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【全程复习方略】2014年人教A版数学理(广东用)配套课件:第八章 第三节圆 的 方 程


第三节

圆 的 方 程

1.圆的定义、方程 定义 标准 方程 定点 的距离等于_____ 定长 的点的轨迹叫做圆 平面内到_____ (a,b) 圆心C ______ (x-a)2+(y-b)2 =r2(r>0) 半径为r

充要条件: 2+E2-4F>0 D ___________
一般 方程 x2+y2+Dx+ Ey+F=0
D E ( ? , ? ) 圆心坐标: 2 2
半径r ?

1 D 2 ? E 2 ? 4F 2

2.点与圆的位置关系 点 与_____ 圆心 的距离与半径的大小关系. (1)确定方法:比较___

(2)三种关系:
圆的标准方程(x-a)2+(y-b)2=r2,点M(x0,y0).
2+(y -b)2=r2 (x -a) 0 0 ①_________________ ?点在圆上;

(x0-a)2+(y0-b)2>r2 ?点在圆外; ②__________________ (x0-a)2+(y0-b)2<r2 ?点在圆内. ③__________________

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”). (1)确定圆的几何要素是圆心与半径.( )

(2)方程(x+a)2+(y+b)2=t2(t∈R)表示圆心为(a,b),半径为t的 一个圆.( )
a 2

(3)方程x2+y2+ax+2ay+2a2+a-1=0表示圆心为(? , ?a),半径为
1 ?3a 2 ? 4a ? 4 的圆.( 2

)

(4)方程Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是A=C≠0,
B=0,D2+E2-4AF>0.( )

(5)若点M(x0,y0)在圆x2+y2+Dx+Ey+F=0外,则
2 2 x0 ? y0 ? Dx 0 ? Ey0 ? F>0 .(

)

【解析】(1)正确.圆由其圆心和半径两个要素就确定了. (2)错误.当t≠0时,方程表示圆心为(-a,-b),半径为|t|的圆. (3)错误.当a2+(2a)2-4(2a2+a-1)>0即-2<a< 2 时才表示圆.
3

(4)正确.因为A=C≠0,B=0,D2+E2-4AF>0得方程 Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0表示圆,反之也成立. (5)正确.因为点M(x0,y0)在圆外,所以 (x 0 ? ) 2 ? (y 0 ? ) 2>
D2 ? E 2 ? 4F 即 x 2 ? y2 ? Dx ? Ey ? F>0. 0 0 0 0 , 4
D 2 E 2

答案:(1)√

(2)〓

(3)〓

(4)√

(5)√

1.圆心为点(0,1),半径为2的圆的标准方程为( (A)(x-1)2+y2=4 (C)x2+(y-1)2=4 (B)x2+(y-1)2=2 (D)(x-1)2+y2=2

)

【解析】选C.由已知得圆的标准方程为(x-0)2+(y-1)2=22,即 x2+(y-1)2=4.

2.圆x2+y2-4x+6y=0的圆心坐标和半径分别是( (A)(2,3),13 (C)(-2,-3),13 (B)(-2,3),13 (D)(2,-3), 13

)

【解析】选D.由x2+y2-4x+6y=0得(x-2)2+(y+3)2=13,故圆心 坐标为(2,-3),半径为 13 .

3.若点(2,3)在⊙C:(x-1)2+(y-2)2=r2内,则( (A)r= 2 (C)r< 2 (B)r> 2 或r< ? 2 (D) ? 2 <r< 2

)

【解析】选B.由已知得 r > ? 2 ? 1?2 ? ? 3 ? 2 ?2 ,即|r|> 2 , ? r> 2 或 r< ? 2 .

4.方程x2+y2+4mx-2y+5m=0表示圆的充要条件是(
(A) 1 <m<1 (C)m< 1
4 4

)

(B)m>1 (D)m< 1 或m>1
4

【解析】选D.由已知得充要条件为(4m)2+(-2)2-4〓5m>0,即 4m2-5m+1>0,解得:m< 1 或m>1.
4

5.已知点A(1,2)在圆:x2+y2+ax-2y+b=0上,且点A关于直线 x-y=0的对称点B也在圆上,则a=______,b=______. 【解析】方法一:点A(1,2)关于直线x-y=0的对称点为 B(2,1),又因为A,B两点都在圆上,
?a ? ?2, ? ? b ? 1, a 方法二:易知圆心在y=x上,?1= ? , 2
2 2 ? ?1 ? 2 ? a ? 4 ? b ? 0, 所以 ? 2 2 解得 ? ?2 ? 1 ? 2a ? 2 ? b ? 0,

即a=-2,又≧点A(1,2)在圆x2+y2-2x-2y+b=0上,?12+22-2〓12〓2+b=0,?b=1. 答案:-2 1

考向 1

确定圆的方程

【典例1】(1)(2013·深圳模拟)已知圆C的半径为2,圆心在x 轴的正半轴上,直线3x+4y+4=0与圆C相切,则圆C的方程为 ( (A)x2+y2-2x-3=0 (C)x2+y2+2x-3=0 (B)x2+y2+4x=0 (D)x2+y2-4x=0 )

(2)(2013·哈尔滨模拟)过点A(6,0),B(1,5),且圆心C在直 线l:2x-7y+8=0上的圆的方程为______.

(3)已知A(0,1),B(2,1),C(3,4),D(-1,2),问这四点能 否在同一个圆上?为什么? 【思路点拨】(1)运用排除法求解.(2)可根据已知条件,先求 其圆心C的坐标,再求圆的半径r=|AC|;也可用待定系数法, 设出圆的标准方程或一般方程,依据已知条件构建关于a,b,r 或D,E,F的方程组求解.(3)先求过A,B,C三点的圆的方程,再 验证点D与圆的位置关系即可.

【规范解答】(1)选D.由圆心在x轴的正半轴上排除B,C.A中方 程可化为(x-1)2+y2=4,半径为2,圆心(1,0)到3x+4y+4=0的 距离d= 3 ? 4 ? 7 ? 2,排除A.故选D.
5 5

(2)方法一:≧A(6,0),B(1,5),
7 5 5?0 =-1, 2 2 1? 6 5 7 ?AB垂直平分线方程为y- =x- , 2 2

?线段AB的中点坐标为( , ),kAB=

即x-y-1=0.
?2x ? 7y ? 8 ? 0, 由方程组 ? ?x ? y ? 1 ? 0

得圆心C的坐标为(3,2). 又半径r=|AC|= 13, ?所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.

方法二:设所求圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2.

由已知,得
?(6 ? a) 2 ? (0 ? b) 2 ? r 2, ? 2 2 2 ?(1 ? a) ? (5 ? b) ? r , ?2a ? 7b ? 8 ? 0, ?

?a ? 3, 解得 ?b ? 2, ? ? r 2 ? 13, ?

?所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.

方法三:设所求圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),
? ?36 ? 6D ? F ? 0, ? 则 ?1 ? 25 ? D ? 5E ? F ? 0, ? D E ?2 ? (? ) ? 7 ? (? ) ? 8 ? 0, 2 2 ?

解得:D=-6,E=-4,F=0. ?所求圆的方程为x2+y2-6x-4y=0, 即(x-3)2+(y-2)2=13. 答案:(x-3)2+(y-2)2=13

(3)设经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2

-4F>0),
?D ? ?2, ?1 ? E ? F ? 0, ? ? 则 ?4 ? 1 ? 2D ? E ? F ? 0, 解得 ?E ? ?6, ?F ? 5. ?9 ? 16 ? 3D ? 4E ? F ? 0, ? ?

故经过A,B,C三点的圆的方程为x2+y2-2x-6y+5=0.

即(x-1)2+(y-3)2=5.
把点D的坐标(-1,2)代入上面方程的左边,得(-1-1)2+(2

-3)2=5.所以点D在经过A,B,C三点的圆上,故A,B,C,D四
点在同一个圆上.

【互动探究】若将本例题(2)中条件变为“经过点A(6,0),且

与直线l:2x-3y+13=0相切于点B(1,5)的圆”,结果如何?
【解析】依题设可知,圆心在过切点B(1,5)且与l垂直的直线

上,其斜率为 ? ,所以方程为y-5= ? (x-1),即3x+2y-13=0.
又圆心在AB的垂直平分线x-y-1=0上,

3 2

3 2

由?

?3x ? 2y ? 13 ? 0, 得圆心(3,2). ?x ? y ? 1 ? 0

半径r= ? 3 ? 1?2 ? ? 2 ? 5 ?2 ? 13.

因此所求圆的方程为(x-3)2+(y-2)2=13.

【拓展提升】

1.求圆的方程的两种方法
(1)直接法:根据圆的几何性质,直接求出圆心坐标和半径,

进而写出方程.
(2)待定系数法:

①若已知条件与圆心(a,b)和半径r有关,则设圆的标准方程,
依据已知条件列出关于a,b,r的方程组,从而求出a,b,r的

值;

②若已知条件没有明确给出圆心或半径,则选择圆的一般方程,

依据已知条件列出关于D,E,F的方程组,进而求出D,E,F的
值.

2.确定圆心位置的方法
(1)圆心在过切点且与切线垂直的直线上.

(2)圆心在圆的任意弦的垂直平分线上.
(3)两圆相切时,切点与两圆圆心共线.

【变式备选】求圆心在直线y=-4x上,并且与直线l:x+y-1=0相 切于点P(3,-2)的圆的方程. 【解析】方法一:设圆心C(a,-4a), 由题意得: a ? 4a ? 1 ?
2

? a ? 3? ? ? 4a ? 2 ? ,
2 2

即a2-2a+1=0,解得a=1, ?圆心C(1,-4),r=|PC|=2 2,

?圆的标准方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

方法二:过切点P且与l垂直的直线是 y+2=x-3,即x-y-5=0.
? x ? y ? 5 ? 0, 由? 得圆心(1,-4), ? y ? ?4x

于是r= 2 2 , ?圆的方程为(x-1)2+(y+4)2=8.

考向 2

与圆有关的最值问题

【典例2】(1)(2013·珠海模拟)在圆x2+y2-2x-6y=0内,过点

E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面
积为( )

(A) 5 2

(B)10 2

(C) 15 2

(D) 20 2

(2)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.

①求 y 的最大值和最小值;
x

②求y-x的最大值和最小值;

③求x2+y2的最大值和最小值.

【思路点拨】(1)由图形的几何性质判断并求得最长弦AC和最 短弦BD是关键. (2)充分利用所求代数式的几何意义,运用几何法求解.① y 为
x

点(x,y)与原点连线的斜率.②y-x表示动直线y=x+b在y轴上的 截距;③x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方,也可以消去 一个元,转化为在函数定义域内求最值.

【规范解答】(1)选B.由题意可知,圆的圆心坐标是(1,3), 半径是 10 .且点E(0,1)位于该圆内, 由图形的几何性质得,过点E(0,1)的最短弦是以该点为中点 的弦, ?最短弦长|BD|= 2 10 ? ?12 ? 22 ? ? 2 5, 而过E(0,1)的最长弦长等于该圆的直径,即|AC|= 2 10 ,且 AC⊥BD,? S四边形ABCD ?
1 1 AC BD ? ? 2 10 ? 2 5 ? 10 2. 2 2

(2)①原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心, 3 为半
y 径的圆, 的几何意义为点(x,y)与原点连线的斜率.所以设 y x x

=k,即y=kx,当直线与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此 时
2k ? 0 k2 ?1 ? 3,解得k=〒 3 .所以
y 的最大值为 3 ,最小值为? 3 . x

②y-x可看作直线y=x+b在y轴上的截距.当直线与圆相切时,直 线y=x+b在y轴上的截距取最大值或最小值,此时
2?0?b 2 ? 3,

解得b=-2〒 6.所以y-x的最大值为-2+ 6 ,最小值为-2- 6 .

③方法一:x2+y2表示点(x,y)与原点的距离的平方.由平面几

何知识可知,原点与圆心的连线所在直线与圆的两个交点处取
得最大值或最小值.又圆心到原点的距离为2,

故 (x 2 ? y 2 ) max ? (2 ? 3) 2 ? 7 ? 4 3.
(x 2 ? y 2 ) min ? (2 ? 3) 2 ? 7 ? 4 3.

方法二:由x2+y2-4x+1=0得:y2=-x2+4x-1,且-x2+4x-1≥0, 即 2 ? 3 ? x ? 2 ? 3, ?x2+y2=x2+(-x2+4x-1)=4x-1,

? (x 2 ? y 2 ) max ? 4(2 ? 3) ? 1 ? 7 ? 4 3.
(x 2 ? y 2 ) min ? 4(2 ? 3) ? 1 ? 7 ? 4 3.

【拓展提升】

1.与圆有关的长度或距离最值问题的解法
一般根据长度或距离的几何意义,利用圆的几何性质数形结合 求解. 2.与圆上点(x,y)有关代数式的最值的常见类型及解法 (1)形如 u ? y ? b 型的最值问题,可转化为过点(a,b)和点(x,y)
x ?a

的直线的斜率的最值问题. (2)形如t=ax+by型的最值问题,可转化为动直线的截距的最值

问题.
(3)形如(x-a)2+(y-b)2型的最值问题,可转化为动点到定点的

距离平方的最值问题.

【变式训练】在△OAB中,已知O(0,0),A(8,0),B(0,6), △OAB的内切圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=4,P是圆上一点. (1)求点P到直线l:4x+3y+11=0的距离的最大值和最小值. (2)若S=|PO|2+|PA|2+|PB|2,求S的最大值和最小值.

【解析】(1)由方程(x-2)2+(y-2)2=4得该圆圆心坐标为(2, 2),半径为2, 故圆心(2,2)到直线l的距离为
4 ? 2 ? 3 ? 2 ? 11 3 ?4
2 2

? 5.

由图形的几何性质得,点P到直线l的最大值为5+2=7,最小值 为5-2=3. (2)设P(x,y),则(y-2)2=4-(x-2)2=-x2+4x且-x2+4x≥0,即 0≤x≤4,

?S=|PO|2+|PA|2+|PB|2 =x2+y2+(x-8)2+y2+x2+(y-6)2 =3x2-16x+88+3(y-2)2 =3x2-16x+88+3(-x2+4x) =-4x+88. 又x∈[0,4], ?Smin=-4〓4+88=72, Smax=-4〓0+88=88.

考向 3

与圆有关的轨迹问题

【典例3】(2013·中山模拟)已知P(4,0)是圆x2+y2=36内的一 点,A,B是圆上两动点,且满足∠APB=90°. (1)求AB中点R的轨迹. (2)求矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程.

【思路点拨】(1)寻找到点R满足的等量关系,利用直接法求出
R的轨迹方程,再根据方程判定其轨迹.

(2)利用点Q与R的关系,结合相关点法(代入法)求其轨迹方程.

【规范解答】(1)如图所示,在Rt△ABP中. ≧∠APB=90°,R是弦AB的中点,?AR=PR,
AR ? AO 2 ? OR 2,

即 AO2 ? OR 2 ? PR. 设R(x,y), ?有 36 ? ? x 2 ? y2 ? ? ? x ? 4 ?2 ? y2 . 整理得x2+y2-4x-10=0,即(x-2)2+y2=14,

所以轨迹为以(2,0)为圆心, 14 为半径的圆.

(2)设Q(x,y),R(x1,y1).

≧四边形APBQ为矩形,
?R是PQ的中点.
x?4 ? x ? , 1 ? 2 ?? ? ?y ? y ? 0, 1 ? 2 ?

又点R(x1,y1)在圆x2+y2-4x-10=0上, ?有( x ? 4 ) 2 ? ( y ) 2 ? 4 ? x ? 4 ? 10 ? 0,
2 2 2

整理得x2+y2=56,
即矩形APBQ的顶点Q的轨迹方程为x2+y2=56.

【拓展提升】求与圆有关的轨迹方程的方法

【提醒】注意轨迹与轨迹方程的区别.

【变式训练】已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=9,过点A(2,3)作圆C的
任意弦,求这些弦的中点P的轨迹方程. 【解析】方法一:直接法 设P(x,y),由题意知圆心C(1,1). ≧P点是过点A的弦的中点,? PA ? PC . 又≧ PA =(2-x,3-y), PC =(1-x,1-y), ?(2-x)(1-x)+(3-y)(1-y)=0, ?P点的轨迹方程为 (x ? ) 2 ? ? y ? 2 ? ? .
2

3 2

5 4

方法二:定义法 由已知知,PA⊥PC,?由圆的性质知点P在以AC为直径的圆上, 又圆心C(1,1),而AC中点为(
2 2

5 所以半径为 . AC ? ? 2 ? 1? ? ? 3 ? 1? ? 5,

3 ,2), 2

所求动点P的轨迹方程为 (x ? ) 2 ? ? y ? 2 ? ? .
2

3 2

2

5 4

【满分指导】与圆的方程有关的解答题的规范解答
【典例】(12分)(2013·徐州模拟)已知以点C(t,
2 )(t∈R, t

t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其
中O为原点.

(1)求证:△OAB的面积为定值.
(2)设直线y=-2x+4与圆C交于点M,N,若OM=ON,求圆C的方程.

【思路点拨】

已 知 条 件
圆C过原点O 圆C与x轴交于点A

条 件 分 析
OC2=t2+
4 t2

令y=0,得|OA|

圆C与y轴交于点B
OM=ON

令x=0,得|OB|
得OC垂直平分线段MN

【规范解答】(1)≧圆C过原点O,?OC2=t2+
① 设圆C的方程是 (x ? t) 2 ? (y ? ) 2 ? t 2 ? 2 ,

2 t

4 t

4 . 2 t

????????????????????????2分

令x=0,得y1=0,y2= 4 ,?|OB|=| 4 |;???????3分
t t

令y=0,得x1=0,x2=2t,?|OA|=|2t|,???????4分

?S△OAB = 1 OA ? OB ? 1 ? 2t ? 4 ? 4,
2 2 t

即△OAB的面积为定值.?????????????6分

(2)≧OM=ON,CM=CN,?OC垂直平分线段MN.②???? 8分

≧kMN=-2,?kOC= 1 .
?直线OC的方程是y= 1 x.
2 2

? 2 ? 1 t ,解得t=2或t=-2.③ ????????????9分
t 2

当t=2时④,圆心C的坐标为(2,1),OC ? 5, 此时C到直线y=

-2x+4的距离 d ? 1 < 5, 圆C与直线y=-2x+4相交于两点.?10分
5

当t=-2时④,圆心C的坐标为(-2,-1),OC= 5,此时C到直线

y=-2x+4的距离 d ?

9 > 5. 5

圆C与直线y=-2x+4不相交, ?t=-2不符合题意,舍去.?????????????11分 ?圆C的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.??????????12分

【失分警示】(下文①②③④见规范解答过程)

1.(2013·广州模拟)若直线3x+y+a=0过圆x2+y2+2x-4y=0的圆 心,则a的值为( (A)-1 (B)1 ) (C)3 (D)-3

【解析】选B.由x2+y2+2x-4y=0得(x+1)2+(y-2)2=5,所以该圆 圆心为(-1,2). 又直线3x+y+a=0过(-1,2)点, ?3〓(-1)+2+a=0,解得a=1.

2.(2013·肇庆模拟)圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,2)的 圆的方程为( (A)x2+(y-2)2=1 (C)(x-1)2+(y-3)2=1 ) (B)x2+(y+2)2=1 (D)x2+(y-3)2=1

【解析】选A.设圆心坐标为(0,b),则由题意知 (0 ? 1)2 ? (b ? 2) 2 解得b=2,故圆的方程为x2+(y-2)2=1. ?1 ,

3.(2013·郑州模拟)若圆x2+y2-6x+6y+14=0关于直线l:ax+4y6=0对称,则直线的斜率是( (A)6 (B)
2 3

)
3

(C) ? 2

(D) ? 3
2

【解析】选D.依题意知直线l:ax+4y-6=0经过圆x2+y26x+6y+14=0的圆心(3,-3),所以3a-12-6=0,解得a=6. 所以直线l的方程为6x+4y-6=0. 即3x+2y-3=0,亦即y= ? 3 x+ 3 , 所以直线l的斜率为 ? 3 .
2 2 2

4.(2013·佛山模拟)已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动
点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于 ( (A)π (B)4π (C)8π (D)9π )

【解析】选B.设P(x,y),由题知:(x+2)2+y2=4[(x-1)2+ y2],整理得x2-4x+y2=0,配方得(x-2)2+y2=4.可知圆的面积 为4π.

5.(2013·中山模拟)直线x-2y-2k=0与2x-3y-k=0的交点在圆
x2+y2=9的外部,则k的范围是______.
? x ? 2y ? 2k ? 0, ? x ? ?4k, 【解析】由 ? 得? ?2x ? 3y ? k ? 0, ? y ? ?3k.

又交点在圆x2+y2=9的外部.

?(-4k)2+(-3k)2>9,即25k2>9.
解得k> 3 或k< ? 3 .
3 3 答案:(-≦, ? )∪( ,+≦) 5 5 5 5

1.方程 x ? 1lg ? x 2 ? y2 ? 1? ? 0 所表示的曲线图形是(

)

【解析】选D.方程 x ? 1lg ? x 2 ? y2 ? 1? ? 0 ,即x=1(y≠0),或 x2+y2=2(x≥1),

表示一条直线x=1(去掉点(1,0))以及圆x2+y2=2位于直线x=1
右侧的部分,故D正确.

2.若圆(x-3)2+(y+5)2=r2上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的
距离等于1,则半径r的取值范围是( )

(A)(4,6)
(C)(4,6]

(B)[4,6)
(D)[4,6]

【解析】选A.因为圆心(3,-5)到直线4x-3y-2=0的距离为5,
所以当半径r=4时,圆上有1个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,

当半径r=6时,圆上有3个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1,所
以圆上有且只有两个点到直线4x-3y-2=0的距离等于1时,4<r

<6.


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