋中有 k 个红球, (n ? k ) 个白球, k ? 1, 2,?, n .把这些袋子混合后,任选一个 袋子,并且从中连续取出三个球(每次取出不放回),求第三次取出的是白球的概率. 11.(本题满分 16 分)正实数 x, y, z 满足: ?2 ? 5 ? z ? min{x, y}, ? 4 ? ? xz ? , 15 ? 1 ? ? yz ? 5 . ? 求 1 2 3 ? ? 的最大值.(这里, min{x, y} 表示实数 x, y 中的较小者.) x y z 12.(本题满分 16 分)求 1, 2,?, n 的排列 a1 , a2 ,? , an 的个数,使得 “ | ak ? k | ? n ?1 对正整数 k ? 1, 2,?, n 成立” . 2

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