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高三数学试题贵州省遵义四中2013届高三第二次月考(文)试题


本试卷满分 150 分 考试时间 120 分钟 第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
2 1、已知全集 U ? R ,集合 A ? { x | x ? 2 x ? 0} , B ? { x | y ? lg ( x ? 1)} ,则 ( C U A ) ? B =

A. { x | x ? 2 或 x ? 0} C. { x | 1 ? x ? 2} 2、下列命题是真命题的是 A.若 s in x ? c o s y ,则 x ? y ?
? 2

B. { x | 1 ? x ? 2} D. { x | 1 ? x ? 2}
x ?1 ? 0 B. ? x ? R , 2

C.若向量 a、b 满足 a‖b,则 a+b=0 3、某几何体的三视图如下,则该几何体的体积是 A.124 B.144 C.192 D.256 4、函数 y ?
log
1 2

2 2 D.若 x ? y ,则 x ? y

(x

2

? 1 ) 的定义域为

A. ? ? 2 , ? 1 ? ? ? 1, 2 ?
? ?

B. ( ? 2 , ? 1) ? (1, 2 ) D. ( ? 2 , ? 1) ? (1, 2 )

C. ? ? 2 , ? 1 ? ? ? 1, 2 ? 5、函数 y ?
xa x
x

( a ? 1) 的图象大致形状是

6、将函数 y ? cos( x ? 平移
?
6

?
3

,再向左 ) 的图像上各点的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变)

个单位,所得图像的一条对称轴方程为
?
9

A. x ? 7、
1 ? 2i a ? bi

B. x ?

?
8

C. x ? ,则 a+b=

?
2

D. x ? ?

? 2 ? i ,a ? R,b ? R

A 、1

B、0

C、 -1

D、

3 2

8、 已知函数 f ( x ) ? ? A. ?1 , ?? ?
?
6

? ax ? 1, x ? 2 ? log
a

( x ? 1) ? 3 , x ? 2

是定义域上的单调函数,则 a 的取值范围是 D. ?1 , 2 ?
?
3

B. ? 2 , ?? ?
3 s in (

C. ?1 , 2 ?
3x ? ? )

9、已知 f ( x ) ? c o s ( 3 x ? ? ) ? A、 B、
?
3

为偶函数,则 ? 可以取的一个值为
?
6

C、-

D、-

10、 函数 f ( x ) ? x ? 3 x ? 9 x ? 3 , 若函数 g ( x ) ? f ( x ) ? m 在 x ? [ ? 2 , 5 ] 上有 3 个零点, m 则 的取值范围为 A.[1,8) B. (-24,1] C.[1,8] D. (-24,8)
3 2

11、已知双曲线的方程为

x

2 2

?

y

2 2

? 1( a ? 0 , b ? 0 ) ,过左焦点 F1 作斜率为

3 3

的直线交双曲

a b 线的右支于点 P,且 y 轴平分线段 F1P,则双曲线的离心率是

A. 2

B. 5 ? 1

C. 3

D. 2 ?
2 ,SA ? SC ? 2

3

12、在四面体 S—ABC 中, A B ? B C , A B ? B C ? 余弦值是 ? A. 8 6 ?
3 3

,二面角 S—AC—B 的

,则该四面体外接球的表面积是 B. 6 ? C.24 ? D.6 ?

第Ⅱ卷 (非选择题 共 90 分) 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。把答案填在题中横线上.
13、已知平面向量 a , b 满足 a ? 3 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 6 0 , 若 ( a - m b ) ? a ,则实数 m 的值为 . 1 14、已知函数 f(x)满足:f(1)= ,4f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)(x,y∈R),则 f(2 013)=________. 4 15、已知数列 { a n } 的通项公式 a n ? lo g 2
n n ?1 ( n ? N ) ,设其前 n 项和为 S n ,则使 S n ? ? 4 成
*
?

立的最小自然数 n 的值为 . 16、定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x+1)=-f(x),且在[-1,0]上是增函数,给出下列关于 f(x)的判断:①f(x)是周期函数;②f(x)关于直线 x=1 对称;③f(x)在[0,1]上是增函数;④f(x)在 [1,2]上是减函数;⑤f(2)=f(0). 其中正确的序号是________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.
17、 (本小题满分 12 分)设{ a n }为等比数列 T n ? na 1 ? ( n ? 1 ) a 2 ? ... ? 2 a n ?1 ? a n ,已知 (Ⅱ)求数列 ?T n ? 的通项公式. T 1 ? 1 , T 2 ? 4 (Ⅰ)求数列 ?a n ? 的首项和公比; ,

18、 (本小题满分 12 分) 如 图 , 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 是 直 角 梯 形 ,
? D A B ? 9 0 , A D / / B C , A D ? 侧面 P A B ,△ P A B 是等边三角
?

形, D A ? A B ? 2 , B C ?

1 2

A D , E 是线段 A B 的中点.

(Ⅰ)求证: P E ? C D ; (Ⅱ)求 P C 与平面 P D E 所成角的正弦值.

19、 (本题满分 12 分)w。w-w*k&s%5¥u 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1、2、3、4 的四个球,现从甲、乙两个盒子中各取 出 1 个球,每个小球被取出的可能性相等; (1)求取出的两个球上标号之和为 5 的概率; (2)求取出的两个球上标号之和能被 3 整除的概率。

20 、 本 小 题 满 分 12 分 ) 已 知 直 线 l 与 椭 圆 (

y a

2 2

?

x b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 交 于 两 点
3,2 ? 3

A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) ,椭圆上的点到下焦点距离的最大值、最小值分别为 2 ?

,向

量 m ? ( a x 1 , b y 1 ), n ? ( a x 2 , b y 2 ), 且 m ? n ,O 为坐标原点。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)判断 ? A O B 的面积是否为定值,如果是,请给予证明;如果不是,请说明理由。

21、 (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? a x ? 3 ( a ? R ) (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的单调区间; (Ⅱ)当 a ? ? 2 时,问: m 在什么范围取值时,对于任意的 t ? ?1 , 2 ? , 函数 g ( x ) ? x ? x ? ? f ' ( x ) ? 在区间 (t , 3 ) 上总存在极值? ? 2 ?
3 2

?m

?

请考生在 22,23,三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做 答时,用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑.

22、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ?
? ?x ? ? ? ? y ? ? ? 2 2 2 2 t ? 2
? x ? 2 cos ? ? ?y ? ? 2 s in ? (? 为 参 数 ) 曲 线 C2 的 参 数 方 程 为 ,

t,

,且曲线 C1 与 C2 相交于 A,B 两点。 ( t 为参数)

(Ⅰ)求 C1,C2 的普通方程; (Ⅱ)若点 F ( 2 , 0 ) ,求 ? F A B 的面积。

遵义四中 2012-2013 学年度高三第二次月考
数学(文)参考答案及评分标准

因此 T n

? n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2

n?2

? 1?2

n ?1

,

………………………………8 分

? T n ? 2 Tn ? T n
? n ? 2 ? ( n ? 1) ? 2
2

? ??? ? 2 ?2
n ?1

n ?1

? 1?2

n

? [ n ? 1 ? ( n ? 1) ? 2 ? ? ? ? ? 2 ? 2

n?2

? 1?2

n ?1

]

? ?n ? 2 ? 2
? ?n ?

2

? ???? 2
n

? 2

n

2 ? 2?2 1? 2
n ?1

? ?n ? 2

? 2 ? ?(n ? 2) ? 2

n ?1

.

………………………………12 分

18. (Ⅰ)证明:因为 A D ? 侧面 P A B , P E ? 平面 P A B , 所以 A D ? P E . 又因为△ P A B 是等边三角形, E 是线段 A B 的中点,所以 P E ? A B . 因为 A D ? A B ? A ,所以 P E ? 平面 A B C D . 而 C D ? 平面 A B C D ,所以 P E ? C D .…………………………………………5 分 (Ⅱ)解:以 E 为原点,建立如图所示的空间直角坐标系 E ? x y z .

则 E ( 0 , 0 , 0 ) , C (1, ? 1, 0 ) , D ( 2 ,1, 0 ) , P ( 0 , 0 , 3 ) .
???? ??? ? E D ? ( 2 , 1, 0 ) , E P ? ( 0 , 0 , ???? 3 ) , P C ? (1, ? 1, ? 3) .

设 n ? ( x , y , z ) 为平面 P D E 的法向量.
???? ? n ? E D ? 0, ? 由 ? ??? ? ?n ? EP ? 0. ?
? 2 x ? y ? 0, ? ? ? 3z ? 0.

即?

令 x ? 1 ,可得 n ? (1, ? 2 , 0 ) .………………………9 分 设 P C 与平面 P D E 所成的角为 ? .
???? ???? | PC ? n | 3 s in ? ? c o s ? P C , n ? ? ???? ? . 5 | P C || n |

所以 P C 与平面 P D E 所成角的正弦值为

3 5

. …………………………………12 分

19.解:共有取法 16 种: (1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(2,1)(2,2)(2,3)(2,4) (3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(4,1)(4,2)(4,3)(4,4) (1) 设 A: 取出的两个球上标号之和为 5 则有(1,4) (2,3) (3,2) (4,1)共 4 种取法
? P ( A) ? 4 16 ? 1 4

__________________ 6 分高考 w。w-w*k&s%5¥u 网 w。w-w*k&s%5¥u

(2)设 B: 取出的两个球上标号之和能被 3 整除 则有(1,2) (2,1) (2,4) (3,3) (4,2)共 5 种取法
? P(B) ? 5 16

————————12 分 w。

21.解: (Ι)由 f ' ( x ) ?

a (1 ? x ) x

( x ? 0 ) 知:

当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 ( 0 ,1 ) ,单调减区间是 (1, ?? ) ;…………2 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) 的单调增区间是 (1, ?? ) ,单调减区间是 ( 0 ,1 ) ;…………4 分 当 a ? 0 时,函数 f ( x ) ? ? 3 是常数函数,无单调区间。

…………………6 分

(Ⅱ)当 a ? ? 2 时, f ? x ? ? ? 2 ln x ? 2 x ? 3 , f ' ? x ? ? 2 ?
3 2

2 x

.

故 g ( x ) ? x ? x ? ? f '( x ) ? ? x ? ( 2 ? ) x ? 2 x ,…………………………7 分 2 ? 2 ?
3 2

?m

?

m

∴ g '( x ) ? 3 x ? ( 4 ? m ) x ? 2 ,
2

1 ? x?? ?? 4 x ? 2 2 ? 1 3 ? ? ? x? 24、解: (Ⅰ)当 a=0 时,求得 f ( x ) ? ? 4 ………2 分 2 2 ? 3 ? 4x ? 2 x? ? 2 ?
? f ( x ) ? 6 ? x ? ?1, x ? 2

所以,不等式的解集是 ( ?? ,?1] ? [2,?? ) ┈┈5 分
1 ? x? ? ?? 4 x ? 2 ? a 2 ? 1 3 ? (Ⅱ) f ( x ) ? ? 4 ? a 的最小值是 ? ? x? 2 2 ? 3 ? 4x ? 2 ? a x? ? 2 ?

4 ? a ……7 分

要使不等式 f(x)≥ a 2 恒成立, 4 ? a ? a 2 ?

1? 2

17

?a?

1? 2

17

……10 分


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