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2017年高考数学(人教版文)一轮复习课件第5章 数列5.5


考点一 等差数列与等比数列的综合问题 【典例 1】已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11, a13 成等比数列。 (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2。 解析:(1)设{an}的公差为 d。由题意,得 a2 11=a1a13。 即(a1+10d)2=a1(a1+12d)。于是 d(2a1+25d)=0。 又 a1=25,所以 d=-2 或 0(舍去)。 故 an=-2n+27。 (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等 差数列。 n n 从而 Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n。 2 2 悟· 技法 解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关 系。如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成 等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综 合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清两个数列各 自的特征,再进行求解。 考点二 数列与不等式的综合问题 【典例 2】已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比 数列。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n +800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由。 解析:(1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数 列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4。 当 d=0 时,an=2;当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2,从而得 数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2。 (2)当 an=2 时,Sn=2n。显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立。 n[2+?4n-2?] 当 an=4n-2 时,Sn= =2n2。 2 令 2n2>60n+800, 即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍 去),此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41。 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n;当 an=4n-2 时,存在 满足题意的 n,其最小值为 41。 悟· 技法 数列与不等式相结合问题的处理方法 解决数列与不等式的综合问题时,如果是证明题要灵活选择不等 式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;如果是解不 等式问题要使用不等式的各种不同解法,如列表法、因式分解法、穿 根法等。总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合 处理就行了。 考点三 数列与函数的综合问题 2x+3 【典例 3】(2016· 沈阳模拟)已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 3x ?1? a1=1,an+1=f?a ?,n∈N*。 ? n? (1)求数列{an}的通项公式。 (2)令 Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求 Tn。 m-2 005 1 (3)令 bn= (n≥2), b1=3, Sn=b1+b2+…+bn, 若 Sn< 2 an-1an 对一切 n∈N*成立,求最小正整数 m。 解析:(1)因为 2 所以{an}是以 为公差的等差数列。 3 2 1 又 a1=1,所以 an= n+ 。 3 3 (2)

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