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2017年高考数学(人教版文)一轮复习课件第5章 数列5.5_图文

考点一 等差数列与等比数列的综合问题 【典例 1】已知等差数列{an}的公差不为零,a1=25,且 a1,a11, a13 成等比数列。 (1)求{an}的通项公式; (2)求 a1+a4+a7+…+a3n-2。 解析:(1)设{an}的公差为 d。由题意,得 a2 11=a1a13。 即(a1+10d)2=a1(a1+12d)。于是 d(2a1+25d)=0。 又 a1=25,所以 d=-2 或 0(舍去)。 故 an=-2n+27。 (2)令 Sn=a1+a4+a7+…+a3n-2 由(1)知 a3n-2=-6n+31,故{a3n-2}是首项为 25,公差为-6 的等 差数列。 n n 从而 Sn= (a1+a3n-2)= (-6n+56)=-3n2+28n。 2 2 悟· 技法 解决等差数列与等比数列的综合问题,关键是理清两个数列的关 系。如果同一数列中部分项成等差数列,部分项成等比数列,要把成 等差数列或等比数列的项抽出来单独研究;如果两个数列通过运算综 合在一起,要从分析运算入手,把两个数列分割开,弄清两个数列各 自的特征,再进行求解。 考点二 数列与不等式的综合问题 【典例 2】已知等差数列{an}满足:a1=2,且 a1,a2,a5 成等比 数列。 (1)求数列{an}的通项公式; (2)记 Sn 为数列{an}的前 n 项和,是否存在正整数 n,使得 Sn>60n +800?若存在,求 n 的最小值;若不存在,说明理由。 解析:(1)设数列{an}的公差为 d,依题意,2,2+d,2+4d 成等比数 列,故有(2+d)2=2(2+4d),化简得 d2-4d=0,解得 d=0 或 d=4。 当 d=0 时,an=2;当 d=4 时,an=2+(n-1)· 4=4n-2,从而得 数列{an}的通项公式为 an=2 或 an=4n-2。 (2)当 an=2 时,Sn=2n。显然 2n<60n+800, 此时不存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立。 n[2+?4n-2?] 当 an=4n-2 时,Sn= =2n2。 2 令 2n2>60n+800, 即 n2-30n-400>0, 解得 n>40 或 n<-10(舍 去),此时存在正整数 n,使得 Sn>60n+800 成立,n 的最小值为 41。 综上,当 an=2 时,不存在满足题意的 n;当 an=4n-2 时,存在 满足题意的 n,其最小值为 41。 悟· 技法 数列与不等式相结合问题的处理方法 解决数列与不等式的综合问题时,如果是证明题要灵活选择不等 式的证明方法,如比较法、综合法、分析法、放缩法等;如果是解不 等式问题要使用不等式的各种不同解法,如列表法、因式分解法、穿 根法等。总之解决这类问题把数列和不等式的知识巧妙结合起来综合 处理就行了。 考点三 数列与函数的综合问题 2x+3 【典例 3】(2016· 沈阳模拟)已知函数 f(x)= ,数列{an}满足 3x ?1? a1=1,an+1=f?a ?,n∈N*。 ? n? (1)求数列{an}的通项公式。 (2)令 Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1,求 Tn。 m-2 005 1 (3)令 bn= (n≥2), b1=3, Sn=b1+b2+…+bn, 若 Sn< 2 an-1an 对一切 n∈N*成立,求最小正整数 m。 解析:(1)因为 2 所以{an}是以 为公差的等差数列。 3 2 1 又 a1=1,所以 an= n+ 。 3 3 (2)Tn=a1a2-a2a3+a3a4-a4a5+…-a2na2n+1 =a2(a1-a3)+a4(a3-a5)+…+a2n(a2n-1-a2n+1) 4 =- (a2+a4+…+a2n) 3 ?5 4n 1? n?3+ 3 +3? 4 ? 4 2 ? =- · =- (2n +3n)。 3 2 9 ? 1 ? 2+3an 2 an+1=f?a ?= =an+ , 3 3 ? n? (3)当 n≥2 时, 1 ? 1 1 9? 1 b n= =? = ?2n-1-2n+1?, ? ? ? an-1an 2 1 2 1 2? ? ? n- ?? n+ ? 3??3 3? ?3 1? 9? 又 b1=3= ?1-3?,所以 Sn=b1+b2+…+bn 2? ? 1 1 1 1 1 ? 9? 1 ? 9? = ?1-3+3-5+…+2n-1-2n+1?= ?1-2n+1?, 2? ? 2? ? 1 ? m-2 005 1 ? 9? 9? * 因为 Sn= ?1-2n+1?< 对一切 n∈N 成立且 ?1-2n+1? 2? 2 2? ? ? m-2 005 9 9 < 。所以 ≥ ,即 m≥2 014。 2 2 2 所以最小正整数 m=2 014。 悟· 技法 数列与函数的综合问题的解题策略 (1)已知函数条件, 解决数列问题, 此类问题一般利用函数的性质、 图象研究数列问题。 (2)已知数列条件,解决函数问题,解决此类问题一般要充分利用 数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形。另外,解题时要注意 数列与函数的内在联系,灵活运用函数的思想方法求解,在问题的求 解过程中往往会遇到递推数列,因此掌握递推数列的常见解法有助于 该类问题的解决。 考点四 数列在实际问题中的应用 【典例 4】某企业的资金每一年都比上一年分红后的资金增加一 倍,并且每年年底固定给股东们分红 500 万元。该企业 2010 年年底分 红后的资金为 1 000 万元。 (1)求该企业 2014 年年底分红后的资金; (2)求该企业从哪一年开始年底分红后的资金超过 32 500 万元。 解析:设 an 为(2010+n)年年底分红后的资金, 其中 n∈N*, 则 a1=2×1 000-500=1 500, a2=2×1 500-500=2 500,…, an=2an-1-500(n≥2)。 ∴

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