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2018学年数学人教A版选修1-1优化练习:2.2 2.2.2 双曲线的简单几何性质


[课时作业] [A 组 基础巩固] x2 y2 1.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( a b A.y=± 2x C.y=± 2 x 2 3.∴a= B.y=± 2x 1 D.y=± x 2 b 2 2,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 y=± x. a 2 ) 解析:由题意得 b=1,c= 答案:C 2.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 ) x2 y2 解析:将双曲线 2x2-y2=8 化成标准方程 - =1,则 a2=4,所以实轴长 2a=4. 4 8 答案:C 3.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( 1 1 A.- B.-4 C.4 D. 4 4 解析:∵方程 mx2+y2=1 表示双曲线, x2 ∴m<0.将方程化为标准方程为 y2- =1. 1 - m 1 则 a2=1,b2=- . m ∵双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍, ∴可知 b=2a, 1 1 ∴b2=4a2,∴- =4,∴m=- . m 4 答案:A 4.中心在原点,实轴在 x 轴上,一个焦点在直线 3x-4y+12=0 上的等轴双曲线方程是( A.x2-y2=8 C. y2-x2=8 解析:令 y=0,则 x=-4,即 c=4, 又 c2=a2+b2,a=b,∴c2=2a2,a2=8. 答案:A 5.(2015· 高考全国卷Ⅱ)已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角 为 120° ,则 E 的离心率为( ) B.x2-y2=4 D.y2-x2=4 ) ) A. 5 C. 3 B .2 D. 2 x2 y2 解析:不妨取点 M 在第一象限,如图所示,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则|BM|=|AB|=2a,∠ a b MBx=180° -120° =60° , ∴M 点的坐标为 2a, 3a . 4a2 3a2 ∵M 点在双曲线上,∴ 2 - 2 =1,a=b, a b c ∴c= 2a,e= = 2.故选 D. a 答案:D x2 6.(2015· 高考北京卷)已知双曲线 2-y2=1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=________. a x2 x 1 解析:双曲线 2-y2=1 的渐近线为 y=± ,已知一条渐近线为 3x+y=0,即 y=- 3x,因为 a>0,所以 = a a a 3,所以 a= 答案: 3 3 3 . 3 ( ) x2 y2 7.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M,N 两点,以 MN 为直径的 a b 圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为________. b2 解析:由题意知,a+c= ,即 a 2+ac=c2-a2, a ∴c2-ac-2a2=0,∴e2-e-2=0,解得 e=2 或 e=-1(舍去). 答案:2 x2 y2 8.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1,则双曲线 C a b 的方程为________. c 解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为 c-a=1,又 e= =2,两式联立得 a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4- a 1=3, y2 ∴方程为 x2- =1. 3 y2 答案:x2- =1 3 x2 y2 x2 y2 9.已知椭圆 2+ 2=1 和

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