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2011年高考试题+模拟新题分类汇编专题D数列(文科)教师版


数列
? 1.课标文数 17.D1[2011· 浙江卷] 若数列? ?

2? + n?中的最大项是第 k 项,则 k=_______ _. 3? 2?k + ? ?3? 2?k + ? ?3? + - 2?k+1 + ? ?3? , 2?k-1 + ? ?3? ,

1.课标文数 17.D1[2011· 浙江卷] 4

? 【解析】 设最大项为第 k 项,则有? ?
∴?
?k2≥10, ?
2

?k≥ 10或k≤- 10, ?? ?k=4. ? ?k -2k-9≤0 ?1- 10≤k≤1+ 10 2.课标文数 20.D2,A2[2011· 北京卷] 若数列 An:a1,a2,…,an(n≥2)满足|ak+1-ak|=1(k=1,2,…,n-1),则称 An 为 E 数列.记 S(An)=a1+a2+…+an. (1)写出一个 E 数列 A5 满足 a1=a3=0; (2)若 a1=12,n=2000,证明:E 数列 An 是递增数列的充要条件是 an=2011; (3)在 a1=4 的 E 数列 An 中,求使得 S(An)=0 成立的 n 的最小值. 2.课标文数 20.D2,A2[2011· 北京卷] 【解答】 (1)0,1,0,1,0 是一个满足条件的 E 数列 A5. (答案不唯一,0,-1,0,1,0;0,± 1,0,1,2;0,± 1,0,-1,-2;0,± 1,0,-1,0 都是满足条件的 E 数列 A5) (2)必要性:因为 E 数列 An 是递增数列,所以 ak+1-ak=1(k=1,2,…,1999).所以 An 是首项为 12,公差为 1 的 等差数列.所以 a2000=1 2+(2000-1)× 1=2011,充分性:由于 a2000-a1999≤1.a1999-a1998≤1.……a2-a1≤1. 所以 a2000-a1≤1999,即 a2000≤a 1+1999.又因为 a1=12,a2000=2011.所以 a2000=a1+1999. 故 ak+1-ak=1>0(k=1,2,…,1999),即 E 数列 An 是递增数列.综上,结论得证. (3)对首项为 4 的 E 数列 An,由于 a2≥a1-1=3,a3≥a2-1≥2,……a8≥a7-1≥-3,…… 所以 a1+a2+…+ak>0(k=2,3,…,8).所以对任意的首项为 4 的 E 数列 An,若 S(An)=0,则必有 n≥9. 又 a1=4 的 E 数列 A9:4,3,2,1,0,-1,-2,-3,-4 满足 S(A9)=0,所以 n 的最小值是 9. 3.大纲文数 6.D2[2011· 全国卷] 设 Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,若 a1=1,公差 d=2,Sk+2-Sk=24,则 k=( ) A.8 B.7 C.6 D.5 3.大纲文数 6.D2[2011· 全国卷] D 【解析】 ∵Sk+2-Sk=ak+1+ak+2=2a1+(2k+1)d=4k+4,∴4k+4=24,可得 k=5,故选 D. 4.课标文数 17.D2[2011· 福建卷] 已知等差数列{an}中,a1=1,a3=-3. (1)求数列{an}的通项公式; (2)若数列{an}的前 k 项和 Sk=-35,求 k 的值. 4.课标文数 17.D2[2011· 福建卷] 【解答】 (1)设等差数列{an}的公差为 d,则 an=a1+(n-1)d. 由 a1=1,a3=-3,可得 1+2d=-3.解得 d=-2.从而,an=1+(n-1)× (-2)=3-2n. n[1+ - (2)由(1)可知 an=3-2n.所以 Sn= =2n-n2.进而由 Sk=-35 可得 2k-k2=-35. 2 即 k2-2k-35=0,解得 k=7 或 k=-5.又 k∈N*,故 k=7 为所求. 5.课标文数 9.D2[2011· 湖北卷] 《九章算术》 “竹九节”问题:现有一根 9 节的竹子, 自上而下各节的容积成等差数列, 上面 4 节的容积共 3 升,下面 3 节的容积共 4 升,则第 5 节的容积为( ) 67 47 37 A.1 升 B. 升 C. 升 D. 升 66 44 33 ?a1+a2+a3+a4=3, ? 5.课标文数 9.D2[2011· 湖北卷] B 【解析】设所构成的等差数列{an}的首项为 a1, 公差为 d, 由? ? ?a7+a8+a9=4,
?4a1+6d=3, ? 得? ?3a1+21d=4, ?

?a =22, 解得? 7 ?d=66,
1

13

67 所以 a5=a1+4d= . 66

6.课标文数 17.D2,D3[2011· 湖北卷] 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为 等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. 5? ? (1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ? 6.课标文数 17.D2,D3[2011· 湖北卷] 【解答】 (1)设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15.解得 a=5.所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去).故{bn}的第 3 项为 5,公比为 2. 5 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22,解得 b1= . 4
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5 5 n-1 - 所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列,其通项公式为 bn= · 2 =5· 2n 3. 4 4 5 -2n 4 5 5 - - (2)证明:由(1)得数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n 2- ,即 Sn+ =5· 2n 2. 4 4 1-2 5 Sn+1+ - 4 5· 2n 1 5? ? 5 5 5 所以 S1+ = , = n-2=2.因此?Sn+4?是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 4 2 5 5· 2 ? ? 2 Sn+ 4 7.课标文数 5.D2[2011· 江西卷] 设{an}为等差数列,公差 d=-2,Sn 为其前 n 项和.若 S10=S11,则 a1=( ) A.18 B.20 C.22 D.24 7.课标文数 5.D2[2011· 江西卷] B 【解析】 由 S10=S11,得 a11=S11-S10=0, ∴a1=a11+(1-11)d=0+(-10)(-2)=20.故选 B. 8.课标文数 15.D2[2011· 辽宁卷] Sn 为等差数列{an}的前 n 项和,S2=S6,a4=1,则 a5=________. 6× 5 8.课标文数 15.D2[2011· 辽宁卷] -1 【解析】 由 S2=S6,得 2a1+d=6a1+ d 解得 4(a1+3d)+2d=0,即 2a4 2 +d=0,所以 a4+(a4+d)=0,即 a5=-a4=-1. 1 1 9.课文数 17.D2,D3[2011· 课标全国卷] 已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ;(2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 2 1 ?1?n-1 1 9.课标文数 17.D2,D3[2011· 课标全国卷] 【解答】 (1)因为 an= × = n, 3 ?3? 3 1? 1? 1 1- n 1- n 3? 3 ? 3 1-an Sn= = ,所以 Sn= . 1 2 2 1- 3 + + (2)bn=log3a1+log3a2+…+log3an=-(1+2+…+n)=- .所以{bn}的通项公式为 bn=- . 2 2 10.课标文数 11.D2[2011· 天津卷] 已知{an}是等差数列,Sn 为其前 n 项和,n∈N*.若 a3=16,S20=20,则 S10 的值为 ________. 10. 课 标 文 数 11.D2[2011· 天 津 卷 ] 110 【 解 析 】 设 等 差 数 列 的 首 项 为 a1 , 公 差 为 d , 由 题 意 得 , a =a +2d=16, ? ? 3 1 10× 9 ? 解之得 a1=20,d=-2,∴S10=10× 20+ × (-2)=110. 20× 19 2 ?S20=20a1+ 2 ×d=20, ? 11.大纲文数 1.D2[2011· 重庆卷] 在等差数列{an}中,a2=2,a3=4,则 a10=( ) A.12 B.14 C.16 D.18 11.大纲文数 1.D2[2011· 重庆卷] D 【解析】 设等差数列{an}的公差为 d, ?a1+d=2, ?a1=0, ? ? 由 a2= 2,a3=4,得? 解得? ∴a10=a1+(10-1)× d=9d=18.故选 D. ?a1+2d=4, ?d=2, ? ? 12.课标文数 21.D3,D4[2011· 安徽卷] 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n+2 个数构成递增的等比数列,将 这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn=tanan· tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 12.课标文数 21.D3,D4[2011· 安徽卷] 本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知 识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 【解答】 (1)设 t1,t2,…,tn+2 构成等比数列,其中 t1=1,tn+2=100 ,则 Tn=t1· t2·…·tn+1· tn+2,①Tn=tn+2· tn+1·…·t2· t1.② + 2 2 ①× ②并利用 titn+3-i=t1tn+2=10 (1≤i≤n+2),得 Tn =(t1tn+2)· (t2tn+1)·…·(tn+1t2)· (tn+2t1)=102(n 2), ∴an=lgTn=n+2,n≥1.(2)由题意和(1)中计算结果,知 bn=tan(n+2)· tan(n+3),n≥1. tank+1-tank tank+1-tank 另一方面,利用 tan1=tan[(k+1)-k]= .得 tan(k+1)· tank= -1. tan1 1+tank+1· tank n n+2 n+2 tank+1-tank ? tann+3-tan3 所以 Sn=∑ = bk= ∑ = tan(k+1 )· tank= ∑ = ? -n. -1 = tan1 k 1 k 3 k 3 ? tan1 ? 1 13.课标文数 12.D3[2011· 北京卷] 在等比数列{an}中,若 a1 = ,a4=4,则公比 q=____;a1+a2+…+an=____. 2 1 - 13.课标文数 12.D3[2011· 北京卷] 2 2n 1- 2
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1 【解析】 由题意可知 a4=a1q3= q3=4,可得 q=2,[来源:学§ 科§ 网] 2 1 -2n 2 1 - 所以 a1+a2+…+an= =2n 1- . 2 1-2 14.大纲文数 17.D3[2011· 全国卷] 设等比数列{an}的前 n 项和为 Sn.已知 a2=6,6a1+a3=30,求 an 和 Sn. ? ?a1q=6, 14.大纲文数 17.D3[2011· 全国卷] 【解答】 设{an}的公比为 q,由题设得? 2 ?6a1+a1q =30. ?
?a1=3, ?a1=2, ? ? - 解得? 或? 当 a1=3,q=2 时,an=3× 2n 1,Sn=3× (2n-1); ?q=2, ?q=3. ? ? - 当 a1=2,q=3 时,an=2× 3n 1,Sn=3n-1. 15.课标文数 16.D3[2011· 福建卷] 商家通常依据“乐观系数准则”确定商品销售价格,即根据商品的最低销售限价 a, 最高销售限价 b(b>a)以及实数 x(0<x<1)确定实际销售价格 c=a+x(b-a).这里,x 被称为乐观系数. 经验表明, 最佳乐观系数 x 恰好使得(c-a)是(b-c)和(b-a) 的等比中项. 据此可得, 最佳乐观系数 x 的值等于_____. 5-1 15.课标文数 16.D3[2011· 福建卷] 【解析】 由已知,有(c-a)是(b-c)和(b-a)的等比中项,即 2 2 (c-a) =(b-c)(b-a),把 c=a+x(b-a)代入上式,得 x2(b-a)2=[b-a-x(b-a)](b-a),即 x2(b-a)2=(1-x)(b-a)2,∵b>a,b-a≠0,∴x2=1-x,即 x2+x-1=0, -1± 5 -1+ 5 解得 x= ,因为 0<x<1,所以最佳乐观系数 x 的值等于 . 2 2 16.课标文数 11.D3[2011· 广东卷] 已知{an}是递增等比数列,a2=2,a4-a3=4,则此数列的公比 q=________. 16.课标文数 11.D3[2011· 广东卷] 2 【解析】 {an}为等比数列,所以 a4-a3=a2q2-a2q=4,即 2q2-2q=4, 2 所以 q -q-2=0,解得 q=-1 或 q=2,又{an}是递增等比数列,所以 q=2. 17.课标文数 17.D2,D3[2011· 湖北卷] 成等差数列的三个正数的和等于 15,并且这三个数分别加上 2、5、13 后成为 等比数列{bn}中的 b3、b4、b5. 5? ? (1)求数列{bn}的通项公式;(2)数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:数列?Sn+4?是等比数列. ? ? 17.课标文数 17.D2,D3[2011· 湖北卷] 【解答】 (1) 设成等差数列的三个正数分别为 a-d,a,a+d. 依题意,得 a-d+a+a+d=15.解得 a=5.所以{bn}中的 b3,b4,b5 依次为 7-d,10,18+d. 依题意,有(7-d)(18+d)=100,解得 d=2 或 d=-13(舍去).故{bn }的第 3 项为 5,公比为 2. 5 5 由 b3=b1· 22,即 5=b1· 22,解得 b1= .所以{bn}是以 为首项,2 为公比的等比数列, 4 4 5 n-1 n-3 其通项公式为 bn= · 2 =5· 2 . 4 5 5 -2n Sn+1+ - 4 4 5· 2n 1 5 5 5 5 - - (2)证明:由(1)得数列{bn}的前 n 项和 Sn= =5· 2n 2- ,即 Sn+ =5· 2n 2.所以 S1+ = , = n-2= 4 4 4 2 5 5· 1-2 2 Sn+ 4 5? ? 5 2.因此?Sn+4?是以 为首项,公比为 2 的等比数列. 2 ? ? 18.课标文数 5.D3[2011· 辽宁卷] 若等比数列{an}满足 anan+1=16n,则公比为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 anan+1 - 18.课标文数 5.D3[2011· 辽宁卷] B 【解析】 由于 anan+1=16n,又 an-1an=16n 1,所以 =q2=16,又由 anan an-1an n +1=16 知 an>0,所以 q=4. 1 1 19.课标文数 17.D2,D3[2011· 课标全国卷] 已知等比数列{an}中,a1= ,公比 q= . 3 3 1-an (1)Sn 为{an}的前 n 项和,证明:Sn= ;(2)设 bn=log3a1+log3a2+…+log3an,求数列{bn}的通项公式. 2 1 1? 1 1- n ? 1 - n 3? 3 ? 3 1 ?1?n-1 1 19.课标文数 17.D2,D3[2011· 课标全国 卷] 【解答】 (1)因为 an= × = n,Sn= = , 3 ?3? 3 1 2 1- 3 1-an + 所以 Sn = .(2)bn = log3a1 + log3a2 + … + log3an =- (1 + 2 + … + n) =- . 所以 {bn} 的通项公式为 bn =- 2 2 + . 2 -3-/7

20.大纲文数 9.D3[2011· 四川卷] 数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),则 a6=( ) 4 4 4 4 A.3× 4 B.3× 4 +1 C.4 D.4 +1 20.大纲文数 9.D3[2011· 四川卷] A 【解析】 由 an+1=3Sn?Sn+1-Sn=3Sn?Sn+1=4Sn,所以数列{Sn}是首项为 1, - 公比为 4 的等比数列,所以 Sn=4n 1,所以 a6=S6-S5=45-44=3× 44,所以选择 A. 21.课标文数 7.D4[2011· 安徽卷] 若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n(3n-2),则 a1+a2+…+a10=( ) A.15 B.12 C.-12 D.-15 21.课标文数 7.D4[2011· 安徽卷] A 【解析】 a1+a2+…+a10=-1+4-7+10+…+(-1)10· (3× 10-2)=(-1+4)+ (-7+10)+…+[(-1)9· (3× 9-2)+(-1)10· (3× 10-2)]=3× 5=15. 21.课标文数 21.D3,D4[2011· 安徽卷] 在数 1 和 100 之间插入 n 个实数,使得这 n +2 个数构成递增的等比数列,将 这 n+2 个数的乘积记作 Tn,再令 an=lgTn,n≥1. (1)求数列{an}的通项公式;(2)设 bn=tanan· tanan+1,求数列{bn}的前 n 项和 Sn. 21.课标文数 21.D3 ,D4[2011· 安徽卷] 本题考查等比和等差数列,指数和对数的运算,两角差的正切公式等基本知 识,考查灵活运用知识解决问题的能力,综合运算能力和创新思维能力. 【解答】 (1)设 t1,t2,…,tn+2 构成等比数列,其中 t1=1,tn+2=100,则 Tn=t1· t2·…·tn+1· tn+2,① 2 Tn=tn+2· tn+ 1·…·t2· t1.②①× ②并利用 titn+3-i=t1tn+2=10 (1≤i≤n+2),得 + 2 Tn =(t1tn+2)· (t2tn+1)·…·(tn+1t2)· (tn+2t1)=102(n 2),∴an=lgTn=n+2,n≥1. (2)由题意和(1)中计算结果,知 bn=tan(n+2)· tan(n+3),n≥1. tank+1-tank tank+1-tank 另一方面,利用 tan1=tan[(k+1)-k]= .得 tan(k+1)· tank= -1. tan1 1+tank+1· tank n n+2 n+2 tank+1-tank ? tann+3-tan3 所以 Sn=∑ = bk= ∑ = tan(k+1)· tank= ∑ = ? -n. -1 = tan1 k 1 k 3 k 3 ? tan1 ? 22.课标文数 20.D4[2011· 湖南卷] 某企业在第 1 年初购买一台价值为 120 万元的设备 M,M 的价值在使用过程中逐 年减少,从第 2 年到第 6 年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元;从第 7 年开始,每年初 M 的价值为上年初的 a1+a2+…+an 75%.(1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式;(2)设 An= .若 An 大于 80 万元,则 M 继续使用,否则须在 n 第 n 年初对 M 更新.证明:须在第 9 年初对 M 更新. 22.课标文数 20.D4[2011· 湖南卷] 【解答】 (1)当 n≤6 时,数列{an}是首项为 120,公差为-10 的等差数列. 3 ?3? an=120-10(n-1)=130-10n; 当 n≥6 时, 数列{an}是以 a6 为首项, 公比为 的等比数列, 又 a6=70, 所以 an=70× ?4? 4
n-6

130-10n,n≤6, ? ? .因此,第 n 年初,M 的价 值 an 的表达式为 an=? ?3?n-6,n≥7. 70× ? ? ?4?

(2)设 Sn 表示数列{an}的前 n 项和,由等差及等比数列的求和公式得当 1≤n≤6 时,Sn=120n-5n(n-1), An=120-5(n-1)=125-5n;当 n≥7 时,由于 S6=570 ,故 ?3?n-6 780-210× ?4? 3 3 3 ?1-? ?n-6?=780-210×? ?n-6,An= Sn=S6+(a7+a8+…+an)=570+70× × 4× , ? ?4? ? ?4? 4 n ?3?2 ?3?3 780-210× 780-210× ?4? ?4? 47 79 因为{an}是递减数列,所以{An}是递减数列.又 A8= =82 >80 ,A9= =76 <80, 8 64 9 96 所以须在第 9 年初 对 M 更新. 23.课标文数 10.D4[2011· 陕西卷] 植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树,每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边,现将树坑从 1 到 20 依次编号,为使各位同学从各自树坑前来领取 树苗所走的路程总和最小,树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为( ) A.①和? B.⑨和⑩ C.⑨和? D.⑩和? 23.课标文数 10.D4[2011· 陕西卷] D 【解析】 从实际问题中考虑将树苗放在最中间的坑旁边,则每个人所走的路 程和最小,一共 20 个坑,为偶数,在中间的有两个坑为 10 和 11 号坑,故答案选 D. 24.大纲文数 16.D4[2011· 重庆卷] 设{an}是公比为正数的等比数列,a1=2,a3=a2+4. (1)求{an}的通项公式;(2)设{bn}是首项为 1,公差为 2 的等差数列,求数列{an+bn}的前 n 项和 Sn. 24 大纲文数 16.D4[2011· 重庆卷] 【解答】 (1)设 q 为等比数列{an}的公比,则由 a1=2,a3=a2+4 得 2q2=2q+4, - 2 即 q -q-2=0,解得 q=2 或 q=-1(舍去),因此 q=2.所以{an}的通项为 an=2· 2n 1=2n(n∈N*). -2n - + (2)Sn= +n× 1+ × 2=2n 1+n2-2. 2 1-2 nban-1 25.课标文数 20.D5,E7[2011· 广东卷] 设 b>0,数列{an}满足 a1=b,an= (n≥2). an-1+n-1 + (1)求数列{an}的通项公式;(2)证明:对于一切正整数 n,2an≤bn 1+1.
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nban-1 n 1 1 n-1 >0, = + · . an b b an-1 an-1+n-1 n 1 1 1 1 1 1 1 1 1 令 An= ,A1= ,当 n≥2 时,An= + An-1= +…+ n-1+ n-1A1= +…+ n-1+ n. an b b b b b b b b b 1 1? nbn - ? 1- n? n ? ,b≠1, n b? b ? b -1 ①当 b≠1 时,An= = n ,②当 b=1 时,An=n.∴an=? b -1 1 b - ? 1- ?1, b=1. b 25.课标文数 20.D5,E7[2011· 广东卷] 【解答】 (1)由 a1=b>0,知 an= 2nbn - bn-1 + + ≤bn 1+1,只需证 2nbn≤(bn 1+1) . n b -1 b-1 1 1 1 bn-1 n n-1 + - + - - ∵ (bn 1+1) =b2n+b2n 1+…+bn 1+bn 1+bn 2+…+1=bn?b +bn+b +bn-1+…+b+b?>bn(2+2+…+ ? ? b-1 n 2nb - + + + 2)=2nbn,∴ 2an= n <1+bn 1.当 b=1 时,2an=2=bn 1+1.综上所述 2an≤bn 1+1. b -1 26.课标文数 21.D5[2011· 江西卷] (1)已知两个等比数列{an},{bn},满足 a1=a(a>0),b1-a1=1,b2-a2=2,b3-a3 =3,若数列{an}唯一,求 a 的值;(2)是否存在两个等比数列{an},{bn},使得 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公 差不为 0 的等差数列 ?若存在,求{an},{bn}的通项公式;若不存在,说明理由. 26.课标文数 21.D5[2011· 江西卷] 【解答】 (1)设{an}的公比为 q,则 b1=1+a,b2=2+aq,b3=3+aq2, 由 b1,b2,b3 成等比数列得(2+aq)2=(1+a)(3+aq2),即 aq2-4aq+3a-1=0. 由 a>0 得 Δ=4a2+4a>0,故方程有两个不同的实根,再由{an}唯一,知方程必有一根为 0, 1 将 q=0 代入方程得 a= . 3 (2)假设存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的等差数列,设{an}的公比为 2 3 3 q1,{bn}的公比为 q2,则 b2-a2=b1q2-a1q1,b3-a3=b1q2 2-a1q1,b4-a4=b1q2-a1q1, 2 ? 1q2-a1q1=b1-a1+ 1q2 ? 2-a1q1, 由 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成等差数列得? 2 2 3 3 ? ? 1q2-a1q1=b1q2-a1q1+ 1q2-a1q1, (2)证明:当 b≠1 时,欲证 2an=
2 2 ? ?b1 2- -a1 1- =0, 即? 2 2 ?b1q2 2- -a1q1 1- =0, ?

① × q2-② 得 a1(q1-q2)(q1-1)2=0.由 a1≠0 得 q1=q2 或 q1=1, ② i)当 q1=q2 时,由① ② 得 b1=a1 或 q1=q2=1,这时(b2-a2)-(b1-a1)=0,与公差不为 0 矛盾; ii)当 q1=1 时,由① ② 得 b1=0 或 q2=1,这时(b2-a2 )-(b1-a1)=0,与公差不为 0 矛盾. 综上所述,不存在两个等比数列{an},{bn}使 b1-a1,b2-a2,b3-a3,b4-a4 成公差不为 0 的等差数列. 27.课标文数 20.D5[2011· 山东卷] 等比数列{an}中,a1,a2,a3 分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且 a1,a2, a3 中的任何两个数不在下表的同一列. 第一列 第二列 第三列 3 2 10 第一行 6 4 14 第二行 9 8 18 第三行 n (1)求 数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足:bn=an+(-1) lnan,求数列{bn}的前 2n 项和 S2n. 27.课标文数 20.D5[2011· 山东卷] 【解答】 (1)当 a1=3 时,不合题意; 当 a1=2 时,当且仅当 a2=6,a3=18 时,符合题意;当 a1=10 时,不合题意. - 因此 a1=2,a2=6,a3=18,所以公比 q=3.故 an=2· 3n 1. - - n n- 1 n n- 1 (2)因为 bn= an+(-1) lnan= 2· 3 +(-1) ln(2· 3 )=2· 3n 1+(-1)n[ln2+ (n-1)ln3]=2· 3n 1+(-1)n(ln2- ln3)+ - (-1)nnln3, 所以 S2n=b1+b2+…+b2n=2(1+3+…+32n 1)+[-1+1-1+…+(-1)2n](ln2-ln3)+[-1+2-3+… 2n 1-3 +(-1)2n2n]ln3=2× +nln3=32n+nln3-1. 1-3 28.课标数学 13.D5[2011· 江 苏卷] 设 1=a1≤a2≤…≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公差 为 1 的等差数列,则 q 的最小值是________. 28.课标数学 13.D5[2011· 江苏卷] 3 3 【解析】 记 a2=m,则 1≤m≤q≤m+1≤q2≤m+2≤q3,



3 要 q 取最小值,则 m 必定为 1,于是有 1≤q≤2,2≤q2≤3,3≤q3,所以 q≥ 3. 29.课标数学 20.D5[2011· 江苏卷] 设 M 为部分正整数组成的集合,数列{an}的首项 a1=1,前 n 项的和为 Sn,已知对 任意的整数 k∈ M,当整数 n>k 时,Sn+k+Sn-k=2(Sn+Sk)都成立. (1)设 M={1},a2=2,求 a5 的值;(2)设 M={3,4}, 求数列{an}的通项公式. 29.课标数学 20.D5[2011· 江苏卷] 本题考查数列的通项与前 n 项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识,考查 考生分析探究及逻辑推理的能力.
-5-/7

【解答】 (1)由题设知,当 n≥2 时,Sn+1+Sn-1=2(Sn+S1),即(Sn+1-Sn)-(Sn-Sn-1)=2S1. 从而 an+1-an=2a1=2.又 a2=2,故当 n≥2 时,an=a2+2(n-2)=2n-2 所以 a5 的值为 8. (2)由题设知,当 k∈ M={3,4}且 n>k 时,Sn+k+Sn-k=2Sn+2Sk 且 Sn+1+k+Sn+1-k=2Sn+1+2Sk,两式相减得 an+1+k +an+1-k=2an+1,即 an+1+k-an+1=an+1-an+1-k.所以当 n≥8 时,an-6,an-3,an,an+3,an+6 成等差数列,且 an-6, an-2,an+2,an+6 也成等差数列.从而当 n≥8 时,2an=an+3+an-3=an+6+an-6,(*) 且 an+6+an-6=an+2+an-2,所以当 n≥8 时,2an=an+2+an-2,即 an+2-an=an-an-2,于是当 n≥9 时,an-3,an-1, an+1,an+3 成等差数列,从而 an+3+an-3=an+1+an-1,故由(*)式知 2an=an+1+an-1,即 an+1-an=an-an-1. 当 n≥9 时,设 d=an-an-1.当 2≤m≤8 时,m+6≥8,从而由(*)式知 2am+6=am+am+12,故 2am+7=am+1+am+13. 从而 2(am+7-am+6)=am+1-am+(am+13-am+12),于是 am+1-am=2d-d=d. 因此,an+1-an=d 对任意 n≥2 都成立.又由 Sn+k+S n -k-2Sn=2Sk(k∈ {3,4})可知(Sn+k-Sn)-(Sn-Sn-k)=2Sk, 7 3 d 故 9d=2S3 且 16d=2S4,解得 a4= d,从而 a2= d,a1= .因此,数列{an}为等差数列.由 a1=1 知 d=2. 2 2 2 所以数列{an}的通项公式为 an=2n-1. 30.大纲文数 20.D5[2011· 四川卷] 已知{an}是以 a 为首项,q 为公比的等比数列,Sn 为它的前 n 项和. (1)当 S1、S3、S4 成等差数列时,求 q 的值; (2)当 Sm、Sn、Sl 成等差数列时,求证:对任意自然数 k,am+k,an+k,al+k 也成等差数列. - 30.大纲文数 20.D5[2011· 四川卷] 【解答 】 (1)由已知,an=aqn 1,因此 2 2 3 S1=a,S3=a(1+q+q ),S4=a(1+q+q +q ). 1± 5 当 S1,S3,S4 成等差数列时,S4-S3=S3-S1.可得 aq3=aq+aq2.化简得 q2-q-1=0.解得 q= . 2 (2)证明:若 q=1,则{an}的每项 an=a,此时 am+k,an+k,al+k 显然构成等差数列. m l n - - - 若 q≠1,由 Sm,Sn,Sl 构成等差数列可得 Sm+Sl=2S n,即 + = .整理得 qm+ql=2qn. q-1 q- 1 q-1 - + - 因此,am+k+al+k=aqk 1(qm+ql)=2aqn k 1=2an+k.所以,am+k,an+k,al+k 成等差数列. - 3+- n 1 31.课标文数 20.D5[2011· 天津卷] 已知数列{an}与{bn}满足 bn+1an+bnan+1=(-2)n+1,bn= ,n∈ N*,且 a1 2 =2.(1)求 a2,a3 的值;(2)设 cn=a2n+1-a2n-1,n∈ N*,证明{cn}是等比数列; S2n-1 S2n S1 S2 1 (3)设 Sn 为{an}的前 n 项和,证明 + +…+ + ≤n- (n∈ N*). a1 a2 3 a2n-1 a2n
? ?2,n为奇数, ,n∈ N,可得 bn=? ? ?1,n为偶数. 3 又 bn+1an+bnan+1=(-2)n+1,当 n=1 时,a1+2a2=-1,由 a1=2,可得 a2=- ;当 n=2 时,2a2+a3=5,可得 2 - * 2n-1 2n a3=8.(2)证明:对任意 n∈ N ,a2n-1+2a2n=-2 +1,① 2a2n+a2n+1=2 +1.② ② -① ,得 a2n+1-a2n-1=3× 22n 1, cn+1 - 即 cn=3× 22n 1.于是 = 4.所以{cn}是等比数列. cn (3)证明:a1=2,由(2)知,当 k∈ N*且 k≥2 时,a2k-1=a1+(a3-a1)+(a5-a3)+(a7-a5)+…+(a2k-1-a2k-3) - 21-4k 1 - - - =2+3(2+23+25+…+22k 3)=2+3× =22k 1,故对任意 k∈ N*,a2k-1=22k 1. 1-4 1 k - - - 由① 得 22k 1+2a2k=-22k 1+1,所以 a2k= -22k 1,k∈ N*.因此,S2k=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2k-1+a2k)= . 2 2 k-1 k - +22k 1 2 2 k-1 S2k-1 S2k k-1+22k k 1 k 2k-1 于是,S2 k-1=S2k-a2k= +2 .故 + = + = - 2k =1- k- k k . - 2 1 22k 4 4 4 -1 a2k-1 a2k 22k 1 2 -1 2k-1 -2 2 S2n-1 S2n ?S1 S2? ?S3 S4? S1 S2 ?S2n-1+S2n? 所以,对任意 n∈ N*, + +…+ + = + + + +…+? ? a1 a2 a2n-1 a2n ?a1 a2 ? ?a3 a4 ? ?a2n-1 a2n? 1 2 ? 1 1? ? 1 n 1 n ?1 1 ? ? 1 + 2 ? 1- - =? ?1-4-12? + ? 42 42 2- ? + … + 1 - 4n - 4n n- = n - ?4+12? - ?42 42 2- ? - … - 4n + 4n n- ≤n - ?1+ 1 ?=n-1. ?4 12? 3 1 1 1 32.课标文数 19.D5[2011· 浙江卷] 已知公差不为 0 的等差数列{an}的首项 a1 为 a(a∈ R),且 , , 成等比数列. a1 a2 a4 1 1 1 1 (1)求数列{an}的通项公式;(2)对 n∈ N*,试比较 + +…+ 与 的大小. a2 a22 a2n a1 1 ?2 1 1 32.课标文数 19.D5[2011· 浙江卷] 【解答】 设等差数列{an}的公差为 d,由题意可知? , ?a2? =a1· a4

3+- 31.课标文数 20.D5[2011· 天津卷] 【解答】 (1)由 bn= 2

n-1

-6-/7

即(a1+d)2=a1(a1+3d),从而 a1d=d2.因为 d≠0,所以 d=a1=a,故通项公式 an=na. 1? ?1?n? 1- 1 1 1 1 1 1 1 1 2? ?2? ? 1? ?1?n? + 2+…+ n?= · (2)记 Tn= + +…+ .因为 a2n=2na,所以 Tn= ? = ?1-?2? ?. 2? a a2 a22 a2n a?2 2 1 a 1- 2 1 1 从而,当 a>0 时,Tn< ,当 a<0 时,Tn> . a1 a1 32[2011· 南开中学月考] 在数列{an}中,a1=1,an+1-an= n(n∈ N*),则 a100 的值为( ) A.5050 B.5051 C.4950 D.4951

S10 S8 33.[2011· 湖南师大附中二模] 等差数列{an} 中,Sn 是其前 n 项和,a1=-11, - =2,则 S11=( 10 8 A.-11 B.11 C.10 D.-10

)

Sn 7n+45 an 34.[2011· 云南示范中学联考] 等差数列{an}、{bn}的前 n 项和分别为 Sn、Tn,且 = ,则使得 为整数的正整 Tn n-3 bn 数 n 的个数是( ) A.3 B.4 C.5 D.6

?1? 35[2011· 福州二模] 设函数 f(x)=xm+ax 的导函数为 f′(x)=2x+2,则数列? ?(n∈ N*)的前 n 项和为( ? ?

)

A.

n+1 +

B.

n +1 n +2

C.

+ + +

D.

3n+4 +

-7-/7


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