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函数的奇偶性知识点总结及练习

2.4 函数的奇偶性
学习目标: 1.了解函数奇偶性、周期性的含义. 2.会判断奇偶性,会求函数的周期. 3.会做有关函数单调性、奇偶性、周期性的综合问题. 重点难点:函数奇偶性和周期性的应用 一、知识要点 1、函数奇偶性定义: 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称 f(x)为奇函数; 如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数; 如果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)既不是奇函数也不是偶函数; 如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x)既是奇函数,又是偶函数.

2、函数奇偶性的判定方法:定义法、图像法 (1)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤: ①首先确定函数的定义域是否关于原点对称; ②确定 f(-x)与 f(x)的关系; ③作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x)是偶函数; 若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. ② 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; ②由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,定义域关于原点对 称. (2)利用图像判断函数奇偶性的方法: 图像关于原点对称的函数为奇函数,图像关于 y 轴对称的函数为偶函数.

3、函数奇偶性的性质: 奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性;偶函数在对称的单调区间内有相反的单调 性.
1

二、例题精讲 题型 1: 函数奇偶性的判定 1.判断下列函数的奇偶性: ①

f ( x) ? ( x ? 1)

1? x , 1? x

② f (x ) ? 9 ? x 2 ,

2 ? ? x ? x ( x ? 0) ③ f ( x) ? ? 2 ? ? x ? x ( x ? 0)

④ f ( x) ?

x2 ?1 1 ? x 2

变式:设函数 f(x)在(-∞,+∞)内有定义,下列函数: ① y=-|f(x)|; ②y=xf(x ) ; 必为奇函数的有_
2

③y=-f(-x) ;

④y=f(x)-f(-x) .

__(要求填写正确答案的序号)

题型 2: 函数奇偶性的证明 1.已知函数 f(x),当 x,y∈R 时,恒有 f(x+y)=f(x)+f(y).求证:f(x)是奇函数.

2

题型 3: 函数奇偶性的应用 1.设定义在[-2,2]上的偶函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(1-m)<f(m),求实数 m 的取值 范围.

变式 1:已知函数 f ( x ) 是偶函数,而且在 (0, ??) 上是减函数,判断 f ( x ) 在 (??, 0) 上是增 函数还是减函数

变式 2:函数 y ? f ( x) 是 R 上的偶函数,且在 (??, 0] 上是增函数,若 f (a) ? f (2) ,则实数

a 的取值范围是

三、巩固练习 1.已知函数 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,则下列函数中是奇函数的是 ①y=f(|x|); ②y=f(-x);
2

. ④y=f(x)+x. .

③y=x·f(x);

2.设函数若函数 f ( x) ? (k ? 2) x ? (k ?1) x ? 3 是偶函数,则 f ( x) 的递减区间是 3.已知 y=f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≥0 时,f(x)=x -2x,则在 x<0 上 f(x)的表达 式为
5 3
2

. . . .

4.设 f(x)=ax +bx +cx-5(a,b,c 是常数)且 f (?7) ? 7 ,则 f(7)= 5.若函数 f ( x) ? 2 x ? b 的图象关于原点对称,则实数 b 应满足的条件是 6.已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? 1 ,常数 a 、 b ? R ,且 f (4) ? 0 ,则 f (?4) ?
3

7. y ? f ( x) 在 ? ??,0 ? 内为减函数,又 f ( x) 为偶函数,则 f (?3) 与 f (2.5) 的大小关系 为 .

3

8.已知函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 是定义在 ?2a,1 ? a ? 上的偶函数,则 a ?



b ? ________ .
9.已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2x ,则 f (1) ? 10.判断下列函数的奇偶性
3 ①y ? x ?



1 ; x

②y ?

2x ? 1 ? 1 ? 2x ;

③y ? x 4 ? x ;

11.已知函数 y ? f ( x) 是定义在实数集 R 上的偶函数,当 x ? 0 时, f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 . (1)写出函数 y ? f ( x) 的表达式; (3)指出函数的单调区间及单调性. (2)作出 y ? f ( x) 的图象; (4)求函数的最值.

4


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