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导数与函数的极值、最值问题(解析版)


【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容,已由解决函数、数列、不等 式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具, 特别是利用导数来解决函数的极值与最 值、零点的个数等问题,在高考中以各种题型中均出现,对于导数问题中求参数的取值范围是 近几年高考中出现频率较高的一类问题,其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一 使用情景:一般函数类型 解题模板:第一步 第二步 第三步 第四步 例1 计算函数 f ( x) 的定义域并求出函数 f ( x) 的导函数 f ' ( x) ; 求方程 f ' ( x) ? 0 的根; 判断 f ' ( x) 在方程的根的左、右两侧值的符号; 利用结论写出极值.
1 ? ln x ,求函数 f ? x ? 的极值. x

利用导数研究函数的极值

已知函数 f ( x) ?

【答案】极小值为 1 ,无极大值.

【点评】求函数的极值的一般步骤如下:首先令 f ' ( x) ? 0 ,可解出其极值点,然后根据导函数 大于 0、小于 0 即可判断函数 f ( x) 的增减性,进而求出函数 f ( x) 的极大值和极小值. 【变式演练 1】已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 在 x ? 1 处有极值 10,则 f (2) 等于( A . 11 或 18 D.17 或 18 【答案】C 【解析】 B . 11 ) C . 18

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? 3 ? 2a ? b ? 0 ? b ? ?3 ? 2a ? a?4 ?a ? ?3 试题分析: f ?( x) ? 3 x 2 ? 2ax ? b ,? ? 或? . ? ?? 2 ?? 2 ?1 ? a ? b ? a ? 10 ?a ? a ? 12 ? 0 ?b ? ?11 ? b ? 3 ?a ? ?3 ? a?4 当 ? 时 , f ?( x) ? 3( x ? 1) 2 ? 0,? 在 x ? 1 处 不 存 在 极 值 . ? 当 ? 时 , ? b?3 ?b ? ?11

f ?( x) ? 3 x 2 ? 8 x ? 11 ? (3 x ? 11)( x ? 1) , ? x ? (?

11 所 ,1), f ?( x) ? 0 ;x ? (1,??), f ?( x) ? 0 ,符合题意. 3

? a?4 以? .? f (2) ? 8 ? 16 ? 22 ? 16 ? 18 .故选 C. ?b ? ?11
考点:函数的单调性与极值.
1 【变式演练 2】设函数 f ? x ? ? ln x ? ax 2 ? bx ,若 x ? 1 是 f ? x ? 的极大值点,则 a 的取值范围为 2



) B. ? ?1, ?? ? D. ? ??, ?1? ? ? 0, ?? ?

A. ? ?1, 0 ? C. ? 0, ?? ? 【答案】B 【解析】

考点:函数的极值. 【变式演练 3】函数 f ( x) ? 【答案】 3 【解析】 试题分析:因为 f ( x) ?
1 3 1 x ? (m ? 1) x 2 ? 2(m ? 1) x , 3 2 1 3 1 x ? (m ? 1) x 2 ? 2(m ? 1) x 在 (0,4) 上无极值,则 m ? _____. 3 2

所以 f '( x) ? x 2 ? (m ? 1) x ? 2(m ? 1) ? ? x ? 2 ?? x ? m ? 1? ,由 f ' ? x ? ? 0 得 x ? 2 或 x ? m ? 1 ,又因为
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函数 f ( x) ?

1 3 1 而 2 ? ? 0, 4 ? , 所以只有 m ? 1 ? 2 , m?3 x ? (m ? 1) x 2 ? 2(m ? 1) x 在 (0,4) 上无极值, 3 2

时, f ? x ? 在 R 上单调,才合题意,故答案为 3 . 考点:1、利用导数研究函数的极值;2、利用导数研究函数的单调性. 【变式演练 4】已知等比数列 {an } 的前 n 项和为 S n ? 2n ?1 ? k ,则 f ( x) ? x 3 ? kx 2 ? 2 x ? 1 的极大 值为( A.2 【答案】B 【解析】 ) B.
5 2

C.3

D.

7 2

考点:1、等比数列的性质;2、利用导数研究函数的单调性及极值. 【变式演练 5 】设函数 f ( x) ? x 3 ? (1 ? a ) x 2 ? ax 有两个不同的极值点 x1 , x2 ,且对不等式

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 恒成立,则实数 a 的取值范围是
?1 ? 【答案】 (??, ?1] ? ? , 2 ? ?2 ?



【解析】
3 2 试 题 分 析 : 因 为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , 故 得 不 等 式 x13 ? x2 ? ?1 ? a ? ? x12 ? x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 , 即

x ?x ? x1 ? x2 ? ? ?? 1 2 ?
由 于

2

2 ? 3x1 x2 ? ? ?1 ? a ? ?? x1 ? x2 ? ? 2 x1 x2 ? ? a ? x1 ? x2 ? ? 0 , ? ? ?

f ' ? x ? ? 3 x2 ? 2 ? 1 ? a ? x ? a , 令

f ' ? x ? ? 0 得 方 程 3 x 2 ? 2 ?1 ? a ? x ? a ? 0 , 因

? ? 4 ? a 2 ? a ? 1? ? 0

,

2 ? x1 ? x2 ? ? ?1 ? a ? ? ? 3 故 ? , 代 入 前 面 不 等 式 , 并 化 简 得 ?x x ? a 1 2 ? 3 ?
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?1 ? a ? ? 2a 2 ? 5a ? 2 ? ? 0 ,解不等式得 a ? ?1 或

1 1 ? a ? 2 ,因此, 当 a ? ?1 或 ? a ? 2 时, 不等式 2 2

?1 ? f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 0 成立,故答案为 (??, ?1] ? ? , 2 ? . ?2 ?

考点:1、利用导数研究函数的极值点;2、韦达定理及高次不等式的解法. 【变式演练 6】 已知函数 f ? x ? ? x 3 ? ax 2 ? x ? 2 ? a ? 0 ? 的极大值点和极小值点都在区间 ? ?1,1? 内, 则实数 a 的取值范围是 【答案】 3 ? a ? 2 【解析】 .

考点:导数与极值.

类型二 使用情景:一般函数类型 解题模板:第一步 第二步 第三步 例2

求函数在闭区间上的最值

求出函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内所有极值点; 计算函数 f ( x) 在极值点和端点的函数值; 比较其大小关系,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值.

若函数 f ? x ? ? e x ? x 2 ? mx ,在点 ?1, f ?1? ? 处的斜率为 e ? 1 .

(1)求实数 m 的值; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ? ?1,1? 上的最大值. 【答案】 (1) m ? 1 ; (2) f ? x ?max ? e . 【解析】 试题分析: (1)由 f ?(1) ? e ? 1 解之即可;
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(2) f ? ? x ? ? e x ? 2 x ? 1 为递增函数且 f ? ?1? ? e ? 1 ? 0, f ? ? ?1? ? e ?1 ? 3 ? 0 ,所以在区间 (?1,1) 上存 在 x0 使 f ?( x0 ) ? 0 ,所以函数在区间 [?1, x0 ] 上单调递减,在区间 [ x0 ,1] 上单调递增,所以

f ? x ?max ? max ? f ? ?1? , f ?1?? ,求之即可.
试题解析: (1) f ? ? x ? ? e x ? 2 x ? m ,∴ f ? ?1? ? e ? 2 ? m ,即 e ? 2 ? m ? e ? 1 ,解得 m ? 1 ; 实数 m 的值为 1; (2) f ? ? x ? ? e x ? 2 x ? 1 为递增函数,∴ f ? ?1? ? e ? 1 ? 0, f ? ? ?1? ? e ?1 ? 3 ? 0 , 存在 x0 ? ? ?1,1? ,使得 f ? ? x0 ? ? 0 ,所以 f ? x ?max ? max ? f ? ?1? , f ?1?? ,

f ? ?1? ? e ?1 ? 2, f ?1? ? e ,∴ f ? x ?max ? f ?1? ? e
考点:1.导数的几何意义;2.导数与函数的单调性、最值. 【名师点睛】本题考查导数的几何意义、导数与函数的单调性、最值等问题,属中档题;导数 的几何意义是拇年高考的必考内容,考查题型有选择题、填空题,也常出现在解答题的第(1) 问中,难度偏小,属中低档题,常有以下几个命题角度:已知切点求切线方程、已知切线方程 (或斜率)求切点或曲线方程、已知曲线求切线倾斜角的范围. 【变式演练 7】已知 f ( x) ?
x ?1 . ex

(1)求函数 y ? f ( x) 最值; (2)若 f ( x1 ) ? f ( x2 )( x1 ? x2 ) ,求证: x1 ? x2 ? 0 . 【答案】 (1) f ( x) 取最大值 f ( x) max ? f (0) ? ?1 ,无最小值; (2)详见解析. 【解析】

试题解析: (1)对 f ( x) 求导可得 f ?( x) ?

e x ? ( x ? 1)e x ? x ? x , e2 x e

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令 f ?( x) ?

?x ? 0 得 x=0. ex

当 x ? (??,0) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 当 x ? (0,??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 当 x=0 时, f ( x) 取最大值 f ( x) max ? f (0) ? ?1 ,无最小值. (2)不妨设 x1 ? x2 ,由(1)得 当 x ? (??,0) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递增; 当 x ? (0,??) 时, f ?( x) ? 0 ,函数 f ( x) 单调递减, 若 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? 0 ? x2 ,

考点:1.导数与函数的最值;2.导数与不等式的证明. 【变式演练 7】已知函数 f ( x) ? x ln x , g ( x) ? ? x 2 ? ax ? 2 . (Ⅰ)求函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值; (Ⅱ)若函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个不同的极值点 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 且 x2 ? x1 ? ln 2 ,求实数 a 的取 值范围.

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【答案】 (Ⅰ) ? f ( x) min

1 ? 1 ? , 0?t ? ? 2 ln 2 ? e e ; (Ⅱ) a ? ln 2 ? ln( ?? ) ?1 . 3 3 ?t ln t , t ? 1 ? e ?

【解析】
1 1 1 试题分析: (Ⅰ)由 f ' ( x) ? ln x ? 1 ? 0 ,得极值点为 x ? ,分情况讨论 0 ? t ? 及 t ? 时,函 e e e

数 f ( x) 的最小值; (Ⅱ)当函数 y ? f ( x) ? g ( x) 有两个不同的极值点,即 y ' ? ln x ? 2 x ? 1 ? a ? 0 有两个不同的实根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) ,问题等价于直线 y ? a 与函数 G ( x) ? ? ln x ? 2 x ? 1 的图象有两
1 个不同的交点,由 G ( x) 单调性结合函数图象可知当 a ? G ( x) min ? G ( ) ? ln 2 时, x1 , x2 存在,且 2

?ln x1 ? 2 x1 ? 1 ? a ? 0 ,? x2 ? 4 x1 x2 ? x1 的值随着 a 的增大而增大,而当 x2 ? x1 ? ln 2 时,由题意 ? ?ln x2 ? 2 x2 ? 1 ? a ? 0
4 2 ln 2 代入上述方程可得 x2 ? 4 x1 ? ln 2 ,此时实数 a 的取值范围为 a ? ln 2 ? ln( ) ?1 . 3 3 3 1 试题解析: (Ⅰ)由 f ' ( x) ? ln x ? 1 ? 0 ,可得 x ? , e 1 1 1 ? ① 0 ? t ? 时,函数 f ( x) 在 (t , ) 上单调递减,在 ( , t ? 2) 上单调递增, e e e 1 1 ? 函数 f ( x) 在 [t , t ? 2](t ? 0) 上的最小值为 f ( ) ? ? , e e 1 ②当 t ? 时, f ( x) 在 [t , t ? 2] 上单调递增, e

? f ( x) min ? f (t ) ? t ln t ,
1 ? 1 ? , 0?t ? ? ? e e ; ?? 1 ?t ln t , t ? ? e ?

? f ( x) min

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两式相减可得 ln

x1 ? 2( x1 ? x2 ) ? ?2 ln 2 x2

4 ? x2 ? 4 x1 代入上述方程可得 x2 ? 4 x1 ? ln 2 , 3 2 ln 2 此时 a ? ln 2 ? ln( ) ?1 , 3 3 2 ln 2 所以,实数 a 的取值范围为 a ? ln 2 ? ln( ) ?1 ; 3 3

考点:导数的应用. 【变式演练 8】设函数 f ? x ? ? ln x ? 1 . (1)已知函数 F ? x ? ? f ? x ? ?
1 2 3 1 x ? x ? ,求 F ? x ? 的极值; 4 2 4

(2) 已知函数 G ? x ? ? f ? x ? ? ax 2 ? ? 2a ? 1? x ? a ? a ? 0 ? ,若存在实数 m ? ? 2,3? ,使得当 x ? ? 0, m ? 时,

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函数 G ? x ? 的最大值为 G ? m ? ,求实数 a 的取值范围.
3 【答案】 (1)极大值为 0 ,极小值为 ln 2 ? ; (2) ?1 ? ln 2, ?? ? . 4

【解析】

F ? x ? , F ' ? x ? 随 x 的变化如下表:

x
F '? x? F ? x?

? 0,1?
?
?

1

?1, 2 ?
?
?

2

? 2, ?? ?
?
3 4
?

0 0

0
ln 2 ?

当 x ? 1 时,函数 F ? x ? 取得极大值 F ?1? ? 0 ;当 x ? 2 时,函数 F ? x ? 取得极小值 F ? 2 ? ? ln 2 ?

3 . 4

③当

1 1 ? 1 ? ? 1 ? ? 1 , 即 a ? 时, 函数 f ? x ? 在 ? 0, ? 和 ?1, ?? ? 上单调递增, 在 ? ,1? 上单调递减, 要 2a 2 ? 2a ? ? 2a ?

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? 1 ? 存在实数 x ? ? 2,3? ,使得当 x ? ? 0, m ? 时, 函数 G ? x ? 的最大值为 G ? m ? ,则 G ? ? ? G ? 2 ? ,代入化 ? 2a ?





ln ? 2a ? ?

1 ? ln 2 ? 1 ? 0? ?? 4a

.



g ? a ? ? ln ? 2a ? ?

1 1? ? ? ln 2 ? 1? a ? ? 4a 2? ?

,



g '?a? ?

1? 1 ? 1 1 ?1? ?1 ? ? ? 0 恒成立 , 故恒有 g ? a ? ? g ? ? ? ln 2 ? ? 0,? a ? 时 , ? ?? 式恒成立 ; 综 a ? 4a ? 2 2 ?2?

上,实数 a 的取值范围是 ?1 ? ln 2, ?? ? . 考点:函数导数与不等式. 【高考再现】 1. 【2016 高考新课标 1 卷】 (本小题满分 12 分)已知函数 f ? x ? ? ? x ? 2 ? e x ? a ? x ? 1? 有两个零
2

点. (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1,x2 是 f ? x ? 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 . 【答案】 (0, ??)

试题解析;(Ⅰ) f '( x) ? ( x ? 1)e x ? 2a( x ? 1) ? ( x ? 1)(e x ? 2a) . (i)设 a ? 0 ,则 f ( x) ? ( x ? 2)e x , f ( x) 只有一个零点. (ii)设 a ? 0 ,则当 x ? (??,1) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 .所以 f ( x) 在 (??,1) 上单 调递减,在 (1, ??) 上单调递增. 又 f (1) ? ?e , f (2) ? a ,取 b 满足 b ? 0 且 b ? ln
f (b) ? a 3 (b ? 2) ? a (b ? 1) 2 ? a (b 2 ? b) ? 0 , 2 2
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a ,则 2

故 f ( x) 存在两个零点. (iii)设 a ? 0 ,由 f '( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ln(?2a) .
e 若 a ? ? ,则 ln(?2a) ? 1 ,故当 x ? (1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,因此 f ( x) 在 (1, ??) 上单调递增.又当 x ? 1 2

时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 不存在两个零点.
e 若 a ? ? ,则 ln(?2a) ? 1 ,故当 x ? (1, ln(?2a)) 时, f '( x) ? 0 ;当 x ? (ln( ?2 a), ??) 时, f '( x) ? 0 .因此 2

f ( x) 在 (1, ln(?2a)) 单调递减,在 (ln(?2a), ??) 单调递增.又当 x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 不存在
两个零点. 综上, a 的取值范围为 (0, ??) . (Ⅱ)不妨设 x1 ? x2 ,由(Ⅰ)知 x1 ? (??,1), x2 ? (1, ??) , 2 ? x2 ? (??,1) , f ( x) 在 (??,1) 上单调递 减,所以 x1 ? x2 ? 2 等价于 f ( x 1) ? f (2 ? x2 ) ,即 f (2 ? x2 ) ? 0 . 由于 f (2 ? x2 ) ? ? x2 e 2? x2 ? a ( x2 ? 1) 2 ,而 f ( x2 ) ? ( x2 ? 2)e x2 ? a( x2 ? 1) 2 ? 0 ,所以
f (2 ? x2 ) ? ? x2 e 2? x2 ? ( x2 ? 2)e x2 .

设 g ( x) ? ? xe 2? x ? ( x ? 2)e x ,则 g '( x) ? ( x ? 1)(e 2? x ? e x ) . 所以当 x ? 1 时, g '( x) ? 0 ,而 g (1) ? 0 ,故当 x ? 1 时, g ( x) ? 0 . 从而 g ( x2 ) ? f (2 ? x2 ) ? 0 ,故 x1 ? x2 ? 2 . 考点:导数及其应用 2. 【2016 高考山东理数】(本小题满分 13 分) 已知 f ( x) ? a ? x ? ln x ? ?
2x ?1 ,a?R . x2

(I)讨论 f ( x) 的单调性;
3 (II)当 a ? 1 时,证明 f ( x)>f ' ? x ? ? 对于任意的 x ? ?1, 2? 成立. 2

【答案】 (Ⅰ)见解析; (Ⅱ)见解析 【解析】 试题分析:(Ⅰ)求 f ( x) 的导函数,对 a 进行分类讨论,求 f ( x) 的单调性;

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3 3 / (Ⅱ)要证 f ( x)>f ' ? x ? ? 对于任意的 x ? ?1, 2? 成立,即证 f ( x) ? f ( x) ? ,根据单调性求解. 2 2

(1) 0 ? a ? 2 ,

2 ? 1, a

当 x ? (0,1) 或 x ? (

2 ,??) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; a

当 x ? (1,

2 ) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减; a

(2) a ? 2 时,

2 ? 1 ,在 x ? (0,??) 内, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; a
2 ? 1, a

(3) a ? 2 时, 0 ?

当 x ? (0,

2 ) 或 x ? (1,??) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递增; a
2 ,1) 时, f / ( x) ? 0 , f ( x) 单调递减. a

当 x? (

综上所述,

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知, a ? 1 时,

f ( x) ? f / ( x) ? x ? ln x ?

2x ?1 1 2 2 ? (1 ? ? 2 ? 3 ) 2 x x x x

3 1 2 ? x ? ln x ? ? 2 ? 3 ? 1 , x ? [1,2] , x x x 3 1 2 令 g ( x) ? x ? ln x, h( x) ? ? 2 ? 3 ? 1 , x ? [1,2] . x x x
则 f ( x ) ? f / ( x ) ? g ( x ) ? h( x ) , 由 g / ( x) ? 又 h '( x) ?

x ?1 ? 0 可得 g ( x) ? g (1) ? 1 ,当且仅当 x ? 1 时取得等号. x
?3 x 2 ? 2 x ? 6 , x4

设 ? ( x) ? ?3 x 2 ? 2 x ? 6 ,则 ? ( x) 在 x ? [1,2] 单调递减, 因为 ? (1) ? 1, ? (2) ? ?10 ,

考点:1.应用导数研究函数的单调性、极值;2.分类讨论思想. 【名师点睛】本题主要考查导数的计算、应用导数研究函数的单调性与极值、分类讨论思想. 本题覆盖面广,对考生计算能力要求较高,是一道难题.解答本题,准确求导数是基础,恰当
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分类讨论是关键,易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当,或因复杂式子变形能力差,而 错漏百出.本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等. 3. 【2016 高考江苏卷】 (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? a x ? b x (a ? 0, b ? 0, a ? 1, b ? 1) .设 a ? 2, b ? (1)求方程 f ( x) ? 2 的根; (2)若对任意 x ? R ,不等式 f (2 x) ? m f( x) ? 6 恒成立,求实数 m 的最大值; (3)若 0 ? a ? 1, b>1 ,函数 g ? x ? ? f ? x ? ? 2 有且只有 1 个零点,求 ab 的值。 【答案】 (1)①0 ②4(2)1 【解析】
1 . 2

试题解析: (1)因为 a ? 2, b ?

1 ,所以 f ( x) ? 2 x ? 2? x . 2

①方程 f ( x) ? 2 ,即 2 x ? 2? x ? 2 ,亦即 (2 x ) 2 ? 2 ? 2 x ? 1 ? 0 , 所以 (2 x ? 1) 2 ? 0 ,于是 2 x ? 1 ,解得 x ? 0 . ②由条件知 f (2 x) ? 22 x ? 2?2 x ? (2 x ? 2? x ) 2 ? 2 ? ( f ( x)) 2 ? 2 . 因为 f (2 x) ? mf ( x) ? 6 对于 x ? R 恒成立,且 f ( x) ? 0 , 所以 m ?

( f ( x)) 2 ? 4 对于 x ? R 恒成立. f ( x)



( f (0)) 2 ? 4 ( f ( x)) 2 ? 4 4 4 ? 4, ? f ( x) ? ? 2 f ( x) ? ? 4 ,且 f (0) f ( x) f ( x) f ( x)
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所以 m ? 4 ,故实数 m 的最大值为 4. (2)因为函数 g ( x) ? f ( x) ? 2 只有 1 个零点,而 g (0) ? f (0) ? 2 ? a 0 ? b 0 ? 2 ? 0 , 所以 0 是函数 g ( x) 的唯一零点. 因为 g ' ( x) ? a x ln a ? b x ln b ,又由 0 ? a ? 1, b ? 1 知 ln a ? 0, ln b ? 0 , 所以 g ' ( x) ? 0 有唯一解 x0 ? log b (?
a

ln a ). ln b

令 h( x) ? g ' ( x) ,则 h ' ( x) ? (a x ln a ? b x ln b) ' ? a x (ln a) 2 ? b x (ln b) 2 , 从而对任意 x ? R , h ' ( x) ? 0 ,所以 g ' ( x) ? h( x) 是 (??, ??) 上的单调增函数, 于是当 x ? (??, x0 ) , g ' ( x) ? g ' ( x0 ) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, g ' ( x) ? g ' ( x0 ) ? 0 . 因而函数 g ( x) 在 (??, x0 ) 上是单调减函数,在 ( x0 , ??) 上是单调增函数. 下证 x0 ? 0 . 若 x0 ? 0 ,则 x0 ?
x0 x ? 0 ,于是 g ( 0 ) ? g (0) ? 0 , 2 2 x0 和 log a 2 为端点的闭区间上的 2

又 g (log a 2) ? a loga 2 ? b loga 2 ? 2 ? a loga 2 ? 2 ? 0 ,且函数 g ( x) 在以 图象不间断,所以在 又

x0 和 log a 2 之间存在 g ( x) 的零点,记为 x1 . 因为 0 ? a ? 1 ,所以 log a 2 ? 0 , 2

x0 ? 0 ,所以 x1 ? 0 与“0 是函数 g ( x) 的唯一零点”矛盾. 2 x 若 x0 ? 0 ,同理可得,在 0 和 log a 2 之间存在 g ( x) 的非 0 的零点,矛盾. 2

因此, x0 ? 0 . 于是 ?
ln a ? 1 ,故 ln a ? ln b ? 0 ,所以 ab ? 1 . ln b

考点:指数函数、基本不等式、利用导数研究函数单调性及零点 【名师点睛】对于函数零点个数问题,可利用函数的值域或最值,结合函数的单调性、草图确 定其中参数范围.从图象的最高点、最低点,分析函数的最值、极值;从图象的对称性,分析 函数的奇偶性;从图象的走向趋势,分析函数的单调性、周期性等.但需注意探求与论证之间 区别,论证是充要关系,要充分利用零点存在定理及函数单调性严格说明函数零点个数. 4. 【2016 高考天津理数】 (本小题满分 14 分)
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设函数 f ( x) ? ( x ? 1)3 ? ax ? b , x ? R ,其中 a, b ? R (I)求 f ( x) 的单调区间; (II) 若 f ( x) 存在极值点 x0 ,且 f ( x1 ) ? f ( x0 ) ,其中 x1 ? x0 ,求证: x1 ? 2 x0 ? 3 ; 1 (Ⅲ)设 a ? 0 ,函数 g ( x) ?| f ( x) | ,求证: g ( x) 在区间 [?1,1] 上的最大值不小于 ...4 . 【答案】 (Ⅰ)详见解析(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)详见解析 【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求函数的导数: f ' ( x) ? 3( x ? 1) 2 ? a ,再根据导函数零点是否存在情况, 分类讨论:①当 a ? 0 时,有 f ?( x) ? 0 恒成立,所以 f ( x) 的单调增区间为 (??, ?) .②当 a ? 0 时, 存在三个单调区间

试题解析: (Ⅰ)解:由 f ( x) ? ( x ? 1)3 ? ax ? b ,可得 f ' ( x) ? 3( x ? 1) 2 ? a . 下面分两种情况讨论: (1)当 a ? 0 时,有 f ' ( x) ? 3( x ? 1) 2 ? a ? 0 恒成立,所以 f ( x) 的单调递增区间为 (??,??) . (2)当 a ? 0 时,令 f ' ( x) ? 0 ,解得 x ? 1 ?
3a 3a ,或 x ? 1 ? . 3 3

当 x 变化时, f ' ( x) , f ( x) 的变化情况如下表:

x
f ' ( x)
f ( x)

(??,1 ?

3a ) 3

1?

3a 3

(1 ?

3a 3a ,1 ? ) 3 3

1?

3a 3

(1 ?

3a ,??) 3

+ 单调递增

0 极大值

- 单调递减

0 极小值

+ 单调递增

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所以 f ( x) 的单调递减区间为 (1 ?

3a 3a 3a 3a ,1 ? ) ,单调递增区间为 (??,1 ? ) , (1 ? ,??) . 3 3 3 3

(Ⅲ)证明:设 g ( x) 在区间 [0,2] 上的最大值为 M , max{x, y} 表示 x, y 两数的最大值.下面分三 种情况同理: (1) 当 a ? 3 时, 1?
3a 3a , 由 (Ⅰ) 知, f ( x) 在区间 [0,2] 上单调递减, 所以 f ( x) ? 0 ? 2 ?1? 3 3

在区间 [0,2] 上的取值范围为 [ f (2), f (0)] ,因此
M ? max{| f (2) |, | f (0) |} ? max{| 1 ? 2a ? b |, | ?1 ? b |}
? max{| a ? 1 ? (a ? b) |, | a ? 1 ? (a ? b) |}

?a ? 1 ? (a ? b), a ? b ? 0 ?? ,所以 M ? a ? 1? | a ? b |? 2 . ?a ? 1 ? (a ? b), a ? b ? 0
(2)当

3 2 3a 3a 3a 2 3a ? a ? 3 时, 1 ? ,由(Ⅰ)和(Ⅱ)知, ? 0 ?1? ?1? ? 2 ?1? 4 3 3 3 3
2 3a 3a 2 3a 3a ) ? f (1 ? ) , f (2) ? f (1 ? ) ? f (1 ? ), 3 3 3 3 3a 3a ), f (1 ? )] , 3 3

f (0) ? f (1 ?

所以 f ( x) 在区间 [0,2] 上的取值范围为 [ f (1 ?

因此 M ? max{| f (1 ?
? max{| ?

3a 3a 2a 2a ) |, | f (1 ? ) |} ? max{| ? 3a ? a ? b |, | 3a ? a ? b |} 3 3 9 9

2a 2a 3a ? (a ? b) |, | 3a ? (a ? b) |} 9 9
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?

2a 2 3 3 1 3a ? | a ? b |? ? ? 3 ? ? . 9 9 4 4 4

考点:导数的运算,利用导数研究函数的性质、证明不等式 【名师点睛】1.求可导函数单调区间的一般步骤 (1)确定函数 f(x)的定义域(定义域优先); (2)求导函数 f′(x); (3)在函数 f(x)的定义域内求不等式 f′(x)>0 或 f′(x)<0 的解集. (4)由 f′(x)>0(f′(x)<0)的解集确定函数 f (x)的单调增(减)区间.若遇不等式中带有参数时, 可分类讨论求得单调区间. 2.由函数 f(x)在(a,b)上的单调性,求参数范围问题,可转化为 f′(x)≥0(或 f′(x)≤0)恒成立问题, 要注意“=”是否可以取到. 5. 【2016 高考新课标 3 理数】设函数 f ( x) ? a cos 2 x ? (a ? 1)(cos x ? 1) ,其中 a ? 0 ,记 | f ( x) | 的 最大值为 A . (Ⅰ)求 f ?( x) ; (Ⅱ)求 A ; (Ⅲ)证明 | f ?( x) |? 2 A .

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1 ? ? 2 ? 3a, 0 ? a ? 5 ? 2 ? a ? 6a ? 1 1 ' 【答案】 (Ⅰ) f ( x) ? ?2a sin 2 x ? (a ? 1) sin x ; (Ⅱ) A ? ? (Ⅲ)见解析. , ? a ?1; 8a 5 ? 3a ? 2, a ? 1 ? ? ?
【解析】

试题解析: (Ⅰ) f ' ( x) ? ?2a sin 2 x ? (a ? 1) sin x . (Ⅱ)当 a ? 1 时,

| f ' ( x) |?| a sin 2 x ? (a ? 1)(cos x ? 1) | ? a ? 2(a ? 1) ? 3a ? 2 ? f (0)
因此, A ? 3a ? 2 . ???4 分

当 0 ? a ? 1 时,将 f ( x) 变形为 f ( x) ? 2a cos 2 x ? (a ? 1) cos x ? 1 . 令 g (t ) ? 2at 2 ? (a ? 1)t ? 1 ,则 A 是 | g (t ) | 在 [?1,1] 上的最大值, g (?1) ? a , g (1) ? 3a ? 2 ,且当
t?

1? a (a ? 1) 2 a 2 ? 6a ? 1 1? a )?? ?1 ? ? 时, g (t ) 取得极小值,极小值为 g ( . 4a 8a 8a 4a
1? a 1 1 ,a ? . ? 1 ,解得 a ? ? (舍去) 4a 3 5

令 ?1 ?

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(Ⅲ)由(Ⅰ)得 | f ' ( x) |?| ?2a sin 2 x ? ( a ? 1) sin x |? 2a ? | a ? 1| . 当0 ? a ?
1 时, | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 ? 4a ? 2(2 ? 3a) ? 2 A . 5

1 a 1 3 当 ? a ? 1 时, A ? ? ? ? 1 ,所以 | f ' ( x) |? 1 ? a ? 2 A . 5 8 8a 4

当 a ? 1 时, | f ' ( x) |? 3a ? 1 ? 6a ? 4 ? 2 A ,所以 | f ' ( x) |? 2 A . 考点:1、三角恒等变换;2、导数的计算;3、三角函数的有界性. 【归纳总结】 求三角函数的最值通常分为两步: (1) 利用两角和与差的三角公式、 二倍角公式、 诱导公式将解析式化为形如 y ? A sin(? x ? ? ) ? B 的形式; (2)结合自变量 x 的取值范围,结合 正弦曲线与余弦曲线进行求解. 6. 【2016 高考浙江理数】 (本小题 15 分)已知 a ? 3 ,函数 F(x)=min{2|x?1|,x2?2ax+4a?2}, 其中 min{p,q}= ?
? p,p ? q, ?q, p > q.

(I)求使得等式 F(x)=x2?2ax+4a?2 成立的 x 的取值范围; (II) (i)求 F(x)的最小值 m(a) ; (ii)求 F(x)在区间[0,6]上的最大值 M(a).

? ?34 ? 8a,3 ? a ? 4 ?0,3 ? a ? 2 ? 2 【答案】 (I)? 2, 2a ? ; (II) (i ) m ? a ? ? ? ; (ii) ? ? a ? ? ? . 2 ?2, a ? 4 ? ??a ? 4a ? 2, a ? 2 ? 2
【解析】 试题分析: ( I ) 分 别 对 x ? 1 和 x ? 1 两 种 情 况 讨 论 F? x? , 进 而 可 得 使 得 等 式

F ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 4a ? 2 成 立 的 x 的 取 值 范 围 ; ( II ) ( i ) 先 求 函 数 f ? x? ? 2 x ?1 , g ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 4a ? 2 的最小值,再根据 F ? x ? 的定义可得 F ? x ? 的最小值 m ? a ? ; (ii)分别对

0 ? x ? 2 和 2 ? x ? 6 两种情况讨论 F ? x ? 的最大值,进而可得 F ? x ? 在区间 ? 0, 6? 上的最大值
? ?a? .

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(ii)当 0 ? x ? 2 时,

F ? x ? ? f ? x ? ? max ? f ? 0 ? , f ? 2 ?? ? 2 ? F ? 2 ? ,
当 2 ? x ? 6 时,

F ? x ? ? g ? x ? ? max ? g ? 2 ? , g ? 6 ?? ? max ?2,34 ? 8a? ? max ?F ? 2 ? , F ? 6 ?? .
所以,

?34 ? 8a,3 ? a ? 4 ? ?a? ? ? . ?2, a ? 4
考点:1、函数的单调性与最值;2、分段函数;3、不等式. 【思路点睛】 (I)根据 x 的取值范围化简 F ? x ? ,即可得使得等式 F ? x ? ? x 2 ? 2ax ? 4a ? 2 成立的

x 的取值范围; (II) (i)先求函数 f ? x ? 和 g ? x ? 的最小值,再根据 F ? x ? 的定义可得 m ? a ? ; (ii)
根据 x 的取值范围求出 F ? x ? 的最大值,进而可得 ? ? a ? . 7. 【2016 高考新课标 2 理数】(Ⅰ)讨论函数 f (x) ?
x?2 x e 的单调性,并证明当 x ? 0 时, x?2

( x ? 2)e x ? x ? 2 ? 0 ;
g x) = (Ⅱ)证明:当 a ? [0,1) 时,函数 ( e x ? ax ? a ( x ? 0) 有最小值.设 g ( x) 的最小值为 h(a ) , x2

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求函数 h(a ) 的值域.

1 e2 【答案】 (Ⅰ)详见解析; (Ⅱ) ( , ]. . 2 4
【解析】 试题分析: (Ⅰ)先求定义域,用导数法求函数的单调性,当 x ? (0, ??) 时, f ( x) ? f (0) 证明结

e x0 论; (Ⅱ)用导数法求函数 g ( x) 的最值,在构造新函数 h(a) ? ,又用导数法求解. x0 ? 2

(II) g ( x) ?

( x ? 2)e x ? a ( x ? 2) x ? 2 ? 2 ( f ( x) ? a), x2 x

由(I)知, f ( x) ? a 单调递增,对任意 a ? [0,1), f (0) ? a ? a ? 1 ? 0, f (2) ? a ? a ? 0, 因此,存在唯一 x0 ? (0, 2], 使得 f ( x0 ) ? a ? 0, 即 g '( x0 ) ? 0 , 当 0 ? x ? x0 时, f ( x) ? a ? 0, g '( x) ? 0, g ( x) 单调递减; 当 x ? x0 时, f ( x) ? a ? 0, g '( x) ? 0, g ( x) 单调递增. 因此 g ( x) 在 x ? x0 处取得最小值,最小值为

g ( x0 ) ?

e x0 ? a ( x0 ? 1) e x0 +f ( x0 )( x0 ? 1) e x0 ? ? . x0 2 x0 2 x0 ? 2

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考点: 函数的单调性、极值与最值. 【名师点睛】求函数单调区间的步骤: (1)确定函数 f(x)的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)由 f′(x)>0(f′(x)<0)解出相应的 x 的范围. 当 f′(x)>0 时,f(x)在相应的区间上是增函数;当 f′(x)<0 时,f(x)在相应的区间上是减函数,还 可以列表,写出函数的单调区间. 注意:求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论; 另外注意函数最值是个“整体”概念,而极值是个“局部”概念. 8.【2016 年高考四川理数】 (本小题满分 14 分) 设函数 f(x)=ax2-a-lnx,其中 a ∈R. (Ⅰ)讨论 f(x)的单调性; (Ⅱ)确定 a 的所有可能取值,使得 f ( x) ? 然对数的底数). 【答案】 (Ⅰ)当 x ? (0,
1 1? x ? e 在区间(1,+∞)内恒成立(e=2.718?为自 x

1 1 ) 时, f '( x) <0, f ( x) 单调递减;当 x ? ( , +?) 时, f '( x) >0, 2a 2a
1 2

(Ⅱ) a ? [ , ? ) . f ( x) 单调递增; 【解析】

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试题解析: (I) f '( x) ? 2ax ?

1 2ax 2 ? 1 ? (x ? 0). x x

内单调递减. (0, +?) 当a ? 0时, f '( x) <0, f ( x) 在 由 f '( x) =0,有 x ? 当a ? 0时,

1 . 2a

此时,当 x ? (0,

1 ) 时, f '( x) <0, f ( x) 单调递减; 2a

当 x? (

1 , +?) 时, f '( x) >0, f ( x) 单调递增. 2a

1 1 (II)令 g ( x) = ? x ?1 , s ( x) = e x ?1 ? x . x e

则 s '( x) = e x ?1 ? 1 . 而当 x ? 1 时, s '( x) >0, 所以 s ( x) 在区间 (1, +?) 内单调递增. 又由 s (1) =0,有 s ( x) >0, 从而当 x ? 1 时, f ( x) >0.

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当 a ? 0 , x ? 1 时, f ( x) = a ( x 2 ? 1) ? ln x ? 0 . 故当 f ( x) > g ( x) 在区间 (1, +?) 内恒成立时,必有 a ? 0 .

考点:导数的计算、利用导数求函数的单调性,最值、解决恒成立问题. 【名师点睛】本题考查导数的计算、利用导数求函数的单调性,最值、解决恒成立问题,考查 学生的分析问题解决问题的能力和计算能力.求函数的单调性,基本方法是求 f '( x) ,解方程
f '( x) ? 0 ,再通过 f '( x) 的正负确定 f ( x) 的单调性;要证明函数不等式 f ( x) ? g ( x) ,一般证明 f ( x) ? g ( x) 的最小值大于 0,为此要研究函数 h( x) ? f ( x) ? g ( x) 的单调性.本题中注意由于函

数 h( x) 有极小值没法确定,因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖,学生不 易想到.有一定的难度.

【反馈练习】 1.【2017 届新疆生产建设兵团二中高三上月考二数学试卷, 文 9】 若 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 ? 7a 在 x ? 1 处取得极大值 10,则 A. ?
3 1 或? 2 2 b 的值为( a

) B. ?
3 1 或 2 2

C. ?

3 2

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D. ?

1 2

【答案】C 【解析】 试 题 分 析 : ∵

f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? a 2 ? 7a

, ∴

f ?? x ? ? 3 x 2 ? 2ax ? b

, 又

f ( x) ? x3 ? ax2 ? bx ? a2 ? 7 a 在 x ? 1 处 取 得 极 大 值 10 , ∴ f ?? x ? ? 3 ? 2a ? b ? 0 ,
f ?1? ? 1 ? a ? b ? a 2 ? 7 a ? 10 ,∴ a 2 ? 8a ? 12 ? 0 ,∴ a ? ?2 , b ? 1 或 a ? ?6 , b ? 9 .当 a ? ?2 ,
1 b ? 1 时, f ?? x ? ? 3x 2 ? 4 x ? 1 ? ?3x ? 1?? x ? 1? ,当 ? x ? 1 时, f ?? x ? ? 0 ,当 x ? 1 时, f ?? x ? ? 0 , 3

∴ f ? x ? 在 x ? 1 处 取 得 极 小 值 , 与 题 意 不 符 ; 当 a ? ?6 , b ? 9 时 ,

f ?? x ? ? 3 x 2 ? 12 x ? 9 ? 3? x ? 1?? x ? 3? ,当 x ? 1 时, f ?? x ? ? 0 ,当 1 ? x ? 3 时, f ?? x ? ? 0 ,∴ f ? x ? 在

x ? 1 处取得极大值,符合题意;

b 3 ? ? ,故选 C. a 2

考点:利用导数研究函数的极值. 2. 【2017 届安徽合肥一中高三上学期月考一数学试卷,文 12】已知 f ( x) ? a ln x ? 若对任意两个不等的正实数 x1 , x2 , 都有 A . (0,1] D. [1, ??) 【答案】D 【解析】
1 2 x (a ? 0) , 2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 恒成立, 则实数 a 的取值范围是 ( x1 ? x2
B . (1, ??)



C . (0,1)

考点:函数导数与不等式,恒成立问题. 3. 【 2016 届江西新余市高三第二次模拟数学试卷,文 8】等差数列 {an } 中的 a1,a4025 是函数
f ( x) ? 1 3 x ? 4 x 2 ? 6 x ? 1 的极值点,则 log 2 a2013 等于( 3
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A. 2 【答案】A 【解析】

B. 3

C. 4

D. 5

试题分析: f '( x) ? x 2 ? 8 x ? 6 , a1 , a4025 是方程 x 2 ? 8 x ? 6 ? 0 的两根,由韦达定理有 a1 ? a4025 ? 8 ,所 以 2a2013 ? 8, a2013 ? 4 ,故 log 2 a2013 ? log 2 4 ? 2 ,选 A. 考点:1.函数的极点;2.等差数列的性质;3.导数的计算. 4. 【 2017 届 河 南 濮 阳 第 一 高 级 中 学 高 三 上 学 期 检 测 二 数 学 试 卷 , 文 12 】 已 知 函 数
1 1 1 1 f ( x) ? x 3 ? x 2 ? ax .若 g ( x) ? x ,对任意 x1 ? [ , 2] ,存在 x2 ? [ , 2] ,使 f '( x1 ) ? g ( x2 ) 成立,则 3 e 2 2

实数 a 的取值范围是( A. (??,
e ? 8] e

) B. [
e ? 8, ??) e

C. [ 2, e)

D. (?

3 e , ] 3 2

【答案】A 【解析】

考点:1、利用导数研究函数的单调性;2、利用导数求函数的最值及全称量词与存在量词的应 用. 5. 【2017 届河南新乡一中高三 9 月月考数学试卷,文 15】已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,函数
a 2 f ( x) ? ? x 3 ? n x 2 ? 3an ?1 x ? 4 在 x ? 1 处取得极值,则 an ? _________. 3 2

【答案】 2 ? 3n ?1 ? 1 【解析】
a 2 试 题 分 析 : 因 为 f ( x) ? ? x 3 ? n x 2 ? 3an ?1 x ? 4 , 所 以 f ' ? x ? ? ?2 x 2 ? an x ? 3an ?1 , 3 2

? f ' ?1? ? ?2 ? an ? 3an ?1 ? 0 , an ? 3an ?1 ? 2, an ? 1 ? 3 ? an ?1 ? 1? , ?an ? 1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项, 以 3

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为公比的等比数列 an ? 1 ? 2 ? 3n ?1 , an ? 2 ? 3n ?1 ? 1 ,故答案为 2? 3n ?1 ? 1 . 考点:1、利用导数求函数极值;2、根据数列的递推公式求通项公式. 6. 【2017 届甘肃武威二中高三上学期月考二数学试卷, 文 16】 若正数 t 满足 a ? 2e ? t ? ln t ? 1( e 为自然对数的底数) ,则实数 a 的取值范围为___________.
1 【答案】 a ? . e

【解析】 试 题 分 析 : 设 f (t ) ? (2e ? t ) ln t , f '(t ) ? ? ln t ?
f "(t ) ? ? 2e ? t 2e ? ? ln t ? 1 , 显 然 f '(e) ? 0 , 又 t t

2e 1 ? ,当 t ? 0 时, f "(t ) ? 0 ,故 f '(t ) 是减函数,所以当 0 ? t ? e 时, f '(t ) ? 0 , f (t ) t2 t

递 增 , 当 t ? e 时 , f '(t ) ? 0 , f (t ) 递 减 , 所 以 x ? e 时 , f (t ) 取 极 大 值 也 是 最 大 值
f (e) ? (2e ? e) ln e ? e ,当 t ? ?? (或 t ? 0 )时, f (t ) ? ?? ,因此 f (t ) ? e ,所以

1 ?0或 a

0?

1 1 ? e ,所以 a ? 0 中 a ? . a e

考点: 导数与函数的单调性、极值、最值. 7. 【2017 届河北正定中学高三上学期第一次月考数学试卷, 文 22】 已知函数 f ? x ? ? ? x 2 ? ax ? e x 的两个极值点为 x1 , x2 ,且 x1 ? x2 , x1 ? x2 ? ?2 ? 5 . (1)求 x1 , x2 的值; (2)若 f ? x ? 在 ? c ? 1, c ? (其中 c ? ?1 )上是单调函数,求 c 的取值范围;
3 x x x (3)当 m ? ?e 时,求证: ? ? f ? x ? ? 2e ? ? ?? ?? x ? 2 ? e ? m ? 1? ? ? 4e .

【答案】 (1) x1 ? 【解析】

? ? ?5 ? 5 1? 5 ?5 ? 5 ? ? ?3 ? 5 ; (2) ? ; (3)证明见解析. , x2 ? ?? , ? , ? 1 ? ? ? ? ? 2 2 2 ? ? 2 ? ?

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2 x 试题解析: (1)∵ f ? ? x ? ? ? ?x ? ?2 ? a? x ? a? ?e ,

∴由 f ? ? x ? ? 0 得 x 2 ? ? 2 ? a ? x ? a ? 0 ,∴ x1 ? x2 ? ?2 ? a ? ?2 ? 5 ,∴ a ? 5 ∴由 x 2 ? 2 ? 5 x ? 5 ? 0 得 x ?

?

?

?2 ? 5 ? 3 , 2

∵ x1 ? x2 ,∴ x1 ?

?5 ? 5 1? 5 , , x2 ? 2 2 ?5 ? 5 1? 5 ? ?1, x2 ? ? ?1 , 2 2

(2) 由 (1) 知,f ? x ? 在 ? x1 , x2 ? 上递减, 在 ? ??, x1 ? 上递增, 其中 x1 ?

?c ? 1 ? x1 ?3 ? 5 当 f ? x ? 在 ? c ? 1, c ? 上递减时, ? ,又 c ? ?1 ,∴ ? c ? ?1 , c ? x 2 ? 2
当 f ? x ? 在 ? c ? 1, c ? 上递增时, c ? x1 ,
? ? ?5 ? 5 ? ? ?3 ? 5 综上, c 的取值范围为 ? ?? , ? , ? 1 ? ? ? ? ? 2 ? ? 2 ? ?

考点:1.导数在函数研究中的应用;2.单调性;3.极值.
1 8.【2017 届河北武邑中学高三周考 8.28 数学试卷, 理 22】 已知函数 f ? x ? ? ln ? ax 2 ? x ? a ? 0 ? . x

(1)若 f ? x ? 是定义域上不单调的函数,求 a 的取值范围;
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(2)若 f ? x ? 在定义域上有两个极值点 x1、x2 ,证明: f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 3 ? 2 ln 2 . 【答案】 (1) 0 ? a ? 【解析】 试题分析: ( 1 ) f ? x ? ? ? ln x ? ax 2 ? x, f ? ? x ? ? ?
1 ; (2)详见解析 8

2ax 2 ? x ? 1 1 , 令 ? ? 1 ? 8a , 当 a ? 时 , x 8
1 时, ? ? 0 ,方程 2ax 2 ? x ? 1 ? 0 有两个不 8

? ? 0, f ? ? x ? ? 0, f ? x ? 在 ? 0, ?? ? 单调递减,当 0 ? a ?

相等的正根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? x2 ,则当 x ? ? 0, x1 ? ? ? x2 ? ? ? 时, f ? ? x ? ? 0 ,当 x ? ? x1 , x2 ? 时,

f ? ? x ? ? 0 ,这时 f ? x ? 不是单调函数.综上, a 的取值范围是 0 ? a ?

1 . (2)由(1)知,当且 8

1 1 ? 1? 仅 当 a ? ? 0, ? 时 , f ? x ? 有 极 小 值 点 x1 和 极 大 值 x2 , 且 x1 ? x2 ? , , x1 x2 ? 2a 2a ? 8?
2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ln x1 ? ax12 ? x1 ? ln x2 ? ax2 ? x2

? ? ln ? x1 x2 ? ?

1 1 ? x1 ? x2 ? ? 1 ? ln ? 2a ? ? ? 1 令 2 4a

g ? a ? ? ln ? 2a ? ?

1 1 4a ? 1 1 ? 1? ? 1? ? 1? 则当 a ? ? 0, ? 时,g ? ? x ? ? ? 2 ? ? 0 ,g ? a ? 在 ? 0, ? ? 1, a ? ? 0, ? , 2 a 4a 4a 4a ? 8? ? 8? ? 8?

?1? 单调递减,所以 g ? a ? ? g ? ? ? 3 ? 2 ln 2 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 3 ? 2 ln 2 . ?8?

? 1? (2)由(1)知,当且仅当 a ? ? 0, ? 时, f ? x ? 有极小值点 x1 和极大值 x2 , ? 8?

且 x1 ? x2 ?

1 1 , , x1 x2 ? 2a 2a

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2 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? ? ln x1 ? ax12 ? x1 ? ln x2 ? ax2 ? x2 ,

1 1 ? x1 ? 1? ? ? x2 ? 1? ? ? x1 ? x2 ? 2 2 1 1 ? ? ln ? x1 x2 ? ? ? x1 ? x2 ? ? 1 ? ln ? 2a ? ? ? 1. 2 4a ? ? ? ln x1 ? ln x2 ? ?

令 g ? a ? ? ln ? 2a ? ?

1 ? 1? ? 1, a ? ? 0, ? , 4a ? 8?

1 1 4a ? 1 ? 1? ? 1? 则当 a ? ? 0, ? 时, g ? ? x ? ? ? 2 ? ? 0 , g ? a ? 在 ? 0, ? 单调递减, 2 a 4a 4a ? 8? ? 8?

?1? 所以 g ? a ? ? g ? ? ? 3 ? 2 ln 2 ,即 f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? 3 ? 2 ln 2 . ?8?

考点:1.导数在函数单调性中的应用;2.函数的极值. 9. 【2017 届黑龙江虎林一中高三上月考一数学试卷,理 22】已知函数 f ( x) ? a( x 2 ? 1) ? ln x . (1)若 y ? f ( x) 在 x ? 2 处取得极小值,求 a 的值; (2)若 f ( x) ? 0 在 [1, ??) 上恒成立,求 a 的取值范围; (3)求证:当 n ? 2 时,

1 1 1 3n 2 ? n ? 2 ? ?… ? ? . ln 2 ln 3 ln n 2n 2 ? 2n

1 1 【答案】 (1) ; (2) a ? ; (3)证明见解析. 8 2

【解析】

②当 a ? 0 时, f '( x) ?

2ax 2 ? 1 1 1 ,令 f '( x) ? 0 ,得 x ? ; f '( x) ? 0 ,得 0 ? x ? . x 2a 2a
31 / 37

(i)当 盾. (ii)当 题意.

1 1 1 ? 1 ,即 0 ? a ? 时, x ? (1, ) 时, f '( x) ? 0 ,即 f ( x) 递减,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 矛 2 2a 2a

1 1 ? 1 ,即 a ? 时, x ? [1, ??) 时, f '( x) ? 0 ,即 f ( x) 递增,∴ f ( x) ? f (1) ? 0 满足 2 2a

综上: a ?

1 . 2 1 1 ,当 x ? [1, ??) 时, ( x 2 ? 1) ? ln x ? 0(当且仅当 x ? 1 时取“ ? ” ) 2 2

(3)证明:由(2)知令 a ? ∴当 x ? 1 时,

1 2 . ? 2 ln x x ? 1 1 1 1 1 1 1 即当 x ? 2,3, 4, …, n ,有 ? ?…? ? 2( 2 ? 2 ?…? 2 ) ln 2 ln 3 ln n 2 ?1 3 ?1 n ?1

1 1 1 1 ? 2( ? ? ?…? ) 1? 3 2 ? 4 3 ? 5 ( n ? 1)( n ? 1) 3n 2 ? n ? 2 1 1 1 1 1 1 1 . ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? … ? ( ? )? 2n 2 ? 2n 3 2 4 3 5 n ?1 n ?1
考点:1.导数的综合应用;2.不等式恒成立问题;3.不等式的证明及裂项求和的方法. 10. 【2017 届云南曲靖一中高三上月考二数学试卷,理 22】已知函数 f ( x) ? x 3 ? 3ax ? 1 的导函 数为 f ?( x) , g ( x) ? f ?( x) ? ax ? 3 . (1)当 a ? ?2 时,求函数 f ( x) 的单调区间; (2)若对满足 ? 1 ? a ? 1 的一切 a 的值,都有 g ( x) ? 0 ,求实数 x 的取值范围; (3)若 xg ?( x) ? ln x ? 0 对一切 x ? 2 恒成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??,? 2 ], [ 2 ,??) ,单调递减区间为 (? 2 , 2 ) ; (2)
0? x? 1 ln 2 ; (3) a ? 12 ? . 3 2

【解析】

32 / 37

试题解析: (1)当 a ? ?2 时, f ?( x) ? 3 x 2 ? 6 ,令 f ?( x) ? 0 得 x ? ? 2 , 故当 x ? ? 2 或 x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递增, 当 ? 2 ? x ? 2 时, f ?( x) ? 0 , f ( x) 单调递减, 所以函数 f ( x) 的单调递增区间为 (??,? 2 ], [ 2 ,??) ,单调递减区间为 (? 2 , 2 ) . (2)因为 f ?( x) ? 3 x 2 ? 3a ,故 g ( x) ? 3 x 2 ? ax ? 3a ? 3 , 令 g ( x) ? h(a ) ? a (3 ? x) ? 3 x 2 ? 3 ,要使 h(a ) ? 0 对满足 ? 1 ? a ? 1 的一切 a 成立,
?h(?1) ? 3 x 2 ? x ? a ? 0, 1 则? 解得 0 ? x ? . 2 3 ? h(1) ? 3 x ? x ? 0,

(3)因为 g ?( x) ? 6 x ? a ,所以 x(6 x ? a ) ? ln x ? 0 , 即 a ? 6x ?
ln x ? h( x) 对一切 x ? 2 恒成立, x

h?( x) ? 6 ?

1 ? ln x 6 x 2 ? 1 ? ln x ? ,令 6 x 2 ? 1 ? ln x ? ? ( x) , 2 2 x x

1 ,因为 x ? 2 ,所以 ? ?( x) ? 0 ,故 ? ( x) 在 [2,??) 单调递增, x ln 2 有 ? ( x) ? ? (2) ? 25 ? ln 2 ? 0 ,因此 h?( x) ? 0 ,从而 h( x) ? h(2) ? 12 ? , 2 ln 2 所以 a ? h( x) min ? h(2) ? 12 ? . 2

则 ? ?( x) ? 12 x ?

考点:1、利用导数研究函数的单调性进而求最值;2、不等式恒成立问题. 11.【2016 届河北南宫一中学高三仿真模拟数学试卷, 理 22】 若函数 f ? x ? 的反函数记为 f ?1 ? x ? , 已知函数 f ? x ? ? e x .

33 / 37

(1)设函数 F ? x ? ? f ?1 ? x ? ? f ? x ? ,试判断函数 F ? x ? 的极值点个数;
? ?? sin x ? kx ,求实数 k 的取值范围. (2)当 x ? ?0, ? 时, f ? x ?? ? 2?

【答案】 (1) 1 个; (2) ? ??,1? . 【解析】

试题解析: (1) F ? ? x ? ? ∴ F?? x? ? 当x?

1 x 1 ? e ,当 x ? ? 0, ?? ? 时, 是减函数, ?e x 也是减函数, x x

1 x ? e 在 ? 0, ?? ? 上是减函数,当 x ? 1 时, F ? ? x ? ? 1 ? e ? 0 , x

1 时, F ? ? x ? ? 2 ? e ? 0 ,∴ F ? ? x ? 在 ? 0, ?? ? 上有且只有一个变号零点, 2

∴ F ? x ? 在定义域 ? 0, ?? ? 上有且只有一个极值点. .
? ?? (2)令 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? e x sin x ? kx ,要使 f ? x ? ? kx 总成立,只需 x ? ?0, ? 时, g ? x ?min ? 0 , ? 2?

对 g ? x ? 求导得 g ? ? x ? ? e x ? sinx ? cosx ? ? k ,

? ? ? ?? 令 h ? x ? ? e x ? sin x ? cos x ? ,则 h? ? x ? ? 2e x cos x ? 0 , ? x ? ? 0, ? ? ? 2 ?? ?

? ?? ? ?? ∴ h ? x ? 在 ?0, ? 上为增函数,∴ h ? x ? ? ?1, e 2 ? . ? 2? ? ?

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考点:1.函数的极值点;2.含参讨论函数的单调性与最值. 12. 【 2017 届 安 徽 蚌 埠 二 中 等 四 校 高 三 10 月 联 考 数 学 试 卷 , 理 22 】 设 函 数
f ( x) ? x ? a ln(1 ? x) , g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx . 1? x

(1)若函数 f ( x) 在 x ? 0 处有极值,求函数 f ( x) 的最大值; (2)①是否存在实数 b ,使得关于 x 的不等式 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立?若存在,求出 b 的 取值范围;若不存在,说明理由; ②证明:不等式 ?1 ? ?
k 1 ? ln n ? (n ? 1, 2, ?) . 2 k ?1 k ? 1
2 n

【答案】 (1) f (0) ? 0 ; (2)① b ? 1 ;②证明见解析. 【解析】 试题分析: (1)由 f ?( x) ? 0 的解,即可得出极值点,得出 a 值后,再利用导函数求单调区间; (2) ①本题为恒成立问题,利用函数的增减性和端点值来求解,而函数的单调性由导函数的正负来决 定;②运用不等式的放缩与基本不等式的性质,证明右边项时采用了数列的增减性的基本定义 来证明,通过说明数列时单调递减来证明不等式 ,在证明右侧时,采用将 ln n 裂项的方法,将详见 得到的每一项放缩,最后利用裂项相消

1 1 1 来证得不等式成立. ? ? n(n ? 1) n n ? 1

35 / 37

(2)①由已知得: g ' ( x) ?

1 ?b 1? x 1 ?b ? 0 1? x

(ⅰ)若 b ? 1 ,则 x ? [0, ??) 时, g ' ( x) ?

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 [0, ??) 上为减函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立; (ⅱ)若 b ? 0 ,则 x ? [0, ??) 时, g ' ( x) ?
1 ?b ? 0 1? x

∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 [0, ??) 上为增函数, ∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,不能使 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立; (ⅲ)若 0 ? b ? 1 ,则 g ' ( x) ?
1 1 ? b ? 0 时, x ? ? 1 , 1? x b

1 1 当 x ? [0, ? 1) 时, g ' ( x) ? 0 ,∴ g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx 在 [0, ? 1) 上为增函数, b b

此时 g ( x) ? ln(1 ? x) ? bx ? g (0) ? 0 ,∴不能使 g ( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立; 综上所述, b 的取值范围是 x ? [1, ??) .

36 / 37

故 xn ? ?

n ?1 n ?1 k 1 k 1 n ? ln(1 ? ) ? [ 2 ? ln(1 ? )] ? 2 ? ? 2 k k n ?1 k ?1 k ? 1 k ?1 k ?1 k ? 1 n

? ?(
k ?1

n ?1

n ?1 n ?1 k 1 1 1 1 ? ) ? ? ? ? ?1 ? ? ?1 . ? ? 2 2 k ?1 k n k ?1 ( k ? 1) k k ?1 ( k ? 1) k

考点:1.函数的极值;2.恒成立问题;3.导数证明不等式.

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