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高考数学选择题解题技巧


高考数学选择题解题技巧
选择题在高考试卷中所占比例较大,具有题小、量大、基础、快速、灵活的特征. 所以选择题解答的好坏,直接 影响到整份试卷的得分情况. 下面对高考选择题的解法作一些归纳,以期对同学们有所帮助. 一、解答选择题的基本策略 高考数学选择题的特点是:①提供了供选择的多个选择支(只有一个正确项);②不要求写出解答过程;③对解题 速度有更高的要求. 所以解答选择题的基本策略是尽量“不择手段”的采用最简捷方法快速准确的作答,一是要充分 挖掘各选择支的暗示作用,二是要巧妙有效的排除迷惑支的干扰. 快速解答选择题要靠基础知识的熟练和思维方法的 灵活以及科学、合理的巧解,应尽量避免小题大做,否则将导致后面的解答题没有充裕的时间思考而后悔惋惜 . w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 二、选择题常用解题方法 由于高考数学选择题四个选项中有且只有一个结论正确,因而解选择题大体上不外乎是沿着以下两个途径思考: 一是否定 3 个结论;二是肯定一个结论. 1.直接法:从题设条件出发,运用数学知识通过推理或计算得出结论,再对照各选项作出判断的方法称为直接法. 直接法的思路是肯定一个结论,是将选择题当作解答题求解的常规解法. 对一些为考查考生的逻辑推理能力和计算能 力而设计编拟的定量型选择题常用直接法求解. 例 1:(2007 年全国卷Ⅱ)设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,A、B、C 为该抛物线上三点,若 FA ? FB ? FC =0,则

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? | FA | ? | FB | ? | FC | 等于(
A. 9 B. 6

) C. 4 D. 3

解:焦点 F(1,0),设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , C ( x3 , y3 ) , 则由 FA ? FB ? FC =0 得 x1 ?1 ? x2 ?1 ? x3 ?1 ? 0 ,即

??? ? ??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? x1 ? x2 ? x3 ? 3 . 而 | FA | ? | FB | ? | FC | 可 转 化 为 ??? ? ??? ? ??? ? | FA | ? | FB | ? | FC | = x1 ? 1 ? x2 ? 1 ? x3 ? 1 =6. 故选 B.

A 、 B 、 C

三 点 到 准 线 的 距 离 , 即

评析:本题考查抛物线及向量的基本知识,解题的关键是将向量运算转化为坐标运算,再结合抛物线的性质将点 到焦点的距离转化为点到准线的距离. 例 2:(2007 年重庆卷)已知定义域为 R 的函数 f(x)在区间 (8, ??) 上为减函数,且函数 y ? f ( x ? 8) 为偶函数, 则( ) A. f (6) ? f (7) B. f (6) ? f (9) C. f (7) ? f (9) D. f (7) ? f (10)

解 1:∵ y ? f ( x ? 8) 为偶函数,∴ y ? f ( x ? 8) 图像关于 y 轴对称,而 y ? f ( x ? 8) 的图像是由 y ? f ( x) 向左 平移 8 个单位所得,所以 y ? f ( x) 的图像关于 x=8 对称,因为 f(x)在区间 (8, ??) 上为减函数,所以 f (6) ? f (10) <

f (9) ? f (7) ,故选 D.
解 2:∵ y ? f ( x ? 8) 为偶函数,∴ f (? x ? 8) ? f ( x ? 8) ,所以 y ? f ( x) 的图像关于 x ? 8 对称,以下同解法 1. 评析:求解抽象函数不等式要注意三点:1.要确定函数的定义域,必须使每一个函数都有意义;2.不等号两边必 须是“f(x)”型;3.确定函数的单调性. 本题的对称轴作用就是确定“等值” ,到对称轴等距离的点的函数值相等. 通 过本题要体会到考题对于基础知识考查和应用可谓是“细致入微”. 2.筛选法(排除法):当题目题设条件未知量较多或关系较复杂,不易从正面突破,但根据一些性质易从反面判断 某些答案是错误的时候,可用筛选法排除不正确的选项,得到正确答案. 筛选法思路是否定三个结论,有些问题在仔 细审视之后,凭直觉可迅速作出筛选.

例 3:(2007 年全国卷Ⅰ)函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos
2

2

A. (

? 2?
3 , 3

)

B. (

? ? , ) 6 2
2

C. (0,

?
3

x 的一个单调增区间是 2
D. ( ?

)

? ?

, ) 6 6

解: f ( x) ? cos2 x ? (1 ? cos x) = cos x ? cos x ?1 ,则 f ( ) ? ?

?

6

? 5 3 1 ? > f ( ) = ? ,排除 B; f (0) ? ?1 > 3 4 2 4

? 5 ? 3 1 f ( ) = ? ,排除 C; f (0) ? ?1 > f ( ) ? ? ? ,排除 D. 故选 A. 3 4 6 2 4
评析:本题是一道小型综合题,若用直接法求解则耗时费力,而用筛选法则是明智的选择. 例 4 : 已 知 两 点 M (1, ) , N ( ?4, ? ) , 给 出 下 列 曲 线 方 程 ① 4x+2y-1=0; ② x 2 ? y 2 ? 3 ; ③

5 4

5 4

x2 ? y2 ? 1 ; ④ 2

x2 ? y 2 ? 1,在曲线上存在点 P 满足|MP|=|NP|的所有曲线方程是( 2
A.①③ 解: k MN ? B.②④ C.①②③

)

D.②③④

1 3 3 ,MN 的中点坐标为 ( ? , 0) ,则满足|MP|=|NP|的方程 l : y ? ?2( x ? ) ,即 l : 2 x ? y ? 1 ? 0 , 2 2 2 l 显然它与①平行而无交点,应排除 A、C;而根据 B、D 选项可知 与②④一定有公共点,故只要判断 l 与③是否有公共 点即可,而易判断 l 与③有公共点,选 D.
例 5:如图所示,OM∥AB,点 P 在由射线 OM,线段 OB 及 AB 的延长线围成的阴影区域内(不含边界),且 OP ? xOA ? yOB , 则实数对(x,y)可以是( A. ( , ) )

??? ?

??? ?

??? ?

1 3 2 2 1 3 1 7 B. ( ? , ) C. ( ? , ) D. ( ? , ) 4 4 3 3 4 4 5 5 O A ??? ? ??? ? ??? ? 解: OA 、 OB 、 OP 满足平行四边形法则,故 x<0 时,点 P 在阴影部分,排除 A;将三组点的坐标代入,分别
在平面内确定点 P 的位置, 实际上为方向及长度, 如? 选 C. 3.特例法:有些选择题涉及的数学问题具有一般性,而提供的选择支往往互相矛盾(即任意两个选择支不能同时 成立),这类选择题要严格推证比较困难,此时不妨从一般性问题退到特殊性问题上来,通过取适合条件的特殊值、特 殊图形、特殊位置等进行分析,往往能简缩思维过程、降低难度而迅速得解. 例 6:(2007 年江西卷)若 0<x< A. sinx<

M

P

B

? ??? ? ??? ? 2 ??? 2 OA 与 OA 反向, 模为 | OA | 的 的向量. 作图可排除 B、 D. 故 3 3

? ,则下列命题中正确的是( 2
C. sinx<

)

3

? ? ? 解:取特殊值 x = 代入验证,可立即排除 A、B、C 而选 D. 6

?

x

B. sinx>

3

x

4
2

x2

D. sinx>

4

?

2

x2

例 7:(2007 年辽宁卷)已知 f ( x ) 与 g ( x) 是定义在 R 上的连续函数,如果 f ( x ) 与 g ( x) 仅当 x=0 时的函数值为 0, 且 f ( x ) ≥ g ( x) ,那么下列情形不可能出现的的是( A.0 是 f ( x ) 的极大值,也是 g ( x) 的极大值; B.0 是 f ( x ) 的极小值,也是 g ( x) 的极小值; )

C.0 是 f ( x ) 的极大值,但不是 g ( x) 的极值; D.0 是 f ( x ) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值. 解: 取 f ( x) ? ? x2 与 g ( x) ? ?2 x 2 适合条件, 但 0 是 f ( x ) 与 g ( x) 的极大值, 故 A 可以出现, 排除 A; 取 f( x) ? 2x
2

与 g ( x) ? x2 适合条件,则 0 是 f ( x ) 与 g ( x) 的极小值,故 B 可以出现,排除 B;取 f (x) ?2| x| 与 g ( x) ? x 满足题意, 则 0 是 f ( x ) 的极小值,但不是 g ( x) 的极值,故 D 可以出现,排除 D. 所以选 C. 评析:上述两题中的结论都具有一般性,若直接求解则繁琐且易错,而通过特例法则能迅速作出判断,大有四两 拨千斤之效,对考生的直觉思维能力和策略创造能力是一个很好的检测. 例 8: 若 f(x)和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数, 且方程 x ? f [ g ( x)] ? 0 有实数解, 则 g[ f ( x)] 不可能是( A. x ? x ?
2

)

1 5

B. x ? x ?
2

1 5

C. x ?
2

1 5

D. x ?
2

1 5

? 0 解 1 : 设 x0 为 方 程 x ? f[ g( x) ] 的 一 个 实 根 , 则 f [ g ( x0 )] ? x0 , 设 g ( x0 ) ? t0 , 则 f (t0 ) ? x0 , 所 以

g ( x0 ) ? g[ f (t0 )] ? t0 ,即 g[ f (t0 )] ? t0 ? 0 ,这说明方程 g[ f ( x)]? x ? 0至少有一个实根 t 0 ,而对于选项 B ,当
1 1 g[ f ( x)]? x2 ? x ? 时,方程 x 2 ? x ? ? x 无实根,故选 B. 5 5
解 2:特殊函数法. 令 f ( x) ? x ,即可把题意改写为 x ? g ( x) ? 0 有实数解, g ( x) 不可能是哪个式子. A、C、D 均可使 x ? g ( x) ? 0 有实数解,只有 B 不能使 x ? g ( x) ? 0 有实数解,故选 B. 例 9:如图,O,A,B 是平面上三点,向量 OA =a, OB =b.在平 面 AOB 上,P 是线段 AB 垂直平分线上任意一点,向量 OP =p,且 |a|=3,|b|=2,则 p ? (a-b)的值是( A. 5 B. ) C.3 D.

??? ?

??? ?

A

??? ?

a
P

5 2

3 2

B

b

O

p

解 : ∵ P 是 线 段 AB 垂 直 平 分 线 上 任 意 一 点 , 不 妨 设 P 在 AB 的 中 点 上 , 所 以 有 OP =p= p ? (a-b)=

??? ?

5 1 ? 2 ? 2 (| a | ? | b | ) . ∵|a|=3,|b|=2, ∴p ? (a-b)= . 选 B. 2 2

1 (a+b), ∴ 2

2 例 10: 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p,q,则

1 1 ? p q

等于( A. 4 a

) B. 2 a C. a D.

1 a 2

解:若用常规方法,运算量很大,不妨设 PQ∥x 轴,则 p ? q ?

1 1 1 ,∴ ? = 4 a .故选 A. 2a p q

4.数形结合法:对于一些具有几何背景的数学问题,如能构造出与之相应的图形进行分析,往往能在数形结合、 以形助数中获得形象直观的解法.

x2,| x |≥1, x ,| x |<1,

例 11:(2007 年浙江卷)设 f ( x ) = 值域是( ) B. (??, ?1] ∪ [0, ??)

g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 [0, ??) ,则 g ( x) 的

A. (??, ?1] ∪ [1, ??)

C. [0, ??)

D. [1, ??) y

解:画出 f ( x ) 的图象如图,要使 y ? f (? ) 的值域为

[0, ??) ,则 ? 可取 (??, ?1] ∪ [0, ??) . 又 ? ? g ( x) 是二次
函数,其图像是开口向上或向下的抛物线,故 g ( x) 的值域 不可能同时取 (??, ?1] 和 [0, ??) ,再结合各选项知只能选 C.
–1

1

o
1 –1

x

评析:本题考查复合函数的定义域、值域、图像和性质,对考生分析解决问题的能力要求较高. 结合图形能形象 直观的迅速得解,但注意淘汰掉 (??, ?1] 是正确解答的突破口. 例 12:若钝角三角形的三内角的度数成等差数列,且最大边长与最小边长之比值为 m ,则 m 的取值范围是( A.(1,2) B. (2,+∞) C. [3, ??) D.(3,+∞) )

解 1:数形结合:因为钝角三角形三内角的度数成等差数列,所以其 中一个角为 60 ,如图,当三角形为直角三角形时, m ? 2 ,所以当三角形
0

为钝角三角形时,有 m ? 2 . 选 B.
0 0 0

60

0

0 0 解 2:应用极限思想:设三内角 A ? 60 ? ? , B ? 60 , C ? 60 ? ? (0 ? ? ? 60 ) . C ? 90 ,则 A ? 30 ,
0 0

从而

c c sin C ? ?2,又因为 C ? 900 时, A ? 300 ,从而 ? 2 ,选 B. a a sin A

5.验证法:将题目所提供的各选择支或特值逐一代入题干中进行验证,从而确定正确的答案. 有时可通过初步分 析,判断某个(或某几个)选项正确的可能性较大,再代入检验,可节省时间. 例 13: (2007 年全国卷Ⅰ)下面给出的四个点中, 到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为 示的平面区域内的点是( A. (1,1)

2 , 且位于 2



x + y –1<0 x – y +1> 0 B. (?1,1) C. (?1, ?1)
)

D. (1, ?1)

解:将点(1,1)代入 x ? y ? 1 中得 1+1-1=1>0,排除 A;将(-1,1)代入 x ? y ? 1 得-1-1+1=-1<0,排除 B;D 中的 点(1,-1)到直线 x ? y ? 1 ? 0 的距离为

3 2 ≠ ,故排除 D. 正确选项为 C. 2 2
2 1 1 2 ,且 ? ? (n≥2),则 an 等于( 3 an ?1 an ?1 an
C. ? )

例 14:数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ?

A.

2 n ?1

B. ?

?2? ? ?3?

n ?1

?2? ? ?3?

n

D.

2 n?2

解:先代入求得 a3 ?

1 2 1 ,再对照给出的选择支,分别验证 a1 ? 1 , a2 ? , a3 ? 即可得出结论,选 A. 2 3 2

6.估算法: 有些问题不易(有时也没有必要)进行精确的运算和判断, 则可以进行粗略估算. 估算是一种数学意识, 它以正确的算理为基础,通过合理的观察比较、猜想推理或验证,从而作出正确的选择.

例 15:(2007 年四川卷)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( A.48 个 B.36 个 C.24 个 D.18 个

)

4 解:组成没有重复数字的五位偶数共有 2 A4 =48 个,其中大于 20000 的五位偶数的个数肯定小于 48 个,故排除

A. 在 48 个偶数中,显然大于 20000 的五位偶数比小于 20000 的五位偶数要多,也就是说这两种偶数不可能一样多, 因而 C、D 也应排除,故选 B. 评析:本题考查有限制条件的排列组合问题,除了用估算法外,还可以用分类讨论的方法直接求解. 例 16:在“科学与艺术”知识竞赛的预选赛中共有 20 道题,对于每一道题,答对得 10 分,答错或不答扣 5 分, 总得分不少于 80 分者通过预选赛. 二中 25 名学生通过了预选赛,他们分别可能答对了( ) A.9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、或 20 道题 B.10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、或 20 道题 C.11、12、13、14、15、16、17、18、19、或 20 道题 D.12、13、14、15、16、17、18、19、或 20 道题 解:假设答对了 10 题,则得分为 10×10-5×10=50,不足 80 分,再进行调整,假设答对了 11 题,则得分为 11 ×10-5×9=65,不足 80 分,再进行调整,假设答对了 12 题,得分为 12×10-5×8=80,符合题意,所以他们可能答对 的题数为 12、13、14、15、16、17、18、19、或 20 道题. 故选 D. 例 17:如图所示,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 离为 2,则该多面体的体积为( A. ) C.6 D.
E F

3 ,EF 与平面 ABCD 的距 2

9 2

B.5

15 2
D A B

解:连 BE、CE,则 VABCDEF = VE ? ABCD + VE ? BCF . 又 VE ? ABCD =

C

1 15 ? 9 ? 2 =6,所以 VABCDEF >6. 而在选择支中,只有 >6,故选 D. 3 2
7.特征分析法:通过对题干和选择支的关系进行分析,挖掘出题目中的各种特征,如结构特征、数字特征、取值 范围特征、图形特征、对称性特征、整体特征等,从而发现规律,快速辨别真伪. 解:根据酒杯特征进行定性分析. 前面三个酒杯都是上大下小,故饮酒一半后所剩酒的高度应该都在中点以上, 且下方越小,所剩酒的高度就越高,第四个酒杯饮酒一半后所剩酒的高度正好在中间,故选 A . 评析:本题考查几何体的体积与高度的关系,情景新颖,对观察能力、分析探究问题的能力是一个很好的检测. 例 19:(2007 年江苏卷)若对于任意实数 x,有 x3 ? a0 ? a1 ( x ? 2) + a2 ( x ? 2)2 + a3 ( x ? 2)3 ,则 a2 的值为( A. 3 B. 6 C. 9 D. 12 )

0 1 2 3 解:抓住题设等式中的结构特征,得 x3 ? [( x ? 2) ? 2]3 = C3 ( x ? 2)3 + C3 ( x ? 2)2 ? 2 + C3 ( x ? 2) ? 4 + C3 ?8 . ∴ 1 =6. 故选 B. a2 ? 2C3

评析:本题快速得解的关键是注重了题设等式的结构特征,若不注意这一特征,而试图把等式右边先展开再比较 系数,将小题大做而浪费时间. 例 20:(2007 年江西卷)如图,正方体 AC1 的棱长为 1,过点 A 作平面 A 1BD 的垂线,垂足为点 H,则以下命题中, 错误的命题是( )
B H
0

A C

D

A.点 H 是△ A 1BD 的垂心 B.AH 垂直平面 CB 1D 1 C.AH 的延长线经过点 C1 D.直线 AH 和 BB1 所成的角为 45

解:由 A— A 1BD 和 C1 ? B 1D 1C 都是正三棱锥,且平面

A1 B1 C1

D1

A1BD ∥平面 B1D1C 知,若 A 成立,必有 B、C 成立,即 A ? B ? C ;反之,也有 C ? B ? A . 所以 A ? B ? C ,

故可排除 A、B、C,选 D. 例 21:设△ABC 的三边 a 、b、c 满足等式 a cos A ? b cos B ? c cos C ,则此三角形一定是( ) A.以 a 为斜边的直角三角形 B.以 b 为斜边的直角三角形 C.等边三角形 D.其它三角形 解:观察题设可看出等式是关于 a 、A 与 b、B 的对称式,于是选择支 A、B 等价,可同时排除;又若 C 正确,则 原式即为 2=1,于是又排除 C,故只有选 D. 评析:以上两例中抓住各选择支的蕴含与等价关系的特征,根据逻辑原理进行筛选. 因高考选择题四个结论中只 有一个正确,①若选择支满足关系式甲 ? 乙,则可排除甲;②若选择支甲与乙等价,则可同时排除甲、乙;③若选择 支中甲与乙对立矛盾,则甲和乙必一真一假,可排除其余的选择支. 8.利用极限思想: 极限思想是一种基本而重要的数学思想. 当一个变量无限接近一个定量, 则变量可看作此定量. 对于某些选择题,若能恰当运用极限思想思考,则往往可使过程简单明快. 例 22:已知 0 ? x ? y ? a ? 1,则有( A. log a ( xy) ? 0
?

) C. 1 ? log a ( xy) ? 2 D. log a ( xy) ? 2
?

B. 0 ? log a ( xy) ? 1

解:当 x ? a 时,由题意 y ? a ? ,此时 xy ? a 2 , loga ( xy) ? 2 ,可排除 A、B;当 y ? 0? ,由题意 x ? 0 , 此时 xy ? 0? ,又 0 ? a ? 1 ,则 loga ( xy) ? ?? . 故选 D.

x2 y 2 例 23:P 是双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 右分支上一点, F 1 、 F2 分别是左右焦点,且焦距为 2c,则△ PF 1F 2 a b
的内切圆圆心的横坐标为( A. a B. b ) C. c D. a ? b ? c

解:当点 P 沿双曲线向右顶点无限接近时,△ PF ,此“点圆”应为右顶点, 1F 2 的内切圆越来越小,直至“点圆” 内切圆圆心的横坐标为 a ,故选 A. 评析:上述两题虽然与极限无关,但用运动变化的观点,灵活的用极限思想来思考,避免了复杂的运算,优化了 解题过程,降低了解题难度. 例 24: 正三棱锥 S—ABC 的底面边长是 2 a ,E、F、G、H 分别是 SA、SB、BC、AC 的中点,则四边形 EFGH 面积的取值范围是( ) S A. (0, +∞) B. (

3 2 a , ??) 3
A

E F H G B C C

3 2 C. ( a , ??) 6

1 2 D. ( a , ?? ) 2

解:易知四边形 EFGH 是平行四边形,考虑顶点 S 的两 种极限状态. ①当顶点 S ?底面正△ABC 的中心 O 时,则

S? EFGH =

3 2 a (如图 2 所示,俯视图). ②当顶点 S ?无穷远 3
A

H S E 图2

G F B

处时, S? EFGH ??? . 故选 B.

要利用最优化思想处理选择题,如果对每一道选择 题都能采用简捷的方法来解,则可以节省很可观的时间用于后面解答题的求解. 所以要对选择题的解法不断进行总结, 努力掌握灵活多样的解法,提高解题能力,这样才能在高考中取得好成绩.

? ,则下列命题中正确的是( ) 2 4 2 4 2 3 3 A. sinx< x B. sinx> x C. sinx< 2 x D. sinx> 2 x ? ? ? ? ? 解:取特殊值 x = 代入验证,可立即排除 A、B、C 而选 D. 6 ??? ? ??? ? A 7:如图,O,A,B 是平面上三点,向量 OA =a, OB =b.在平
6:(2007 年江西卷)若 0<x< 面 AOB 上,P 是线段 AB 垂直平分线上任意一点,向量 OP =p,且 |a|=3,|b|=2,则 p ? (a-b)的值是( A. 5 B. ) C.3 D.

??? ?

a
P

5 2

3 2

B

b

O

p

解 : ∵ P 是 线 段 AB 垂 直 平 分 线 上 任 意 一 点 , 不 妨 设 P 在 AB 的 中 点 上 , 所 以 有 OP =p= p ? (a-b)=

??? ?

5 1 ? 2 ? 2 (| a | ? | b | ) . ∵|a|=3,|b|=2, ∴p ? (a-b)= . 选 B. 2 2

1 (a+b), ∴ 2

例 17:如图所示,在多面体 ABCDEF 中,已知面 ABCD 是边长为 3 的正方形,EF∥AB,EF= 离为 2,则该多面体的体积为( ) C.6
E F

3 ,EF 与平面 ABCD 的距 2

9 A. 2

B.5

15 D. 2
D A B

解:连 BE、CE,则 VABCDEF = VE ? ABCD + VE ? BCF . 又 VE ? ABCD =

C

1 15 ? 9 ? 2 =6,所以 VABCDEF >6. 而在选择支中,只有 >6,故选 D. 3 2
.三角形 ABC 中,a,b,c 分别是角 A、B、C 所对的边,B 是 A 和 C 的的等差中项,则 a+c 与 2b 的大小关系是 A a+c<2b B a+c>2b C a+c≥2b D a+c<=2b 选D

1、(2007 年全国卷Ⅰ)函数 f ( x) ? cos x ? 2 cos
2

2

A. (

? 2?
3 , 3

)

B. (

? ? , ) 6 2
2

C. (0,

?
3

x 的一个单调增区间是 2
D. ( ?

)

? ?

, ) 6 6

解: f ( x) ? cos2 x ? (1 ? cos x) = cos x ? cos x ?1 ,则 f ( ) ? ?

?

6

? 5 3 1 ? > f ( ) = ? ,排除 B; f (0) ? ?1 > 3 4 2 4

? 5 ? 3 1 f ( ) = ? ,排除 C; f (0) ? ?1 > f ( ) ? ? ? ,排除 D. 故选 A. 3 4 6 2 4
评析:本题是一道小型综合题,若用直接法求解则耗时费力,而用筛选法则是明智的选择. 2:若 f(x)和 g(x)都是定义在实数集 R 上的函数,且方程 x ? f [ g ( x)] ? 0 有实数解,则 g[ f ( x)] 不可能是( A. x ? x ?
2

)

1 5

B. x ? x ?
2

1 5

C. x ?
2

1 5

D. x ?
2

1 5

? 0 解 1 : 设 x0 为 方 程 x ? f[ g( x) ] 的 一 个 实 根 , 则 f [ g ( x0 )] ? x0 , 设 g ( x0 ) ? t0 , 则 f (t0 ) ? x0 , 所 以

g ( x0 ) ? g[ f (t0 )] ? t0 ,即 g[ f (t0 )] ? t0 ? 0 ,这说明方程 g[ f ( x)]? x ? 0至少有一个实根 t 0 ,而对于选项 B ,当
1 1 g[ f ( x)]? x2 ? x ? 时,方程 x 2 ? x ? ? x 无实根,故选 B. 5 5
解 2:特殊函数法. 令 f ( x) ? x ,即可把题意改写为 x ? g ( x) ? 0 有实数解, g ( x) 不可能是哪个式子. A、C、D 均可使 x ? g ( x) ? 0 有实数解,只有 B 不能使 x ? g ( x) ? 0 有实数解,故选 B.
2 3、 例: 过抛物线 y ? ax (a ? 0) 的焦点 F 作一直线交抛物线于 P,Q 两点, 若线段 PF 与 FQ 的长分别为 p,q,则

1 1 ? p q

等于( A. 4 a

) B. 2 a C. a D.

1 a 2

解:若用常规方法,运算量很大,不妨设 PQ∥x 轴,则 p ? q ?

1 1 1 ,∴ ? = 4 a .故选 A. 2a p q
)

4、数列 {an } 满足 a1 ? 1 , a2 ?

2 1 1 2 ,且 ? ? (n≥2),则 an 等于( 3 an ?1 an ?1 an

2 A. n ?1

?2? B. ? ? ?3?

n ?1

?2? C. ? ? ?3?

n

D.

2 n?2

解:先代入求得 a3 ?

1 2 1 ,再对照给出的选择支,分别验证 a1 ? 1 , a2 ? , a3 ? 即可得出结论,选 A. 2 3 2
)

5、(2007 年四川卷)用数字 1,2,3,4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( A.48 个 B.36 个 C.24 个 D.18 个

4 解:组成没有重复数字的五位偶数共有 2 A4 =48 个,其中大于 20000 的五位偶数的个数肯定小于 48 个,故排除

A. 在 48 个偶数中,显然大于 20000 的五位偶数比小于 20000 的五位偶数要多,也就是说这两种偶数不可能一样多, 因而 C、D 也应排除,故选 B. 评析:本题考查有限制条件的排列组合问题,除了用估算法外,还可以用分类讨论的方法直接求解.


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