当前位置:首页 >> 数学 >> (15)定积分与微积分基本定理

(15)定积分与微积分基本定理

课时作业(十五) [第 15 讲 定积分与微积分基本定理]

[时间:35 分钟 基础热身 1. 已知 f(x)为偶函数,且 6 6 ? f(x)dx=8,则? -6f(x)dx=(

分值:80 分]

?0

?

)

A.0 B.4 C.8 D.16 2 ?x ,x∈[0,1], ? 2. 设 f(x)=?1 (其中 e 为自然对数的底数), ?e f(x)dx 的值为( 则 ?0 ,x∈?1,e] ? ?x 4 2 A. B.2 C.1 D. 3 3 3. 若 a=?2x2dx,b=?2x3dx,c=?2sinxdx,则 a、b、c 的大小关系是( )

)

?0

?0

?0

A.a<c<b B.a<b<c C.c<b<a D.c<a<b 4.如图 K15-1,阴影部分的面积是(

)

图 K15-1 A.2 3 B.2- 3 32 C. 3 35 D. 3

能力提升 5.设函数 f(x)=ax2+1,若?1f(x)dx=2,则 a=(

?0

)

A.1 B.2 C.3 D.4 π π 6. 由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y=cosx 所围成的封闭图形的面积为( ) 3 3 1 3 A. B.1 C. D. 3 2 2 7.一物体以 v=9.8t+6.5(单位:m/s)的速度自由下落,则下落后第二个 4 s 内经过的路 程是( ) A.260 m B.258 m C.259 m D.261.2 m 8.若?k (2x-3x2)dx=0,则 k 等于( )

?0

A.0 B.1 C.0 或 1 D.以上均不对 9.如果 10 N 的力能使弹簧压缩 10 cm,为在弹性限度内将弹簧拉长 6 cm,则力所做的 功为( ) A.0.28 J B.0.12 J C.0.26 J D.0.18 J 10. 设函数 y=f(x)的定义域为 R + ,若对于给定的正数 K,定义函数 fK(x)= ?K,f?x?≤K, ? 1 1 ? 则当函数 f(x)= ,K=1 时,定积分?2 fK(x)dx 的值为________. x ?4 ? ?f?x?,f?x?>K,
1

π 11. ∫ 0(sinx+acosx)dx=2,则实数 a=________. 2 12.(13 分)如图 K15-2 所示,已知曲线 C1:y=x2 与曲线 C2:y=-x2+2ax(a>1)交于 点 O、A,直线 x=t(0<t≤1)与曲线 C1、C2 分别相交于点 D、B,连接 OD、DA、AB. (1)写出曲边四边形 ABOD(阴影部分)的面积 S 与 t 的函数关系式 S=f(t); (2)求函数 S=f(t)在区间(0,1]上的最大值.

图 K15-2

难点突破 13.(12 分) 已知二次函数 f(x)=3x2-3x,直线 l1:x=2 和 l2:y=3tx(其中 t 为常数, 且 0<t<1),直线 l2 与函数 f(x)的图象以及直线 l1、l2 与函数 f(x)的图象所围成的封闭图形如 图 K15-3,设这两个阴影区域的面积之和为 S(t). (1)求函数 S(t)的解析式; (2)定义函数 h(x)=S(x), x∈R.若过点 A(1, m)(m≠4)可作曲线 y=h(x)(x∈R)的三条切线, 求实数 m 的取值范围.

图 K15-3

2

课时作业(十五) 【基础热身】 1.D [解析] ?6-6f(x)dx=2?6f(x)dx=2×8=16. ? ?
0

2.A [解析] 根据积分的运算法则,可知∫e f(x)dx 可以分为两段, 即∫e f(x)dx=?1x2dx 0 0 1 1 1 4 +∫e dx= x3? +lnx? = +1= ,所以选 A. 1 ?1 3 x 3 ?0 3 2 1 3?2 8 1 2 3.D [解析] a=?2x2dx= x ? = ,b=?2x3dx= x4? =4,c=?2sinxdx=-cosx? ?0 3 0 3 4 ?0 ? ? ?
0 0 0 1 e

?0

=1-cos2<2, ∴c<a<b.
1 1 3 32 2 4.C [解析] ?1-3(3-x2-2x)dx=?3x-3x -x ?? = . ? ??-3 3 ? 【能力提升】 1 ax3 a 5.C [解析] ?1f(x)dx=?1(ax2+1)dx= +x? = +1=2,解得 a=3. ?0 3 3 ? ?

π π 6.D [解析] 根据定积分的相关知识可得到:由直线 x=- ,x= ,y=0 与曲线 y= 3 3 cosx 所围成的封闭图形的面积为: π π S=∫ - cosx dx=sinx错误!=sin错误!-sin错误!=错误!, 3 3 故选 D. 7.D [解析] ?8(9.8t+6.5)dt=(4.9t2+6.5t)? =4.9×64+6.5×8-4.9×16-6.5×4= ?4 ?
4 8

0

0

313.6+52-78.4-26=261.2. 8.C =1. [解析] 由 F(x)=kx,得 k=100,F(x)=100x,W=∫0 100xdx=0.18(J). 1 1, ≤1, x 1 11 10.2ln2+1 [解析] 由题设 f1(x)= 于是定积分?2 f1(x)dx=?1 dx+?2 ?4 ? 4x 1 1 ?1 , >1, x x 9.D
0.06

[解析] ?k (2x-3x2)dx=?k 2xdx-?k 3x2dx=x2? -x3? =k2-k3=0,∴k=0 或 k ?0 ?0 ? ? ?
0 0 0

k

k

? ? ?

1dx=lnx

?11+x ?4

?2=2ln2+1. ?1

π 11.1 [解析] ∫ 0(sinx+acosx)dx=(asinx-cosx)错误!=错误!-asin0+cos0=a+1= 2 2,∴a=1. 2 ? ? ? ?y=x , ?x=0, ?x=a, 12.[解答] (1)由? 解得? 或? 2 2 ?y=-x +2ax, ?y=0 ?y=a . ? ? ? ∴O(0,0),A(a,a2).又由已知得 B(t,-t2+2at),D(t,t2), 1 1 ∴S=?t (-x2+2ax)dx- t×t2+ (-t2+2at-t2)×(a-t) 2 2 ?
0 t 1 3 1 2 =?-3x +ax ?? - t3+(-t2+at)×(a-t) ? ??0 2 1 1 1 =- t3+at2- t3+t3-2at2+a2t= t3-at2+a2t. 3 2 6 1 故 S=f(t)= t3-at2+a2t(0<t≤1). 6

3

1 (2)f′(t)= t2-2at+a2, 2 1 令 f′(t)=0,即 t2-2at+a2=0, 2 解得 t=(2- 2)a 或 t=(2+ 2)a. ∵0<t≤1,a>1,∴t=(2+ 2)a 应舍去. 2+ 2 1 ①若(2- 2)a≥1,即 a≥ = , 2 2- 2 1 ∵0<t≤1,∴f′(t)≥0.∴f(t)在区间(0,1]上单调递增,S 的最大值是 f(1)=a2-a+ . 6 2+ 2 ②若(2- 2)a<1,即 1<a< , 2 (i)当 0<t<(2- 2)a 时,f′(t)>0, (ii)当(2- 2)a<t≤1 时,f′(t)<0. ∴f(t)在区间(0,(2- 2)a)上单调递增,在区间[(2- 2)a,1]上单调递减.∴f(t)的最大 2 2-2 3 1 值是 f((2- 2)a)= [(2- 2)a]3-a[(2- 2)a]2+a2(2- 2)a= a. 6 3

综上所述 f(t)max

?a -a+1?a≥2+ 2?, ? 6? ? 2 ? ? =? 2 2-2 ? 2+ 2? ? ? 3 a ?1<a< 2 ?. ? ?
2 3

【难点突破】
2 ? ?y=3x -3x, 13.[解答] (1)由? 得 x2-(t+1)x=0, ? ?y=3tx

所以 x1=0,x2=t+1. 所以直线 l2 与 f(x)的图象的交点的横坐标分别为 0,t+1. 因为 0<t<1,所以 1<t+1<2. + 所以 S(t)=∫t0 1[3tx-(3x2-3x)]dx+?2t+1[(3x2-3x)-3tx]dx

?

3?t+1? 2 ? 3 3?t+1? 2??2 3??t+1 = ? ? 2 x -x ??0 + ?x - 2 x ??t+1 =(t+1)3-6t+2. (2)依据定义,h(x)=(x+1)3-6x+2,x∈R, 则 h′(x)=3(x+1)2-6. 因为 m≠4,则点 A(1,m)不在曲线 y=h(x)上. 过点 A 作曲线 y=h(x)的切线,设切点为 M(x0,y0), ?x0+1?3-6x0+2-m 2 则 3(x0+1) -6= , x0-1 3 化简整理得 2x0-6x0+m=0,其有三个不等实根. 3 设 g(x0)=2x0-6x0+m,则 g′(x0)=6x2-6. 0 由 g′(x0)>0,得 x0>1 或 x0<-1; 由 g′(x0)<0,得-1<x0<1, 所以 g(x0)在区间(-∞,-1),(1,+∞)上单调递增,在(-1,1)上单调递减, 所以当 x0=-1 时,函数 g(x0)取极大值; 当 x0=1 时,函数 g(x0)取极小值. ? ?g?-1?>0, 因此,关于 x0 的方程 2x3-6x0+m=0 有三个不等实根的充要条件是? 即 0 ?g?1?<0, ?

4

?m+4>0, ? ? 即-4<m<4. ? ?m-4<0,

故实数 m 的取值范围是(-4,4).

5


友情链接:学习资料共享网 | 兰溪范文 | 伤城文章网 | 酷我资料网 | 省心范文网 | 海文库
| 夏兰阅读之家 | 湛芳阅读吧 | 芸芸聚合阅读网 | 小雨中文吧 | 采莲中文阅读平台 | 晏然中文看书网 | 浩慨阅读小屋网 | 碧菡阅读平台 | 采南中文网 | 星星小说阅读网 | 子怀平台 | 霞姝中文阅读之家 | 妞妞阅读吧 | 密思阅读家 | 希月阅读吧 | 海女中文阅读吧 | 俊迈中文阅读网 | 婉秀中文网 | 湘君看书网 | 隽雅阅读网 | 希彤阅读之家 | 阳煦阅读吧323 324 325 326 327 328 329 330 331 332 333 334 335 336 337 338 339 340 341 342 343 344 345 346 347 348 349 350 351 352 353 354 355 356 357 358 359 360 361 362 363 364 365 366 367 368 369 370 371 372 373 374 375 376 377 378 379 380 381 382 383 384 385 386 387 388 389 390 391 392 393 394 395 396 397 398 399 400 401 402 403 404 405 406 407 408 409 410 411 412 413 414 415 416 417 418 419 420 421 422 423 424 425 426 427 428 429 430 431 432 433 434 435 436 437 438 439 440 441 442 443 444 445 446 447 448 449 450 451 452 453 454 455 456 457 458 459 460 461 462 463 464 465 466 467 468 469 470 471 472 473 474 475 476 477 478 479 480 481 482 483 484 485 486 487 488 489 490 491 492 493 494 495 496 497 498 499 500 501 502 503 504 505 506 507 508 509 510 511 512 513 514 515 516 517 518 519 520 521 522 523 524 525 526 527 528 529 530 531 532 533 534 535 536 537 538 539 540 541 542 543 544 545 546 547 548 549 550 551 552 553 554 555 556 557 558 559 560 561 562 563 564 565 566 567 568 569 570 571 572 573 574 575 576 577 578 579 580 581 582 583 584 585 586 587 588 589 590 591 592 593 594 595 596 597 598 599 600 601 602 603 604 605 606 607 608 609 610 644
网站地图

文档资料共享网 nexoncn.com copyright ©right 2010-2020。
文档资料共享网内容来自网络,如有侵犯请联系客服。email:3088529994@qq.com