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【名师一号】2014-2015学年高中数学 第三章 三角恒等变形双基限时练27(含解析)北师大版必修4


双基限时练(二十七)
一、选择题 1. A. sin15°+cos15° 的值为( sin15°-cos15° 3 3 2- 6 4 sin15°+cos15° tan15°+1 = sin15°-cos15° tan15°-1 )

两角和与差的正切函数

B.

2+ 6 4

C.

D.- 3

解析

tan45°+tan15° =- =-tan60°=- 3. 1-tan45°tan15° 答案 D 2.若 A、B 为锐角三角形的两个内角,则 tanA?tanB 的值( A.不大于 1 C.等于 1 B.小于 1 D.大于 1 )

tanA+tanB 解析 tanC=-tan(A+B)=- >0,又 tanA+tanB>0,∴1-tanAtanB< 1-tanAtanB 0,即 tanA?tanB>1. 答案 D π? 1 π? 2 ? ? 3.若 tan(α +β )= ,tan?β - ?= ,则 tan?α + ?等于( 4? 4 4? 5 ? ? A. C. 13 18 3 22 B. D. 13 22 1 6 )

π ?? π ? ? 解析 tan(α + )=tan??α +β ?-?β - ?? 4 ?? 4 ? ? π? 2 1 ? - tan?α +β ?-tan?β - ? 4 5 4 3 ? ? = = = . π 2 1 22 ? ? 1+tan?α +β ?tan?β - ? 1+ ? 4? 5 4 ? 答案 C 4.若 tanAtanB=tanA+tanB+1,则 cos(A+B)的值为( A.- 2 2 B. 2 2
1

)

C.±

2 2

1 D.± 2

tanA+tanB 解析 由于 tan(A+B)= 且 tanAtanB=tanA+tanB+1,∴tan(A+B)=- 1-tanAtanB 1. ∴cos(A+B)=± 答案 C 5.tan20°tan50°+tan20°tan60°-tan60°tan50°等于( A.1 C. 3 解析 B.-1 D.- 3 原式=tan20°(tan50°+tan60°)-tan60°tan50°=tan20°tan110°(1- ) 2 . 2

tan50°tan60°)-tan60°tan50° =tan20°(-tan70°)(1-tan50°tan60°)-tan50°tan60° =-(1-tan50°tan60°)-tan50°tan60° =-1. 答案 B

?π ? 2 6. 设 tanθ 和 tan? -θ ?是方程 x +px+q=0 的两个根, 则 p, q 之间的关系是( ?4 ?
A.p+q+1=0 C.p+q-1=0 B.p-q+1=0 D.p-q-1=0

)

?π ? 解析 由韦达定理得 tanθ +tan? -θ ?=-p, ?4 ? ?π ? tanθ tan? -θ ?=q. ?4 ? ?π ? tan? -θ ?+tanθ 4 π π ? ? ? ? 又 tan =tan? -θ +θ ?= 4 4 ? ? ?π ? 1-tan? -θ ?tanθ ?4 ?
= -p =1,∴-p=1-q. 1-q

∴p-q+1=0. 答案 B 二、填空题 sin7°+cos15°sin8° 7.若 =________. cos7°-sin15°sin8°

2

sin15°cos8°-cos15°sin8°+cos15°sin8° 解析 原式= cos15°cos8°+sin15°sin8°-sin15°sin8° 3 1- 3 3- 3 =tan15°=tan(45°-30°)= = =2- 3. 3 3+ 3 1+ 3 答案 2- 3 3 ?π ? 8.已知 α 为第三象限的角,cos2α =- ,则 tan? +2α ?=________. 5 ?4 ? 3π 解析 ∵α 为第三象限的角, 则 2kπ +π ≤α ≤2kπ + , ∴4kπ +2π ≤2α ≤4kπ 2 3 4 4 ?π ? 1+tan2α +3π (k∈Z).又 cos2α =- ,∴sin2α = ,tan2α =- ,∴tan? +2α ?= 5 5 3 ?4 ? 1-tan2α 1 =- . 7 1 答案 - 7 3 ? π? ? 3 ? 9.已知点 P?sin π ,cos π ?落在角 θ 的终边上,且 θ ∈[0,2π ),则 tan?θ + ?的 4 ? 3? ? 4 ? 值为__________ 3π cos 4 解析 依题意,tanθ = =-1. 3π sin 4 π tanθ +tan 3 π? -1+ 3 ? ∴tan?θ + ?= = =2- 3. 3 π ? ? 1+ 3 1-tanθ tan 3 答案 2- 3 cosα -sinα 10.已知 α 、β 均为锐角,且 tanβ = ,则 tan(α +β )=________. cosα +sinα cosα -sinα 1-tanα 解析 tanβ = = , cosα +sinα 1+tanα ∴tanβ +tanα tanβ =1-tanα . ∴tanα +tanβ =1-tanα tanβ . ∴ tanα +tanβ =1,∴tan(α +β )=1. 1-tanα tanβ

答案 1 三、解答题
3

11.化简下列各式. 1+cot15° (1) ; 1-tan75° (2)tan10°tan20°+ 3(tan10°+tan20°). 解 1+tan75° (1)原式= =tan(45°+75°)=-tan60° 1-tan75°

=- 3. (2)原式=tan10°tan20°+ 3?tan30°?(1-tan10°tan20°) =tan10°tan20°+1-tan20°tan10° =1. 1-tanA ?π ? 12.(1)已知 =2,求 tan? +A?; 1+tanA ?6 ? 4 1 (2)已知 α ,β 为锐角,cosα = .tan(α -β )=- ,求 tanβ 的值. 5 3 解 1-tanA 1 (1)∵ =2,∴tanA=- . 1+tanA 3

π tan +tanA 6 π 5 3-6 则 tan( +A)= = . 6 π 13 1-tan tanA 6 4 3 3 (2)∵α 为锐角,cosα = ,∴sinα = ,tanα = . 5 5 4 tanα -tan?α -β ? tanβ =tan[α -(α -β )]= 1+tanα tan?α -β ? 3 1 13 + 4 3 12 13 = = = . 3 ? 1? 9 9 1+ ??- ? 4 ? 3? 12 13.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,以 Ox 轴为始边作两个锐角 α 、β ,它们的终边 分别与单位圆交于 A、B 两点.已知 A、B 的横坐标分别为 2 2 5 、 . 10 5

4

(1)求 tan(α +β )的值; (2)求 α +2β 的值. 解 (1)由已知条件及三角函数的定义可知: 2 2 5 ,cosβ = ,因 α 为锐角,故 sinα >0, 10 5
2

cosα =

从而 sinα = 1-cos α = 同理可得 sinβ = 5 . 5

7 2 . 10

1 因此 tanα =7,tanβ = . 2 tanα +tanβ 所以 tan(α +β )= = =-3. 1-tanα tanβ 1 1-7? 2 1 -3+ 2 1 7+ 2

(2)tan(α +2β )=tan[(α +β )+β ]= =-1. 1 1-?-3?? 2 π π 3π 又 0<α < ,0<β < ,故 0<α +2β < , 2 2 2 3π 从而由 tan(α +2β )=-1,得 α +2β = . 4

5


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