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2018学年数学人教A版选修1-1优化练习:2.2 2.2.2 双曲线的简单几何性质

[课时作业] [A 组 基础巩固] x2 y2 1.设双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的虚轴长为 2,焦距为 2 3,则双曲线的渐近线方程为( a b A.y=± 2x C.y=± 2 x 2 3.∴a= B.y=± 2x 1 D.y=± x 2 b 2 2,∴双曲线的渐近线方程为 y=± x,即 y=± x. a 2 ) 解析:由题意得 b=1,c= 答案:C 2.双曲线 2x2-y2=8 的实轴长是( A.2 B.2 2 C.4 D.4 2 ) x2 y2 解析:将双曲线 2x2-y2=8 化成标准方程 - =1,则 a2=4,所以实轴长 2a=4. 4 8 答案:C 3.双曲线 mx2+y2=1 的虚轴长是实轴长的 2 倍,则 m 等于( 1 1 A.- B.-4 C.4 D. 4 4 解析:∵方程 mx2+y2=1 表示双曲线, x2 ∴m<0.将方程化为标准方程为 y2- =1. 1 - m 1 则 a2=1,b2=- . m ∵双曲线的虚轴长是实轴长的 2 倍, ∴可知 b=2a, 1 1 ∴b2=4a2,∴- =4,∴m=- . m 4 答案:A 4.中心在原点,实轴在 x 轴上,一个焦点在直线 3x-4y+12=0 上的等轴双曲线方程是( A.x2-y2=8 C. y2-x2=8 解析:令 y=0,则 x=-4,即 c=4, 又 c2=a2+b2,a=b,∴c2=2a2,a2=8. 答案:A 5.(2015· 高考全国卷Ⅱ)已知 A,B 为双曲线 E 的左、右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三角形,且顶角 为 120° ,则 E 的离心率为( ) B.x2-y2=4 D.y2-x2=4 ) ) A. 5 C. 3 B .2 D. 2 x2 y2 解析:不妨取点 M 在第一象限,如图所示,设双曲线方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则|BM|=|AB|=2a,∠ a b MBx=180° -120° =60° , ∴M 点的坐标为 2a, 3a . 4a2 3a2 ∵M 点在双曲线上,∴ 2 - 2 =1,a=b, a b c ∴c= 2a,e= = 2.故选 D. a 答案:D x2 6.(2015· 高考北京卷)已知双曲线 2-y2=1(a>0)的一条渐近线为 3x+y=0,则 a=________. a x2 x 1 解析:双曲线 2-y2=1 的渐近线为 y=± ,已知一条渐近线为 3x+y=0,即 y=- 3x,因为 a>0,所以 = a a a 3,所以 a= 答案: 3 3 3 . 3 ( ) x2 y2 7.过双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线相交于 M,N 两点,以 MN 为直径的 a b 圆恰好过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为________. b2 解析:由题意知,a+c= ,即 a 2+ac=c2-a2, a ∴c2-ac-2a2=0,∴e2-e-2=0,解得 e=2 或 e=-1(舍去). 答案:2 x2 y2 8.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率 e=2,且它的一个顶点到较近焦点的距离为 1,则双曲线 C a b 的方程为________. c 解析:双曲线中,顶点与较近焦点距离为 c-a=1,又 e= =2,两式联立得 a=1,c=2,∴b2=c2-a2=4- a 1=3, y2 ∴方程为 x2- =1. 3 y2 答案:x2- =1 3 x2 y2 x2 y2 9.已知椭圆 2+ 2=1 和双曲线 2- 2=1 有公共的焦点,求双曲线的渐近线方程及离心率. 3m 5n 2m 3n 解析:由双曲线方程判断出公共焦点在 x 轴上, 所以椭圆的右焦点坐标为( 3m2-5n2,0), 双曲线的右焦点坐标为( 2m2+3n2,0), 所以 3m2-5n2=2m2+3n2,所以 m2=8n2, 即|m|=2 2|n|, 6|n| 3 所以双曲线的渐近线方程为 y=± x,y=± x. 2|m| 4 离心率 e= 2m2+3n2 19 19 = ,e= . 4 4 2|m| x2 y2 10.设 A,B 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右顶点,双曲线的实轴长为 4 3,焦点到渐近线的距 a b 离为 3. (1)求双曲线的方程; (2)已知直线 y= 3 → → → x-2 与双曲线的右支交于 M、N 两点,且在双曲线的右支上存在点 D,使OM+ON=tOD, 3 求 t 的值及点 D 的坐标. 解析:(1)由题意知 a=2 3, b ∴一条渐近线为 y= x, 2 3 即 bx-2 3y=0,∴ |bc| b2+12 = 3, x2 y2 ∴b2=3,∴双曲线的方程为 - =1. 12 3 (2)设 M(x1,y1),N(x2,y2),D(x0,y0), 则 x1+x2=tx0,y1+y2=ty0, 将直线方程代入双曲线方程得 x2-16 3x+84=0, 则 x1+x2=16 3,y1+y2=12, 4 3 = , ?x y 3 ∴? x y ?12- 3 =1, 0 0 2 0 2 0 ∴? ? ?x0=4 3, ? ?y0=3, ∴t=4,点 D 的坐标为(4 3,3). [B 组 能力提升] x y2 1.(2016· 高考全国Ⅰ卷)已知方程 2 - 2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n m +n 3m -n 的取值范围是( A.(-1,3) C.(0,3) ) B. (-1, 3) D.(0, 3) 2 解析:根据双曲线的焦距,建立关于 n 的不等式组求解. ?m2+n>0, ? 若双曲线的焦点在 x 轴上,则? ?3m2-n>0. ? 又∵(m2+n)+(3m2-n)=4, ?1+n>0, ? ∴m2=1,∴? ? ?3-n>0, ∴-1<n<3. 若双曲线的焦点在 y 轴上,则

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