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中职数学7. 3向量的坐标表示及其运算


教案
授课教师: 课程 名称 授课 班级 使用 教材 数学 课题 名称 授课 日期 上海教育出版社 数学 第二册 2016 年 1 月第 1 版 知识、技能、态度目标: 知识目标:

7. 3 向量的坐标表示及其运算
教学 时数 2

1. 理解向量的坐标表示、位置向量的概念. 2. 理解并掌握平面上两点确定向 量的坐标表示,并会求相应的模. 3. 已知两向量的坐标,会进行数乘、加减法 运算. 4. 理解用向量的方法求两点所确定的线段的中点坐标. 5.进一步理解位
教 学 目 标

置向量的意义,会求其单位向量.6.理解两个非零向量平行的概念,掌握 =
的含义. 能力目标:

1.通过具体问题的学习,坐标平面内点与向量的类比,培养学生类比的思维方 式.2.通过对两平行向量坐标运算的推导,培养学生的演译和归纳的能力.
态度目标:

让学生在探索中体验探究问题的艰辛,体会成功的乐趣,培养学生锲而不舍 的学习精神,以及团队合作的精神.
教 学 重 点 与 难 点 教 学 场 景 设 计

教学重点:平面上两点确定向量的坐标表示,并会求相应的模. 两点所确定的 线段的中点坐标公式 教学难点:已知向量的坐标,会相应的数乘、加减法运算. 两向量的平行

引导式教学、任务引领相结合

教 学 资 源

教材、计算机、投影仪

1

教学步骤与内容

教学组 织形式 教师提 问

教学方 法 谈话法

达成目标 通过实例导 入问题

【双基讲解】
1.向量的坐标表示: 在平面直角坐标系中, 以原点为始点, 点 P 为终 点的向量 错误! 未找到引用源。 叫做点的位置向量. 在平面直角坐标系内,方向与 x 轴和 y 轴正方 向相同的两个单位向量叫做基本单位向量,分别记为 错误!未找到引用源。 和错误!未找到引用源。 如 图:设点 P 的坐标为错误!未找到引用源。 ,它在错 误!未找到引用源。轴上的射影为错误!未找到引用 源。 ,在错误!未找到引用源。轴上的射影为错误! 未找到引用源。

教师讲 解

讲授法

教 学 活 动 流 程

错误!未找到引用源。 , 源。 , 错误!未找到引用源。 所以错误!未找到引用源。

错误!未找到引用 ,

我们把有序实数对 错误!未找到引用源。叫做向 量 错误!未找到引用源。的坐标,记作 错误!未找 到引用源。 【示范例题】 例。写出平面直角坐标系中下列各点的位置向量: (1) A(,?) ; (2) B(,?(3) C(?,) . 集体教 学 演示法 应用知识领 会实践方法

【双基讲解】
在平面直角坐标系内, 设点错误! 未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。 向量错误!未找到引用源。 如何用坐标来表示?

2

如图: 由向量的减法,可得:错误!未找到引用源。=错 误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。 , 即 用源。 2. 向量错误!未找到引用源。的模: 由于向量的模就是向量的大小,即点错误!未找到引 用源。之间的距离. 所以向量错误!未找到引用源。 . 教师讲 解 谈话法 错误!未找到引用源。 错误!未找到引

的模为错误!未找到引用源。

若 = (,), 则错误!未找到引用源。

【示范例题】
例.平面直角坐标系中,已知点,的坐标分别为(, ?),(,),求向量错误!未找到引用源。和错误! 未找到引用源。的坐标及错误!未找到引用源。的模. 解 错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 . |错误!未找到引用源。 |=错误!未找到引用 源。 .

【双基讲解】
向量的坐标运算: 提问:已知 =错误!未找到引用源。你能得出 错误!未找到引用源。 的坐标吗?如图

3



错误!未找到引用
由于错误!未找到引用源。 ,

源。
源。 即

所以,错误!未找到引用源。=错误!未找到引用

错误!未找到引用源。

类似地 错误!未找到引用源。 这就是说, 两个向量和与差的坐标分别等于这两个 向量相应坐标的和与差. 已知 错误! 未找到引用源。 和实数 错 误!未找到引用源。 ,那么错误!未找到引 用源。 这就是说, 实数与向量的积的坐标等于这个实数乘 以原来向量的相应坐标. 学生回 答 问答法

【示范例题】
例.已知向量错误!未找到引用源。 ,求向量错误!未 找到引用源。和错误!未找到引用源。的坐标

【双基讲解】
中点坐标公式: 如图,点错误!未找到引用源。的坐标分别为错 误!未找到引用源。 ,点错误!未找到引用源。是线 段错误!未找到引用源。的中点,

由错误!未找到引用源。以及 错误!未找到引用 源。 错误!未找到引用源。 可得 错误!未找到引用源。
4

由此可知,线段错误!未找到引用源。的中点错 误!未找到引用源。的坐标为错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。

【示范例题】
例 . 在平面直角坐标系中,已知三角形的三个顶点 A(?,), B (,),C (,),边 BC 的中点为 D. 求向量错误!未找到引用源。的坐标及错误!未 找到引用源。的模. 解 设 BC 的中点 D 的坐标为错误!未找到引用源。 则 引用源。 用源。 所以 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 巩固练习 1. 写出并作出平面直角坐标系中下列各点的位置向 量: 错误!未找到引用源。 引用源。 2.平面直角坐标系中,已知点 A,B 两点的坐标,写出 它们的位置向量错误!未找到引用源。 ,并求向量错 误!未找到引用源。的坐标及错误!未找到引用源。 的模. 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 错误!未找到 错误!未找到引用源。 即 错误!未找到

错误!未找到引用源。 错误!未找到引

3.已知向量错误! 未找到引用源。 , 求向量错误! 未找到引用源。和错误!未找到引用源。的坐 标. 【双基讲解】
知识回顾 1 点 P 的位置向量:

5

在平面直角坐标系中,以原点为始点,点 P 为终 点的向量错误!未找到引用源。叫做点的位置向量. 设点 P 的坐标为错误!未找到引用源。则点 P 的 位置向量 错误!未找到引用源。的坐标为: 错 误!未找到引用源。 知识回顾 2 向量错误!未找到引用源。的坐标和模: 在平面直角坐标系内, 设点错误! 未找到引用源。 则量错误!未找到引用源。的坐标为:错误!未找到 引用源。 向量错误!未找到引用源。的模为错误!未找到引 用源。. 知识回顾 3 向量的坐标运算: 错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。. 已知实数 m 与错误!未找到引用源。则错误!未 找到引用源。 知识回顾 4 中点坐标公式: 点错误!未找到引用源。的坐标分别为错误!未 找到引用源。点错误!未找到引用源。是线段错误! 未找到引用源。的中点,则错误!未找到引用源。 知识回顾 5 单位向量: 对于任意的非零向量错误!未找到引用源。与错 误! 未找到引用源。 同方向的单位向量叫做向量错误! 未找到引用源。的单位向量,记作错误!未找到引用 源。则错误!未找到引用源。 【示范例题】 例.在平面直角坐标系中,已知点 P,Q 的坐标分别为 (-2,4),(1,8),求错误!未找到引用源。的单位向 量错误!未找到引用源。. 解 错误!未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。
6

错误!未找到引用源。. 例.已知向量错误!未找到引用源。 . 求向量,的 坐标. 解 错误!未找到引用源。 由①错误!未找到引用源。得 错误!未找到引 用源。. 所以 错误!未找到引用源。. 代入②,得 错误!未找到引用源。. 所以 错误!未找到引用源。

【双基讲解】
已知,为非零向量,且错误!未找到引用源。 与错误!未找到引用源。平行,则根据实数与向量的 乘积的概念,两个非零向量 与平行,必有唯一的非零实数 m,使得=. 即 所以 到引用源。. 两式相乘,得 错误!未找到引用源。. 所以 错误!未找到引用源。. 错误!未找到引用源。 . 错误!未找到引用源。 错误!未找

这就是说错误!未找到引用源。为非零向量,若 错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。 反 之亦然.

【示范例题】
例.已知向量错误!未找到引用源。 与错误!未找到 引用源。 平行,求实数 m 的值. 解 因为错误!未找到引用源。//错误!未找到引用 错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。

源。 ,所以 错误!未找到引用源。 解得 用源。

错误!未找到引用源。 错误!未找到引 错误!未找到引用源。.
7

【巩固练习】
1.平面直角坐标系中,已知点 P,Q 的坐标分别为(2, -3),(7,9),求错误!未找到引用源。的单位向量错 误!未找到引用源。. 2.平面直角坐标系中,已知点 A,B 两点的坐标分别为 (-2,1),(2,5),且满足错误!未找到引用源。求点 错误!未找到引用源。的坐标以及错误!未找到引用 源。. 3.已知:向量错误!未找到引用源。. 求向量错误!未 找到引用源。的坐标. 4.已知:向量错误!未找到引用源。平行,求实数 k 的 值.

课堂小结
1. 点 P 的位置向量:以原点为始点,以点 P 为 终点的向量. 若(,),则点的位置向量错误!未找到引用 源。(,). 2. 向量的坐标表示:错误!未找到引用源。 ,则 错误!未找到引用源。 3. 向量的模: 未找到引用源。 若错误!未找到引用源。 ,则错误! 未找到引用源。 错误!未找到引用源。 4. 线段的中点坐标公式:点错误!未找到引用源。的 坐标分别为错误!未找到引用源。 ,点错误!未找到 引用源。是线段错误!未找到引用源。的中点, 则 错误!未找到引用源。的坐标为错误! 若错误!未找到引用源。 ,则错误! 巩固知识,调 动学生互动 学习

未找到引用源。 , 错误!未找到引用源。 已知非零向量,: 1.若错误!未找到引用源。则错误!未找到引用源。 培养学生反
8

为非零实数,反之亦然; 已知错误!未找到引用源。 若错误!未找到引用 源。则错误!未找到引用源。 反之亦然.

思学习过程 的能力

课 外 作 业 教 学 后 记

练习册配套练习

9


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