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数学直线与平面垂直的判定导学案


编写:蔡园园

审核:李守志

§2.3.1 直线与平面垂直的判定 一、学习目标 1. 理解直线与平面垂直的定义; 2. 掌握直线与平面垂直的判定定理及其应用; 二、自主学习 探究一: 探究 1:直线和平面垂直的概念 问题:如图 10-2,将三角板直立起来,并且让它的一条直角边 BC 落在桌面上,观 察 AB 边与桌面的位置关系呈什么状态?绕着 AB 边转动三角板,边 AB 与 BC 始终垂 直吗?在转动的过程中,把 BC 看作桌面上不同的直线,你能得出什么结论吗?

新知 1:如果直线 l 与平面 ? 内的任意一条直线都垂直,就说直线 l 与平面 ? 互相垂 直,记做 l ? ? . l 叫做垂线, ? 叫垂面,它们的交点 P 叫垂足.如图 10-3 所示.

图 10-3 反思:⑴如果直线与平面内无数条直线都垂直,那么它和这个平面垂直吗? ⑵用定义证明直线和平面垂直好证吗?你感觉难在哪里? 探究 2:直线与平面垂直的判定定理 问题:如图 10-4,将一块三角形纸片 ABC 沿折痕 AD 折起,将翻折后的纸片竖起放 置在桌面上( BD, DC 与桌面接触).观察折痕 AD 与桌面的位置关系.如何翻折才能使 折痕 AD 与桌面垂直呢?

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图 10-4 结论:

图 10-5 反思:⑴折痕 AD 与桌面上的一条直线垂直时,能判断 AD 垂直于桌面吗? ⑵如图 10-5,当折痕 AD ? BC 时,翻折后 AD ? ? ,即 AD ? CD, AD ? BD .由此你能得出什 么结论?

新知 2:直线和平面垂直的判定定理 垂直,则该直线与此平面垂直.

一条直线与一个平面内的两条相交直线都

探究 3:直线与平面所成的角 新知 3:如图 10-6,直线 PA 和平面 ? 相交但不垂直, PA 叫做平面的斜线, PA 和平 面的交点 A 叫斜足; PO ? ? , AO 叫做斜线 PA 在平面 ? 上的射影.平面的一条斜线和 它在平面上的射影所成的锐角,叫这条直线和平面所成的角.

图 10-6 直线垂直于平面,则它们所成的角是直角;直线和平面平行或在平面内,则它们 所成的角是 0 °角.

典型例题 例 1 如图 10-7,已知 a ∥ b , a ? ? ,求证: b ? a .

图 10-7

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例 2 如图 10-8,在正方体中,求直线 A?B 和平面 A?B?CD 所成的角.

图 10-8

例 3 如图,AB 为平面α 的一条斜线,B 为斜足,AO⊥平面α ,垂足为 O,直线 BC 在平面α 内,已知∠ABC=60°,∠OBC=45°,求斜线 AB 和平面α 所成的角.

A A

B B D D

O O C C

α α

动手试试 练 1. 如图 10-9,在三棱锥中, VA ? VC, AB ? BC , 求证: VB ? AC .

练 2. 如图 10-10,在 Rt ?BMC 中,斜边 BM ? 5 ,其射影 AB ? 4 ,?MBC ? 60 °,求 MC 与 平面 CAB 所成角的正弦值.
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当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 直线 l 和平面 ? 内两条直线都垂直,则 l 与平面 ? 的位置关系是( A.垂直 B.平行 C.相交但不垂直 D.都有可能 2. 已知直线 a, b 和平面 ? ,下列错误的是(
a ??? ??a ?b b ??? a ? b? C. ? ? a ∥? 或 a ?? b ???

).

).

A.

a / /b ? ??b ?? a ??? a / /? ? D. ?? a∥b b ???

B.

3. a, b 是异面直线,那么经过 b 的所有平面( ). A.只有一个平面与 ? 平行 B.有无数个平面与 ? 平行 C.只有一个平面与 ? 垂直 D.有无数个平面与 ? 垂直 4. 两 条 直 线 和 一 个 平 面 所 成 的 角 相 等 , 则 这 两 条 直 线 的 位 置 关 系 是 ________________. 5. 若平面 ? ∥平面 ? ,直线 a ? ? ,则 a 与 ? _____.
6. 如图 10-11,在正方体中, O 是底面的中心, B?H ? D?O , H 为垂足,求证: B?H ? 面 AD?C .

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§2.3.2 平面与平面垂直的判定 学习目标 1. 理解二面角的有关概念, 会作二面角的平面角, 能求简单二面角平面角的大小; 2. 理解面面垂直的定义,掌握面面垂直的判定定理,初步学会用定理证明垂直关 系; 3. 熟悉线线垂直、线面垂直的转化. 一、自主学习: (预习教材 P67~ P69,找出疑惑之处) 复习 1:⑴若直线垂直于平面,则这条直线________平面内的任何直线; ⑵直线与平面垂直的判定定理为_________________________________________ ___________________________________. 复习 2:⑴什么是直线与平面所成的角?

⑵直线与平面所成的角的范围为_______________. 二、新课导学 探究 1:二面角的有关概念

图 11-1 问题:上图中,水坝面与水平面、卫星轨道平面与地球赤道平面都有一定的角度. 这两个角度的共同特征是什么? 新知 1:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二 面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图 11-2 中的二面角可记作:二面角 ? ? AB ? ? 或 ? ? l ? ? 或 P ? AB ? Q .

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问题:二面角的大小怎么确定呢?

新知 2:如图 11-3,在二面角 ? ? l ? ? 的棱 l 上任取一点 O ,以点 O 为垂足,在半平 面 ? 和 ? 内分别作垂直于棱 l 的射线 OA, OB ,则射线 OA 和 OB 构成的 ?AOB 叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫直二面角.

反思: ⑴两个平面相交,构成几个二面角?它们的平面角的大小有什么关系? ⑵你觉的二面角的大小范围是多少? ⑶二面角平面角的大小和 O 点的选择有关吗?除了以上的作法,二面角的平面角 还能怎么作?

探究 2:平面与平面垂直的判定 问题:教室的墙给人以垂直于地面的形象,想一想教室相邻的两个墙面与地面可 以构成几个二面角?它们的大小是多少?

新知 3:两个平面所成二面角是直二面角,则这两个平面互相垂直.如图 11-4, ? 垂直 ? ,记作 ? ? ? .

问题:除了定义,你还能想出什么方法判定两个平面垂直呢?

新知 4:两个平面垂直的判定定理 面垂直. 反思:定理的实质是什么?

一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平

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典型例题 例 1 如图 11-5, AB 是⊙ O 的直径, PA 垂直于⊙ O 所在的平面, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点,求证:平面 PAC ? 平面 PBC .

图 11-5

例 2 如图 11-6,在正方体中,求面 A?D?CB 与面 ABCD 所成二面角的大小(取锐角).

小结:求二面角的关键是作出二面角的平面角. 动手试试 练. 如图 11-7,在空间四边形 SABC 中, ?ASC =90°, ?ASB ? BSC ? 60 °, SA ? SB ? SC , ⑴求证:平面 ASC ? 平面 ABC . ⑵求二面角 S ? AB ? C 的平面角的正弦值.

三、总结提升 学习小结 1. 二面角的有关概念,二面角的求法;

2. 两个平面垂直的判定定理及应用. 当堂检测(时量:5 分钟 满分:10 分)计分: 1. 以下四个命题,正确的是( ). A.两个平面所成的二面角只有一个
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B.两个相交平面组成的图形叫做二面角 C.二面角的平面角是这两个面中直线所成的角中最小的一个 D.二面角的大小和其平面角的顶点在棱上的位置无关 2. 对于直线 m, n ,平面 ? , ? ,能得出 ? ? ? 的一个条件是( ). A. m ? n, m / /? , n / / ? B. m ? n,? ? ? ? m, n ? ? C. m / / n, n ? ? , m ? ? D. m / / n, m ? ? , n ? ? 3. 在正方体 ABCD? A B C D 1 1 1 1 1中,过 A, C, D 的平面与过 D, B , B 的平面的位置关系是 ( ). A.相交不垂直 B.相交成 60°角 C.互相垂直 D.互相平行 4. 二面角的大小范围是________________. 5. 若平面内的一条直线和这个平面的一条斜线的射影垂直, 则它和这条斜线的位 置关系为_______. 课后作业 1. 如图 11-8,在正方体中, E , F 是棱 A?B? 与 D?C ? 的中点,求面 EFCB 与面 ABCD 所成 二面角的正切值.(取锐角)

图 11-8

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